克服链间耦合并联机构双增益自适应滑模控制

付天忠，高国琴，方志明

（江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212013）

与苹果、番茄等类球形果蔬相比，形如葡萄、荔枝等串类水果由于夹持点为细小果梗，对分拣机器人的定位精度提出更高要求［1］。目前，带虎克铰转轴（UPU 支链）的分拣机器人由于UPU 支链长时间在工作空间边缘作业，磨损较为严重，影响机器使用寿命［2］。为此，基于可实现SCARA运动的4-R（2-SS）并联机构研制一种串类水果分拣机器人，其具有刚度大、精度高、承载能力强、分拣效率高等优势。

目前，根据所使用模型的不同，并联机构控制策略可分为动力学控制和运动学控制两种。动力学控制考虑了并联机构的动力学特性和各支链间的耦合关系，在理论上能实现良好的控制效果［3］，但动力学模型参数众多，实时在线求解难度较大，难以满足实时性要求。运动学控制一般假定并联机构各支链间是独立无耦合的，基于此可将复杂的并联机构分解成若干个独立的单通道系统进行单独的控制器设计，因此相较于动力学控制而言具有设计简单、易实现并能满足实际控制系统实时性和快速性要求的优势。因此，本文将对4-R（2-SS）并联机构进行运动学控制研究。然而，并联机构的闭链结构特点导致各支链间强耦合问题，在很大程度上影响机器人的动态特性［4］。此外，随温度变化的电机参数漂移、负载变化以及外部扰动等会引起模型不确定性问题，由于不确定性的复杂性和不可预测性，其上界信息往往难以获知，直接影响运动学控制精度。因此，有必要解决链间耦合问题和上界未知的模型不确定性问题，以提高4-R（2-SS）并联机构的运动学控制性能。

为解决并联机构运动学控制的链间耦合问题，许多学者进行了研究。例如，文献［5］针对六自由度并联机构，将链间耦合归结到集总不确定性中，在各支链控制器中进行抑制，但未能从建模角度解决链间耦合问题，且没有定量分析各支链受链间耦合问题的影响程度；
文献［6］针对Stewart 平台构建虚拟解耦空间并设计控制器以抑制链间耦合，但该方法需要实时对惯性矩阵进行奇异值分解计算，计算量大且复杂。

针对4-R（2-SS）并联机构运动学模型中的不确性问题，滑模控制方法对作用于控制通道中的有界不确定性具有很好的鲁棒性，被广泛应用于并联机构的控制研究中［7］。然而在不确定性上界未知时，通常需选取较大滑模切换增益，如此加重了滑模控制抖振问题［8-9］。为此，已有学者通过设计自适应规则动态调节滑模切换增益。例如，文献［10］针对二阶滑模输出反馈控制器设计了一种自适应律，但该自适应律将导致滑模切换增益不断增加，可能出现益过高估计的问题；
文献［11］针对一类具有有界不确定性/扰动的非线性系统，提出一种滑模切换增益的自适应估计规则，但该规则对切换增益的调节速度仅由一个控制参数决定，需要在滑模控制抖振和跟踪性能之间进行取舍；
文献［12］针对机器人机械臂提出一种指数型自适应律，以提升响应不确定性变化的速度，但其滑模切换增益对滑模变量过于敏感，存在滑模切换增益过估问题。

综上所述，本文针对4-R（2-SS）并联机构，基于惯性项分析链间耦合问题，得到等效耦合惯量以表征各支链在不同位形下受链间耦合问题的影响程度；
然后将等效耦合惯量和各主动关节负载惯量所构成的总等效耦合惯量折算到电机轴，并附加给各支链电机转子惯量，从而建立考虑链间耦合的单支链运动学模型。同时针对链间耦合问题和上界未知的模型不确定性问题，提出一种并联机构双增益自适应滑模控制方法，其自适应规则既能在近滑模面迅速有效调整滑模切换增益，又能有效避免滑模切换增益过估造成的滑模控制抖振问题，从而提高4-R（2-SS）并联机构的运动学控制性能。

1.1 4-R（2-SS）并联机构

如图1 所示，4-R（2-SS）并联机器人由4-R（2-SS）并联机构和夹持机构组成。4-R（2-SS）并联机构主要由静平台、主（辅）动平台和连接动静平台的四组R-（2-SS）支链构成。辅平台位于主平台内部，通过转动机构连接［13］。为减小运动部件的惯性，主动臂和从动臂采用碳纤维材料制成，动平台由铝合金材料制成。该机械手结构灵巧、操作简单，特别适合工农业领域自动化生产所需的分拣、包装等操作。

