正规矩阵的方程构造

方静雯， 徐陈炜， 曾 立， 魏俊潮

(扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002)

A=ABA,B=BAB,AB=(AB)H,BA=(BA)H，

称B是A的Moore Penrose逆矩阵,简称MP逆矩阵[1].通常用A+表示A的Moore Penrose逆矩阵.(AB)H表示AB共轭转置矩阵.

矩阵A的群逆矩阵是指存在矩阵A#∈n×n[2], 满足:

A=AA#A,A#=A#AA#,AA#=A#A.

由文献[2]知当ind(A)≤1,即rank(A)=rank(A2)时,A#是存在且唯一的.

设A∈n×n,若A是群可逆矩阵且A#=A+,则称A是range-Hermitian(简称EP)矩阵[3].关于EP矩阵的研究,可参见文献[3-7].

设A∈n×n,若AHA=AAH,则称A是正规矩阵[4].由文献[8]知, 当A是群可逆矩阵时,A是正规矩阵当且仅当AHA#=A#AH.有关正规矩阵的研究,可参见文献[9-12],这些工作主要是给出正规矩阵的性质刻画.受此启发,本文通过构造相应的矩阵方程,研究在给定集合中这些矩阵方程有解及一般解的形式表示形式,借此刻画正规矩阵.

当A为正规矩阵时，

A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(AA#)H=A#A+.

证事实上注意到正规矩阵是EP矩阵,因此

A+AHA#(A#)H=A+A#AH(A#)H=A#A+(A#A)H

=A#A+(AA#)H=A#A+(AA+)H=A#A+AA+=A#A+.

受此启发,给出下面的引理.

引理1设A∈n×n是群可逆矩阵,则A是正规矩阵当且仅当AHA#(A+)H=A+.

证必要性.假设A为正规矩阵,则A为EP矩阵,且AHA#=A#AH.于是

AHA#(A+)H=A#AH(A+)H=A#A+A=A+.

充分性.若AHA#(A+)H=A+,右乘AA#,注意到

(A+)HAA#=((A+)HA+A)AA#=(A+)HA+A=(A+)H,

故得A+=A+AA#,从而A为EP矩阵.因此

A#AH=A+AH=AHA#(A+)HAH=AHA#AA+=AHA#,

故A为正规矩阵.

由引理1可诱导出下面的推论.

推论1设A∈n×n是群可逆矩阵，则下列条件等价:

(i)A是正规矩阵;

(ii)AHA#(A+)#=A#;

(iii)AHA+(A+)H=A+;

(iv)(A+)HA+AH=A+.

注意到A+=A+(A+)HAH,于是A是正规矩阵时,AHA+(A+)H=A+(A+)HAH.

引理2设A∈n×n是群可逆矩阵,则

(i)(A+)#=(AA#)HA(AA#)H;

(ii)(A#)+=A+A3A+.

可构造如下矩阵方程:

xA+(A+)H=A+(A+)Hx.

(1)

定理1设A∈n×n是群可逆矩阵，则A是正规矩阵当且仅当方程(1)在

PA={A,A#,A+,AH,(A+)H,(A#)H,(A#)+,(A+)#},

中至少有一个解.

证必要性.若A是正规矩阵,则由推论1可知x=AH为一个解.

充分性.① 若x=A为解,则AA+(A+)H=A+(A+)HA,即(A+)H=A+(A+)HA,取共轭转置得AHA+(A+)H=A+,由推论1知A为正规矩阵;

② 若x=A#为解,则A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,左乘A+A得A#A+(A+)H=A+A#(A+)H,右乘AHA3得A=A+A2,于是A为EP矩阵,故

(A+)H=AA+(A+)H=A2A#A+(A+)H=A2A+(A+)HA#=A(A+)HA#=A(A+)HA+,

从而A+=(A+)HA+AH,由推论1知A为正规矩阵;

③ 若x=A+为解，则A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,右乘AA+得

A+A+(A+)H=A+A+(A+)HAA+,

由[5，Lemma 2.11]知A+(A+)H=A+(A+)HAA+.左乘AAHA得A=A2A+,于是A为EP矩阵,于是x=A+=A#，由②知，A为正规矩阵;

④ 若x=AH为解,则AHA+(A+)H=A+(A+)HAH=A+,由推论2知A为正规矩阵;

