巧用同构思想妙解一类指对混合压轴题

福建省永春第一中学 (362601)

刘文哲 张隆亿

对方程或不等式进行变形转化，使其左侧和右侧具有相同的结构形式，再通过构造单调函数处理.对于具有混合指数对数的问题，通常可以通过指数和对数的相互变换实现局部同构.问题可以转化为相应函数单调性或函数最值，这大大降低了计算和求解(证明)的难度.它是数学核心素养如逻辑推理和数学建模的有效媒介，受到高考命题者的青睐.本文提出了指数与对数等式(不等式)的同构方法，并对含指数对数压轴问题的同构解法进行了梳理.

1 利用x=lnex，x=elnx(x>0)进行幂指、幂对转换同构

2 对等式、不等式两边取指数、对数进行同构

2.1 积型aea

1 命题手法1：运用同构思想，转化为h(m(x))形式的式子.

对函数式同构转化，根据结构特点，构造一个对应的函数y=h(x)，将涉及函数式h(m(x))问题，转化为这两个函数y=h(x)，y=m(x)的最值，达到简化难度的目的.这类试题通常以参数范围和不等式证明等形式进行考查.

2 命题手法2：运用同构思想，转化为h(m(x1))=h(n(x2))形式的等式.

对等式两边同构转化，构造函数y=h(x)，等式可以转化为h(m(x1))=h(n(x2)).若函数y=h(x)是单调的，等式可简化为m(x1)=n(x2)，从而简化等式，化繁为简.试题常以化简求值，变量的最值等形式进行考查.

例2 (2021孝感期末)若x0为函数f(x)=e2lnx+x-2+lnx-2的一个零点，则e2-x0+lnx0的值为.

解析：根据题意，令f(x)=0，得e2lnx+x-2=2-lnx，两边取对数可得2lnx+x-2=ln(2-lnx)，即lnx+x-(2-lnx)=ln(2-lnx)，得到lnx+x=ln(2-lnx)+(2-lnx)，设h(x)=x+lnx，x∈(0,+∞)，则h(x)=h(2-lnx).结合h(x)的单调性可得x=2-lnx，由函数零点的定义可得x0=2-lnx0，所以e2-x0+lnx0=elnx0=x0+2-x0=2.

3 命题手法3：运用同构思想，转化为含有h(m(x1))及h(n(x2))的不等式

对不等式的两边进行同构变换，构造一个对应的函数y=h(x)，将原不等式可以转化为含有h(m(x1))及h(n(x2))的不等式，以达到简化不等式结构的目的.试题通常以不等式证明和参数范围等形式进行考查.

3.1 若函数y=h(x)是单调的，则不等式h(m(x1))n(x2))，从而大大简化不等式.测试题通常以不等式的证明或参数的范围等形式出现.

例4 (2020山东21节选)若aex-1-lnx+lna≥1，试求实数a的范围.

解析：将aex-1进行同构变形为ex-1+lna，则不等式aex-1-lnx+lna≥1可整理为ex-1+lna+lna-1≥lnx，两边同加x可得ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x，即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.令h(x)=ex+x，则h(x-1+lna)≥h(x)，可由函数h(x)单调性，得x-1+lna≥x，即lna≥lnx-x+1.利用导数工具可得函数y=lnx-x+1的最大值为0，所以a的取值范围为[1,+∞).

例5 若函数f(x)=lnx-x+1，函数g(x)=axex-4x，a>0，证明：g(x)-2f(x)≥2(lna-ln2).

解析：由axex=ex+lnx+lna可知要证的不等式axex-2x-2lnx-2lna≥2-2ln2可化为ex+lnx+lna-2(x+lnx+lna)≥eln2-2ln2.设h(x)=ex-2x，则h(x+lnx+lna)≥h(ln2).该不等式证明等同于证明函数h(x)的最小值h(ln2)，利用函数h(x)的单调性加于验证即可.

3.2 结合转化后不等式h(m(x1))+h(n(x2))<0，不等式的证明可h(x)<0推出.含有双元x1、x2不等式证明，可化归为函数y=h(x)的值域求解，达到化繁为简的目的.

3.3 结合m(x1)n(x2))及h(m(x1))

例7 (2022泉州质检二)已知函数f(x)=ax-ex，∀x∈(1,+∞)，f(x)

解析1：由alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1，得f(x)f(x)对一切x∈(1,+∞)恒成立.结合切线不等式及x∈(1,+∞)，得1

简而言之，能直接使用同构的混合指数和对数的导数试题不多.在许多情况下，需要用指数和对数同构技巧，尝试转换为三种常见的同构形式.解决这类含有指数对数导数试题的关键是同构变换，进而构造一个对应函数，将问题转化为函数单调性或函数范围，化难为易，突破解题的障碍点.这类含指数对数压轴题同构解法事实上就是数学建模中建模、解模的过程.在这类导数压轴题求解过程中引入了建模方法，教师应引导学生从不同的角度思考，对同一个问题建立不同的数学解模型，让学生从多个角度学习，寻找不同的问题解决方法，培养创新意识，使他们在面对复杂的函数和导数问题时能够有章可循，一方面提高学生的数学建模技能，另一方面使学生养成有意识地运用数学建模思想解决问题的习惯，往往能达到事半功倍的效果.