Fig.1 Physical picture of 4-R（2-SS）parallel robot图1 4-R（2-SS）并联机器人实物

1.2 运动学分析

4-R（2-SS）并联机构的主（辅）动平台在空间内仅做平动，且从动臂两组从动杆件的运动完全相同。为便于运动学分析，可将其简化为如图2所示的结构［14］。

图2 中，将主平台和辅平台分别简化视为质点P1和质点P2，参考坐标系O-xyz 建立在静平台的中点，基于该坐标系，平台主（辅）上的点P1（P2）的位置矢量r可表示为：

l1、l2、ui、wi分别为表示支链i主动臂和从动臂的杆长和单位矢量，且：

Fig.2 Structure of 4-R（2-SS）parallel robot mechanism图2 4-R（2-SS）并联机器人简图

式中，θi表示主动臂i(i=1，2，3，4)的转角，根据机构的装配模式，可得4-R（2-SS）机构的位置逆解模型表示为：

将式（1）分别对时间求一次导数和二次导数，得到机构的速度模型和加速度模型，表示为：

2.1 动力学分析

动力学建模的主要目的不仅体现在评价机构的运动性能，还体现在为实际控制研究奠定理论基础。为降低计算复杂度，保证运动过程中的实时性，建立简化的4-R（2-SS）并联机构动力学模型［15］。

考虑到从动臂为轻质细杆，可忽略其转动惯量，将其质量按比例ρ(ρ∈[0，1])［16］分配到动平台和主动臂。同时，假设运动副是理想的，也就是无摩擦引起的能量耗散，由虚功原理得：

式中，τ为主动关节的驱动转矩，τAg为主动臂对其转轴的重力矩，IA为主动臂等效至其转轴的转动惯量，Is为动平台转动丝杠及负载对其转轴的转动惯量为动平台转动丝杠角加速度。

将δθ=Jδr和δθs=(2π/p)δs代入式（10），整理为关节空间动力学模型可得：

2.2 链间耦合特性分析

惯性矩阵M(θ)反映关节加速度和转矩之间的映射关系。惯性矩阵中主对角元素表示主动关节的负载惯量，非主对角元素是某关节的加速度运动对另一关节产生的耦合转矩的度量。与传统串联机器人相比，并联机构各主动关节除承受自身负载惯量外，链间还存在耦合关系［17］。

为直接评价4-R（2-SS）并联机构链间的耦合特性，定义4-R（2-SS）并联机构关节空间各主动关节等效耦和惯量（Equivalent Coupling Inertia，ECIi，i=1，2，3，4），表示为：

式中，ECIi表示4-R（2-SS）并联机构在关节空间各主动关节的等效耦合惯量，用于表征各支链在不同位形下受链间耦合问题的影响程度。

如果不考虑并联机构链间耦合问题，那么各支链主动关节所承受的等效惯性力矩为惯量矩阵M中主对角元素Mii与所需加速度的乘积［18］。但经过上述分析可知，支链间的耦合问题不容忽略。主动关节所承受的考虑支链间耦合问题的等效惯性力矩为：

结合式（12）可知：

综上可知，可得各主动关节所承受的考虑支链间耦合问题的等效惯性参数为：

而施加在电机轴上的等效惯量可表示为［19］：

从式（8）、式（11）和式（17）可知，雅可比矩阵J会随着机构位形变化，这将直接导致惯性矩阵M在不同位形下亦具有不同的表达，从而使等效耦合惯量ECIi和施加在电机轴上的总等效惯性参数JECIi的值也发生变化。因此，所提出总等效惯量参数表达式能反映并联机构在不同位形下各电机轴所承受的考虑链间耦合问题的等效惯量。

2.3 指标分布

考虑到4-R（2-SS）并联机构主要用于完成点到点的抓放操作，因此采用典型的门字形轨迹作为本机构的运动轨迹［20］。给定期望轨迹如图3所示。

图4（彩图扫OSID 码可见，下同）和表1 为在图3 所示轨迹下，考虑支链间耦合和不考虑支链间耦合问题时，各电机轴所对应的等效惯量JECI和JN-ECI的分布情况。综合分析图4 和表1 可知，在同一水平面时，并联机构末端执行器距离中心位置越近，总等效惯量值越小；
并联机构末端沿z轴运动时，位置越高，对应的总等效惯量越小。在预设轨迹下，考虑链间耦合的总等效惯量平均值为8.404 ×10-4，不考虑耦合的总等效惯量的平均值为5.773 × 10-4，可知由于链间耦合问题，施加在电机轴上的等效惯量发生较大变化。总等效惯量的极大值与极小值之差的平均值为3.498 × 10-4，说明支链间的耦合问题受位形影响较大。此外，在任意位形下，各支链的总等效惯量最大差值为2.469 × 10-4，说明各支链在不同位形下，受支链间耦合特性的影响程度有较大区别。

