一类具有Hill型感染率的HIV模型的动力学分析

李永凤,黄嵩,朱城志

(郑州轻工业大学 数学与信息科学学院,郑州 450002)

具有时滞的模型已有很多研究[9-11],在研究病毒清除率时，文献[9]引入两种时滞，即药理时滞和细胞内时滞.细胞内时滞定义为从细胞感染到产生新的病毒粒子的这段时间.如果对HIV病人使用抗病毒药物，应用药物之后，药理效应有一个短的时滞，即由药物吸收到渗透进靶细胞这段时间，称这段时滞为药理时滞.PERELSON等[9]认为HIV-1生命周期内的阶段是由血浆病毒载量的初始负荷减去药理时滞和血浆病毒的平均寿命.文献[10]考虑了细胞内时滞是一个连续的随着分布发生变化的时滞.文献[11]考虑了细胞内时滞，假设从细胞感染到产生病毒的滞后时间用τ表示，是一个离散时滞，本文采用此形式时滞.

基于以上因素，考虑Hill型饱和感染率，可得模型：

(1)

参数意义如下，T:靶细胞的数量;I:感染细胞的数量;V:病毒的载量;s,μT,r,Tmax参数意义同文献[3]所述;β:感染率;α(>0):半饱和常数;μI:感染T细胞的自然死亡率;d:感染T细胞的因病死亡率;N:一个感染的CD4+T细胞由于细胞分解而产生的病毒粒子的数量;μV:病毒的清除率，记p=Nd.

同时在模型(1)中引入离散时滞，则模型(1)变为

(2)

初始值为T(ξ)=φ1(ξ)≥0,I(ξ)=φ2(ξ)≥0,V(ξ)=φ3(ξ)≥0,ξ∈[-τ,0],φi(0)>0(i=1,2,3).

引理1系统(1)总有无病平衡点E0，且当R0>1时有唯一的地方病平衡点E*.

引理2令(T(t),I(t),V(t))为系统(1)的解，则对t≥0有T(t)≥0,I(t)≥0,V(t)≥0.

引理3令(T(t),I(t),V(t))为系统(1)的解，则对t≥0有T(t),I(t),V(t)有界.

(3)

定理1如果R0<1，系统(1)的无病平衡点E0是局部渐近稳定的结点；
如果R0>1，E0是不稳定的鞍点，且有二维稳定流形及一维不稳定流形，即dimWs(E0)=2，dimWu(E0)=1.

由路斯霍维茨判据知当且仅当R0<1时λ2,λ3有负实部，此时E0渐近稳定.若R0>1，则λ2·λ3<0，因此E0是不稳定的鞍点，且dimWs(E0)=2，dimWu(E0)=1.如果R0=1，则λ2,λ3一定有一个为零，不妨记λ2=0，此时λ3=-(μI+d+μV)<0，无病平衡点E0是中立稳定的，且此时E0=E*.当R0>1时，地方病平衡点E*出现.

定理2如果R0<1，无病平衡点E0全局渐近稳定.

定理4如果R0<1，对任意的τ>0，系统(2)的无病平衡点E0是局部渐近稳定的；
如果R0>1，对任意的τ>0，E0是不稳定的.

(4)

当τ>0时，假设方程(4)有纯虚根λ=±iw(w>0)，将其代入方程(4)得，

如果R0=1，(4)式变为λ2+(μI+d+μV)λ+(μI+d)μV-(μI+d)μVe-λτ=0，显然λ=0是单根，下面说明另一个根一定有负实部.事实上，如果有复根λ=u±iw(u>0,w>0)，则有

化简得:

(5)

而(5)式左端等于

(u2+w2)2+((μI+d+μV)u+(μI+d)μV)2+2u2((μI+d+μV)u+(μI+d)μV)+

证明在E*处的特征方程为

λ3+m1λ2+m2λ+m5+(m3+m4λ)e-λτ=0,

(6)

其中m1=μI+d+μV+B-A,m2=(μI+d)μV+(B-A)(μI+d+μV),m4=-pC,m3=A(μI+d)μV,m5=(μI+d)μV(B-A).由Rouche定理[14]及τ的连续性，(6)有正实部的根当且仅当它有纯虚根.令λ=iw(w>0)为其根，下面说明此w不存在.

把λ=iw代入到方程(6)中并分离实部与虚部得:

(7)

平方相加得:

w6+A1w4+A2w2+A3=0,

(8)

H(z)=z3+A1z2+A2z+A3=0,

(9)

定理6如果成立，时滞系统(2)当τ=τj时在地方病平衡点E*处发生Hopf分支现象，即当τ通过临界值τj时E*处产生一族周期解.

对于系统(1)，令s=10,μT=0.01,μI=0.009,μV=2,r=0.8,n=1,T=1 300,β=0.007,d=0.3,α=3,N=100,此时定理2条件满足，系统(1)的无病平衡点是稳定的，即疾病消除，见图1.

取s=8,μT=0.01,μI=0.009,μV=2,r=0.5,n=1,T=1 500,β=0.007,d=0.3,α=50,N=2 500,定理3条件满足，系统(1)的正平衡点稳定，疾病持续，见图2.

取s=5,μT=0.005,μI=0.03,μV=5,r=0.4,n=1,T=100,β=0.000 27,d=0.2,α=50,N=10,τ=3.2,此时定理4条件满足，系统(2)的无病平衡点稳定，见图3.

取s=10,μT=0.01,μI=0.009,μV=2,r=0.8,n=1,T=100,β=0.000 27,d=0.3,α=11,N=2 500,τ=1，此时定理5条件满足，系统(2)的正平衡点稳定，见图4.

令s=5,μT=0.005,μI=0.03,μV=5,r=0.4,n=1,T=400,β=0.003,d=0.2,α=50,N=10,τ=3，系统(2)出现正周期解，见图5.

本文建立了一类具有Hill感染率的HIV模型及时滞模型，利用Routh-Hurwitz判据和Lyapunov函数等方法分别给出了无病平衡点和正平衡点存在和稳定的条件，得到了基本再生数R0，并对时滞系统(2)正平衡点处的分支情况进行了讨论.最后利用数值模拟验证了定理的正确性.