⑤ 若x=(A#)H为解,则(A#)HA+(A+)H=A+(A+)H(A#)H,取共轭转置得

A#A+(A+)H=A+(A+)HA#,

由②知A为正规矩阵;

⑥ 若x=(A+)H为解，则(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,取共轭转置得

A+A+(A+)H=A+(A+)HA+,

由③知A为正规矩阵;

⑦ 若x=(A+)#为解，则由引理2得

(AA#)HA(AA#)HA+(A+)H=A+(A+)H(AA#)HA(AA#)H,

即

(AA#)H(A+)H=A+(A+)H(AA#)HA(AA#)H,

右乘AA+得

(AA#)H(A+)H=(AA#)H(A+)HAA+,

左乘AAH得A=A2A+,于是A为EP矩阵，从而x=(A+)#=(A#)#=A，由①知A为正规矩阵;

⑧ 若x=(A#)+为解,则由引理2知

A+A3A+A+(A+)H=A+(A+)HA+A3A+=A+(A+)HA2A+,

左乘A得A3A+A+(A+)H=(A+)HA2A+,右乘AA#得(A+)HA2A+=(A+)HA,左乘A#AH得AA+=A#A,于是A为EP矩阵,从而x=(A#)+=(A+)+=A,由①知A为正规矩阵;

现把方程(1)推广如下

xA+(A+)H=A+(A+)Hy.

(2)

定理2设A∈n×n是群可逆矩阵，则方程(2)的一般解由下式给出

(3)

其中P,U,V∈n×n.

证首先

(A+(A+)HP+U-UA+A)A+(A+)H=A+(A+)HPA+(A+)H=A+(A+)H(PA+(A+)H+V-A+AV)，

故公式(3)为方程(2)的解.

x0A+A=x0A+(A+)HAHA=A+(A+)Hy0AHA,

取P=y0AHA,U=x0,则x0=A+(A+)HP+U-UA+A.由于

A+Ay0=AH(A+)Hy0=AHAA+(A+)Hy0=AHAx0A+(A+)H

=AHAx0A+(A+)HA+A=A+Ay0A+A.

取V=y0-PA+(A+)H,则

A+AV=A+Ay0-A+APA+(A+)H=A+Ay0A+A-A+Ay0AHAA+(A+)H

=A+Ay0A+A-A+Ay0A+A=O.

于是

y0=PA+(A+)H+V-A+AV,

故方程(2)的每一个解具有公式(3)的形式，从而方程(2)的一般解由公式(3)给出.

定理3设A∈n×n是群可逆矩阵，则A为正规矩阵当且仅当方程(2)的一般解由下列给出

(4)

其中P,U,V∈n×n.

证充分性.由于A为正规矩阵,故A#=A+，A#AH=AHA#,于是A(A#)H=(A#)HA,从而A#(A#)H=(A#)HA#,故A+(A+)H=(A+)HA+,因此公式(3)与(4)一致，由定理2知，方程(2)的一般解由公式(4)给出.

必要性.由题设可知

((A+)HA+P+U-UA+A)A+(A+)H=A+(A+)H(PA+(A+)H+V-A+AV),

即

(A+)HA+PA+(A+)H=A+(A+)HPA+(A+)H,

取P=A,则

(A+)HA+(A+)H=A+(A+)H(A+)H,

于是A+(A+)HA+=A+A+(A+)H,右乘AA+得A+A+(A+)H=A+A+(A+)HAA+,由文献[5，Lemma 2.11]得A+(A+)H=A+(A+)HAA+,左乘A#AHA得A#=A#AA+,从而A为EP矩阵.于是

(A+)HA+=AA+(A+)HA+=AA+A+(A+)H=A+(A+)H,

即(A#)HA#=A#(A#)H,故(A#)HA=A(A#)H,从而A为正规矩阵.

本文通过对矩阵广义逆的分析，建立了几种形式简洁矩阵广义逆方程，并利用所得方程在给定集合中解的存在性，探究解与矩阵EP逆的相关性；
研究所得方程的一般解形式和当特殊解发生变化时相关矩阵的广义逆性质.为矩阵广义逆提供了诸多新的研究导向.

致谢作者非常感谢审稿专家提出的宝贵意见.