Fig.3 Desired trajectory of the end effector图3 末端执行器期望轨迹

Fig.4 Equivalent inertia图4 等效惯量

Table 1 Equivalent inertia表1 等效惯量 （10-4）

综上分析可知，将总等效惯量用于建立考虑链间耦合的单支链运动学模型能充分考虑各支链在不同位形下受链间耦合问题的影响，具有重要意义。

根据上述分析结论，建立考虑链间耦合问题的单支链运动学模型，并设计一种具有双增益项的自适应滑模控制方法，以克服机构中存在链间耦合问题和上界未知的模型不确定性问题，同时有效抑制滑模控制抖振问题，提高系统跟踪精度。在4-R（2-SS）并联机构中，各支链控制框图如图5 所示。图中为第i个主动关节的给定输入；
J"(t)为电机转子惯量和总等效惯量之和。交流伺服电机的数学模型可表示为驱动轴的角位移θout与输入转速ωd的传递函数：

Fig.5 Schematic diagram of controller图5 控制器原理框图

3.1 控制器设计

式中，x=[x1，x2，x3]T∈R3为可测得的系统状态变量；
u、y分别为系统输入、输出；
d(t)为外部干扰；
f(x)和g(x)为包含不确定的光滑函数，表示为：

其中，c1>0，c2>0。

由式（19）、式（21）可得：

基于等效控制的滑模控制定义，假设系统不确定项和干扰项为0，可得：

进而可得等效控制律为：

设计切换控制律为：

式中，K为滑模切换增益，表示系统的运动点趋近滑模面s=0 的速率。滑模切换增益K越小，趋近速度越慢；
滑模切换增益K越大，趋近速度就越快，所引起的滑模控制抖振也越大。

为进一步提高4-R（2-SS）并联机构的跟踪精度，同时有效抑制滑模控制抖振，设计滑模切换增益具有如下双增益项自适应规则：

式中，φ、α、η为自适应速度的可调正增益；
θ(t)=sgn(|s(t)| -ε)。后续分析中简称增益项|s(t)|为L-Gain，简称增益项ηe-|s(t)|为S-Gain。当|s(t)|远离滑模面且大于ε时，在自适应律（26）中，滑模切换增益K 的导数受L-Gain的影响很大，因为S-Gain几乎为零，因此它们会快速收敛，直到|s(t)|到达滑模面附近，或|s(t)|<ε。这种自适应机制使|s(t)|迅速小于ε，因此在瞬态响应中提供了良好的跟踪性能。当|s(t)|小于ε，且接近于零。在这种情况下，滑模切换增益应尽可能小，以减少抖振。但是，用小L-Gain降低高滑模切换增益需要时间，可能会导致抖振问题。为此，在自适应律（26）中添加了S-Gain，由于L-Gain几乎为零，因此S-Gain在滑动面附近占主导地位。值得注意的是，S-Gain不会消失，而是随着L-Gain变为零而增加。此时由于自适应律（26）受S-Gain的影响很大，保证了滑模切换增益的快速下降速度，并在滑动面附近实现了良好的稳态性能。由于S-Gain是上界的，因此也可以避免由现有方案引起的过度自适应，能有效抑制滑模控制抖振。

总控制律设计为：

假设1：集总扰动ρ(t)有界，满足|ρ(t)|≤ρ*。

定理1：对于并联机器人支链数学模型（19），在控制律（27）及自适应规则（26）的作用下，滑模变量s(t)首先在有限时间tε内到达原点的邻域|s(t)| <ε内，当t>tε时，s(t)最终一致有界并满足：

3.2 稳定性证明

证明：定义Lyapunov 函数为：

对式（30）求导并根据假设1和式（28）可得：

考虑两种情况：|s(t)|>ε和|s(t)|≤ε。

因此，s(t)在有限时间tε内到达原点的邻域|s(t)|≤ε中，且0 ≤V(t) ≤V(0)，即V(t)有界。

当t>tε时，有|s(t)| ≤ε，此时增益项|s(t)|几乎为零，可见所设计的自适应律（26）不存在对滑动变量过估问题。

因此s(t)最终一致有界，由式（21）可知跟踪误差e(t)也有界。

定理1证毕。

首先，为验证本文提出考虑链间耦合问题总等效惯量计算方法的有效性，以JECI和JN-ECI为控制器参数，采用滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）方法进行MATLAB仿真。电机模型参数为：Rph=18Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.052 5H，KT=1.25N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215。仿真结果见图6。

