格拉姆矩阵判据的推广及应用

路晓东 李海涛 牛 奔

(1) 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南；

2) 山东师范大学信息科学与工程学院，250358，济南 )

本文考虑如下时标类型的线性时不变系统

(1)

其中T为时标，x(t)∈Rn为系统状态，u(t)∈Rm为控制输入，y(t)∈Rs为系统输出，矩阵A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rs×n，初值为x(0)=x0，且矩阵A为回归矩阵[1，2].

根据时标T的不同类型，系统(1)可以转化为其他形式.例如，当时标T为实数集R时，系统(1)可转化为常见的连续系统

(2)

当时标T为实数集Z时，系统(1)可转化为常见的离散系统

(3)

在《线性系统理论》教材中，关于系统(2)的能控、能观性的格拉姆矩阵判据如下面的引理1与引理2所述.

引理1[3]系统(2)是完全能控的当且仅当存在时刻t>0，使得如下格拉姆矩阵非奇异：

引理2[3]系统(2)是完全能观的当且仅当存在时刻t>0，使得如下格拉姆矩阵非奇异

在《线性系统理论》教材中，关于系统(3)的能控、能观性的格拉姆矩阵判据如下面的引理3与引理4所述.

引理3[3]若A+I非奇异，则系统(3)是完全能控的当且仅当存在时刻t>0，使得如下格拉姆矩阵非奇异

引理4[3]系统(3)是完全能观的当且仅当存在时刻t>0，使得如下格拉姆矩阵非奇异

基于时标理论以及系统(1)的广义性，本文提出统一的格拉姆矩阵判据，即将引理1、引理2、引理3与引理4用统一的数学表达式给出，以便于帮助学生更好地理解记忆以及灵活运用.

u(t)=-BTeAT(0,σ(t))Wc-1x0.

由(1)式及文献[4]的定理2.77及文献[5]中的引理1.1.3可得

由系统能控性的定义，充分性得证.

由此可推出

x0TeA(0,σ(s))B=0.

(4)

由系统能控性的定义可知，存在合适的控制u(t)，使得

因此，可知

由(4)式可知，

这与x0不为零矛盾，说明Wc为非奇异矩阵，必要性证毕。综上所述，定理1得证.

由系统能观测的定义，充分性得证.

然后证明必要性(采用反证法).如果Wo为奇异矩阵，则存在不为零的向量x1，使得x1TWox1=0，即

因此，可知

yTy=0⟹y=0.

这与系统完全能观测的定义矛盾，从而必要性得证.综上所述，定理2得证.

注1当时标T为实数集R时，eA(t,0)=eAt；
当时标T为实数集Z时，eA(t,0)=(I+A)t.因此定理1和定理2适用于系统(2)和(3)，这也说明定理1和定理2中的格拉姆矩阵是一种统一的形式，根据时标类型的变化，该矩阵也将退化成相应形式.

算例1考虑时标T=0.1Z下的系统(1)，其中参数如下：

已知

及

应用上述两式，经计算可得

基于Matlab工具，可知必存在t，使得Wc和Wo为非奇异矩阵，所以上述系统完全能控、能观测.

格拉姆矩阵判据是判断线性系统能控性、能观性的重要工具，现有的格拉姆矩阵判据仅适用于线性连续或线性离散系统，适用范围有限.因此，提出一种普适性的格拉姆矩阵判据具有重要的理论意义.本文利用时标系统涵盖连续系统、离散系统以及某些非连续非离散系统的特征，结合时标理论，构造了关于时标系统的基于格拉姆矩阵的能控性、能观性判据.所得新判据具有广义性与统一形式，不仅适用于连续型与离散型系统，也适用于非连续与非离散情形，便于学生记忆与理解.