大学物理中振动和波动方程求解的重难点分析

王 维，刘向民，唐翰昭

(石家庄铁道大学 数理系，河北 石家庄 050043)

一般而言，可通过解析法和旋转矢量法这两种方法求解初相位.解析法是学生在中学阶段就较为熟悉的方法，即通过初位置(x0=Acosφ0)和初速度(v0=-Aωsinφ0)2个方程联立求解，得到tanφ0=-v0/ωx0，由此在区间(0, 2p)或(-π, π)内可得到2个解.然而一个确定的简谐振动只可能有一个初相位.这时关于两个解的取舍问题，同学们容易判断错误.还需把两个解带入sinφ0=-v0/wA加以验证，从而确定正确且唯一的解.因此，虽然可以利用解析法来求解初相位，但是计算时容易出错.教学中鼓励学生使用旋转矢量法来求初相位，其本质是将简谐振动看作是匀速圆周运动在水平方向的投影，从而避免双值选择的难题，该方法能够直观、形象地反映简谐振动过程，极大地减小了计算量且简单易懂.

在利用旋转矢量法确定初相位时，需要知道振动速度的方向.对于已知简谐振动曲线求振动方程和已知给定时刻的波形图求波动方程这两类典型问题，在实际教学过程中发现同学们不会根据已知图像判断振动的方向.这是由于学生没有深刻地理解振动过程与波动过程的本质，对质点的位移、相位变化、振动方向和质元间的相位关系只是一知半解，从而不能顺利而正确地判断振动方向.在教学过程中还发现同学们经常混淆振动速度的判断方式，学生们在高中时学习了各种各样的根据波形图来判断振动方向的方法或者口诀，例如：带动法、上下坡法、微平移法、刮风法、逆复描法[2]、能量分析法、等值线法[3]、倒三角法[4]、斜率法[5]、右手食指法[6]等，然而随着时间的推移，学生们并不理解甚至记反了相应的方法或者口诀.因此，根据已知的振动曲线或者波形图分别提出一种较为直观且易懂的判断质点或者质元振动方向的方法至关重要.本文试图通过2个例题展示振动曲线和波形图中振动速度方向的不同判断方法，基于旋转矢量法来求解简谐振动方程和平面简谐波波动方程，方便学生日后学习.

1.1 旋转矢量法介绍

旋转矢量法是将周期性的简谐振动与匀速圆周运动联合到一起，能够简单、有效地避免多值选择的困难.如图1所示，一固定长度为A的矢量OM绕O点(x轴的坐标原点)以角速度w逆时针匀速转动，其矢端在Ox轴上的投影点将以O为平衡位置做简谐振动.旋转矢量的长度、角速度和初角位置与简谐振动的3个特征量(振幅、角频率和初相位)一一对应，如表1所示，用x表示矢量在x轴上的投影，则有：x=Acos(wt+φ0)，这正是简谐振动的振动方程，可见任意时刻的相位wt+φ0确定了此时投影点作简谐振动的运动状态[7].在简谐振动和波动研究中，准确理解旋转矢量法的内涵，用该方法求解简谐振动方程、振动时间、相位差、振动合成、波动方程和简谐波的叠加等问题，相较于需要大量计算的解析法可提高准确度和求解速度[8].

表1 旋转矢量与简谐振动对应关系表

值得注意的是，要求得初相位需要明确简谐振动的初位置在圆周上的对应位置，这需要同时确定其位移的大小及初速度的方向.由图1可知，矢量的矢端速度和加速度在x轴上的投影对应于简谐振动的速度和加速度.因为矢量做逆时针圆周运动，所以图1中圆上某点绕逆时针的切线方向为该点的速度方向，从图 1可以看到，上半圆圆周上各点对应的速度为负，下半圆圆周上各点对应的速度为正[9-10].由此可见，正确判断振动速度的方向，是得到简谐振动相位的关键.

图1 简谐振动的旋转矢量图

1.2 振动方向判断法

无论是求振动方程还是波动方程，都需要使用旋转矢量法来确定初相位，需要同时确定初位置的位移大小及速度方向.一般来说，位移大小可以直接从图上读出来，速度的方向如何判定影响着初相位的判断.已知简谐振动曲线，可以采用斜率法，任一点速度的正负取决于此处切线斜率的正负.已知给定时刻的波形图，可以采用平移法，首先需要看是否是t=0时刻的波形图，如果不是，需要进行平移得到t=0时刻的波形图，再沿波的传播方向将波形(t=0)平移一个微小的距离Δx.若质元的位置在上面，则质元此刻振动方向朝上；
若质元的位置在下面，则质元此刻振动方向朝下.由此可见，对于振动曲线和波形图，判断振动速度方向的方式完全不同，这也是同学们掌握的薄弱环节.