Fig.6 Verification of equivalent inertia图6 等效惯量验证

分析图6 可知，将所设计的考虑链间耦合的总等效惯量方法应用到控制器中，其轨迹跟踪误差小于不考虑链间耦合问题的轨迹跟踪误差。这是由于考虑链间耦合的总等效惯量计算方法有效计入了链间耦合问题，并考虑机构位形的影响，减小了系统的不确定性，从而提高了机构跟踪精度，有效抑制了滑模控制抖振。

其次，为验证所提出克服链间耦合的4-R（2-SS）并联机构具有双增益项自适应滑模（Dual-gain Adaptive Sliding Mode Control，DGASMC）运动学控制方法的正确性和有效性，分别对考虑链间耦合但切换增益恒定滑模控制（简称ECI-SMC）和不考虑链间耦合的具有双增益项自适应滑模控制（简称DGASMC）以及考虑链间耦合的具有双增益项自适应滑模控制（简称ECI-DGASMC）进行MATLAB 仿真。通过数次仿真调试，确定控制性能最佳时，控制器的仿真参数为：φ=0.02，ε=0.02，α=5，η=5。仿真结果见图7。

Fig.7 Dual-gain term adaptive sliding mode verification图7 双增益项自适应滑模验证

由图7（a）可知，所设计ECI-DGASMC 的跟踪误差明显小于DGASMC 和ECI-SMC 的跟踪误差。仿真结果显示，考虑链间耦合问题的控制器相较于不考虑链间耦合问题的控制器具有更好的轨迹跟踪效果，自适应律的引入进一步提高了4-R（2-SS）并联机构的轨迹跟踪效果。从图7（b）可知，本文设计的ECI-DGASMC 控制输入量相较于DGASMC 和ECI-SMC 具有更小的幅值。ECI-DGASMC 可在滑模面附近实现有效切换增益调谐，适应速度快，有效抑制了DGASMC 存在的滑模切换增益过估问题，进一步减小了滑模控制抖振。此外，仿真时并未提供模型不确定性上界信息，从仿真结果来看，所提出的ECI-DGASMC 仍然具有良好的控制效果，表明所提出的控制方法能有效解决上界未知的模型不确定性问题。综上所述，本文控制方法能使系统具有良好的跟踪精度，且有效抑制滑模控制抖振问题，且不需要模型不确定性的上界信息。

为进一步验证本文所提出克服链间耦合的并联机构具有双增益项自适应滑模运动学控制的可行性与有效性，将ECI-DGASM 与DGASMC、ECI-SMC、SMC 分别应用于4-R（2-SS）并联机构样机上进行实验。图8 为4-R（2-SS）并联机构样机实验控制系统，组成器件主要为PC（上位机）、多轴运动控制器UMAC（下位机）和伺服驱动系统。

Fig.8 Hardware platform of the control system for the 4-R（2-SS）parallel robot图8 4-R（2-SS）并联机器人控制系统硬件平台

在完成上位机应用程序与UMAC 的连接后，将4-R（2-SS）并联机构期望轨迹程序下载到UMAC 中；
然后对4种控制方法的参数进行设置，并将编写完成的控制方法下载到UMAC 中，运行程序，机构即开始运行；
运行结束后，导出机构各电机的运动信息完成数据采集，最后复位并关闭机构。得到如图9 所示的4-R（2-SS）并联机构支链1 电机轨迹跟踪误差曲线。

可以看出，本文提出的ECI-DGASMC 与ECI-SMC、DGASMC、SMC 相比有效克服了链间耦合问题，更好地解决上界未知的模型不确定性问题，具有更高的跟踪精度和更强的鲁棒性。

Fig.9 Tracking error curve of branch motor图9 支链电机跟踪误差曲线

本文针对4-R（2-SS）并联机构的链间耦合问题，建立考虑链间耦合问题的单支链模型，提出一种滑模控制算法，并通过设计一种具有双增益项自适应规则克服上界未知的模型不确定性问题，最后通过仿真实验验证了所提出的双增益项自适应滑模运动学控制方法算法的有效性。仿真与实验结果表明，该算法能有效解决链间耦合问题和上界未知的模型不确定性问题，避免滑模切换增益过估造成的滑模控制抖振。但本文运动学控制器参数是根据经验进行试凑整定的，具有随机性和耗时性，后续可继续探索能够智能优化控制器参数的运动学滑模控制方法，通过智能算法寻找最优控制器参数以进一步提高4-R（2-SS）并联机构的运动学控制性能。