2.1 简谐振动方程

(1)根据题中文字描述或者图像得到振幅A，或者周期T，根据T=2π/w得到圆频率w;

(2)根据x点(t=0)的位移在旋转矢量图中做垂直于x轴的虚线，与圆周相交于一个或两个交点；

造模第12周时，光镜下，A组大鼠肝组织结构呈均质状，肝小叶、门管区等结构清晰;D组大鼠肝脏切片见肝小叶结构破坏，代之以许多大小不等的肝细胞团，由致密的纤维组织包绕，分割成大小不等的岛屿状，形成假小叶，假小叶中央部位的肝细胞出现萎缩、坏死;肝细胞索排列紊乱，肝细胞肿胀，核染色较深;可见淋巴细胞及少数中性粒细胞等炎性细胞浸润;B组经复方鳖甲软肝片治疗后，上述症状均逐渐好转，治疗6周后B组趋于正常。C组大鼠肝组织结构接近于A组。见图1。

(3)判断x点的振动速度方向，并确定唯一正确的交点，得到x点对应的正确位置，画出旋转矢量，得到其初相位φ0;

(4)如果w和T未知，也可以根据旋转矢量图和wΔt=Δφ或者φ=wt+φ0求得w；

(5)得到简谐振动方程.

2.2 平面简谐波波动方程

机械振动在介质中的传播称为机械波，如果波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动，这样的波叫做简谐波.在波的传播过程中，描述介质中各质点的振动位移随时间变化的方程称为波动方程，其表达式为

y(x)=Acos[w(t∓x/u)+φ0]，

其中,波动沿x轴正方向传播取负号，沿x轴负方向传播取正号[11-12].

求解波动方程的基本步骤如下：①判断简谐波的传播方向;②基于旋转矢量法求解坐标原点处质元的振动方程;③根据λ=uT，T=2π/w得到波速u或者λ;④得到波动方程.

下面借助2个例题来阐述如何确定振动方向以及如何求解振动方程和波动方程.

3.1 已知简谐振动曲线判断振动方向，并求解振动方程

题目：一简谐振动的振动曲线如图2所示，求振动方程[13].

图2 简谐振动曲线

思考过程：由于t=0时，x=-5处切线斜率为负，可知其振动方向沿着x轴负方向.由t=2时，x=0处切线斜率为正，可知其振动方向沿着x轴正方向.

求解过程：设振动方程为x=Acos(ωt+φ0)，由图可知A=10 cm，

由t=0时，x=-5，且振动方向沿着x轴负方向，作旋转矢量图(图3)，可得初相位φ0=2π/3；

由t=2时，x=0，且振动方向沿着x轴正方向，作旋转矢量图(图3)，可得t=0到t=2秒间隔内的相位差Δφ=ωΔt=5π/6，可得ω=5π/12；

图3 不同时刻的旋转矢量图

3.2 已知给定时刻的波形图判断振动方向，并求解波动方程

题目：如图4所示一平面余弦波在t=0时刻与t=2s(小于周期T)时刻的波形图，求该波的波动方程[13].

图4 不同时刻的波形图

求解过程：根据t=0时的波形图及波的传播方向可知，t=0 时，原点在平衡位置，且振动方向朝着正方向，作原点的旋转矢量图(图5)，可得初位相φ0=-π/2；

图5 原点在不同时刻的旋转矢量图

由φ=ωt+φ0，Δφ=φ-φ0=ωt可得：ω·2=π/4，ω=π/8;

由题中图4知λ=160 m，波动方程为

综上所述，简谐振动是“振动和波动”教学中的重点与基础，基于旋转矢量法求解振动方程更是本章教学的重点.本文通过将旋转矢量与简谐振动的对应关系绘制成表格，令学生更易理解.简谐运动过程借助于旋转矢量法的形象化描述，可将各物理量的关系更清楚、具体、直观地呈现出来，将繁琐的数学运算转换为简单的几何运算，使有关问题的求解变得特别简单、方便，具有化难为易、事半功倍的优点.教学中，要令学生加强旋转矢量法的做题训练，从而学生求解简谐运动问题就变得相对简单，对简谐运动规律也可以得到更好地掌握，实现良好的教学效果.

在利用旋转矢量法求初相位时需要同时确定其位移的大小及初速度的方向.从学生的学习情况分析，根据振动曲线或波形图判断振动方向，学生们掌握的并不好，而振动方向的判断决定了相位的选取.结合振动和波动教学中多采用多媒体进行动画演示，列举的振动方向判断方法具有形象、直观、易懂、易记的优点.本文介绍了求解振动方程和波动方程的基本步骤，并且结合例题对旋转矢量法和振动方向的判断进行了实例应用，希望能为大学物理教学提供参考.