植“单元”理念于课堂,寓“素养”导向于教学──以“组合(1)”教学设计为例

满 玉 纪昌武

(天津市滨海新区田家炳中学,300480)

单元教学理念强调知识间的内在联系,通过提供学习框架和基本线索,搭建沟通章节知识的桥梁,使学生数学抽象等核心素养的培养有的放矢、张弛有度.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,也是具有数学特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,其形成和发展有利于单元结构的形成和知识体系的构建[1].单元教学理念与课堂教学的融合,让教学的方向清晰化─为数学核心素养的形成而教，从而实现数学课堂促进数学核心素养发展的导向.本文以“组合(1)”教学为例，对此进行探究.

在单元整体设计指导下,数学课堂教学中知识、方法、思想都不再是一些孤立的点,而是能纳入系统结构之中、前后贯通的新的生长点.单元教学对数学课堂的贡献远不止于一章起始课的综合引领,更大的意义在于对教材整体的把握和思考以及单元教学理念带给课堂教学的素养导向.

“组合”选自高中数学人教A版选择性必修第三册第六章“两个计数原理”,属于“概率与统计”主线内容.在教学中依据单元教学理念,对这两课时的教学内容作出如下划分:第一课时的教学内容是组合的定义、组合数的定义、组合数与排列数的关系;第二课时的教学内容是组合数公式、应用及性质．这样,学生在第一课时对“组合”能有一个整体性的认识,初步建立一个较为系统的认知结构,便于第二课时更加深入地学习组合数的公式及应用．在单元教学理念下,“组合(1)”的课堂教学,注重知识的系统化和逻辑性,从课堂引入到课堂小结,由始至终贯穿单元整体教学意识,利用思维导图前后映照,为新课内容纳入知识体系做好铺垫,为数学核心素养的培育埋下伏笔．例如课堂小结如图1所示:

启发学生绘图于心,表达于口,在头脑中构建知识网络,将所学新知、思想方法、核心素养等纳入其中,从而培养学生数学交流、表达的能力和及时总结的习惯,促进数学抽象等核心素养发展提升.

创设合适情境是基于数学核心素养教学的另一关注点[2].单元教学理念下的情境创设,更加注重情境的整体性和联系性,更能激发学生学习兴趣和求知欲.单元教学视角下的“组合(1)”一课,情境的设计注重连贯性,有意识地结合学校、班级、时事、民生等设计问题,重视对学生进行思想品德教育;重视过程性评价,关注学生的思维发展,融德育教育、文化价值的渗透于数学核心素养的培养过程之中.

例如在“组合”课的开端,以校园生活实例引发思考:“国学教育是我校的校园文化特色,为弘扬传统文化,我校特举办国学知识竞赛,现要从高二(七)班52名同学中选出3人参赛,有多少种不同的参赛方法?你能用学过的知识解决这个问题吗?”由于问题解决需要本节课新知的学习,学生不可避免地遇到困难,产生认知冲突.教师倾听并鼓励学生尝试将问题变式,使之成为排列问题,顺势追问两者有什么联系和区别,从而加深对排列的理解和对新问题的认识.若学生思维受阻,可引导学生思考两方面:第一,要完成的一件事分别是什么？比较异同；
第二,参赛方法有什么不同,是否与顺序有关?学生经历思维冲突,对比分析,体会到引入新知的必要性,激发解决问题的意识和自主学习的愿望,自然引出课题.

在“应用提升”环节,沿用国学知识竞赛背景,有层次地设计题目,一是保持本节课研究问题背景的连贯性;二是紧贴学生生活实际,让学生进一步感受数学来源于生活,又服务于生活的理念．加强联系普遍性观点的形成和数学核心素养的发展,同时增强爱校爱国的家国情怀.另外本节课还可以从生活背景、课件展示、实践操作、自主探究、小组讨论等多方面，为学生创设对自我学习过程、学习状态、学习行为进行观察、审视、调节的情境,从而促进他们自我认知、自我调整、自我指导和自我强化,形成内驱力,进入自主学习和数学素养的培育状态.

单元理念指导下的教学,更加关注学生思维发展和知识生成过程,突出知识主线和知识间的联系.“组合”的概念是从两个计数原理出发,类比排列的研究方式来研究的,符合学生的认知规律.在已有的活动经验基础上抓住知识的连接点,寻找新知的生长点,通过“概念形成—概念辨析—概念巩固”三环节,有效地推动学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养的长远发展.

1.“组合”概念的形成

从具体实例出发抽象概括“组合”定义.设计如下:

问题1下面哪个是组合问题?为什么?

① 从甲、乙、丙3人中选出2人分别参加上、下午的活动,有多少种不同的选法?

② 从甲、乙、丙3人中选出2人去参加一项活动,有多少种不同的选法?

问题2请将② 的具体背景舍去,该如何进行表述?

追问如何将问题推广到一般情形?

以问题串引导学生列举、观察、思考、表达,推动思维发展.在这个过程中，学生认识到只有元素相同、顺序也相同的两个排列才是“相同的排列”;只要元素相同,顺序无论怎样的两个组合都是“相同的组合”.自觉掌握从“特殊”到“一般”的研究方法,同时培养数学抽象等核心素养.

2.“组合”概念的辨析

问题3根据问题1的两个具体例子,你能说一说排列与组合的联系和区别吗?

通过实例第一次以“元素相同”为标准，研究排列与组合的联系和区别,并结合以下问题操作思考:

(1)先指导学生列举问题① 中的排列,观察具有相同元素的排列共有几组?

(2)问题① 、② 中“所取得的元素”是否相同?它们与顺序是否有关?

(3)“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合”与“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列”的联系与区别是什么?

问题4根据排列与组合的定义,你能举出生活中排列与组合的实例吗?

利用多媒体展示生活场景,不仅有学生熟悉的“卫生值日”，“共享单车摆放”,还有当前抗击疫情“白衣天使”忙碌工作等场景,两人一组,一问一答,互相出题,互相评价;教师巡视,个别指导思考：① 要完成的“一件事”是什么?② 完成的“一件事”是否与“顺序”有关?

活动中蕴含参与意识、合作学习、自主思考、交流表达,培养学生数学抽象等核心素养、语言表达能力和思维的敏捷性.结合生活实际适时点拨:排列体现责任担当,组合体现团结的力量，自然渗透德育教育和数学文化教育.引导学生在学习过程中不断陶冶情操,感受生命意义和价值意义.

3.“组合”概念的巩固

引例平面内有A，B，C，D共4个点，

(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?

(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?

引导学生利用排列和组合之间的关系,以“元素相同”为标准分类,帮助学生进一步建立起(1)中排列和(2)中组合的对应关系．这是学生第二次以“元素相同”为标准体会排列与组合之间对应关系,从实例中的排列与组合的对应关系出发,明确“相同的两个排列”、“相同的两个组合”满足的条件,渗透由排列数求组合数的思路方法,培养学生数学抽象、逻辑推理等数学素养,同时为后面组合数的学习做好铺垫.

数学核心素养形成的主要路径是数学活动.让学生经历学习过程,提出猜想和假设并进行验证推理,不仅能调动学生参与的积极性，还能促进学生由感性思维向理性思维的转化.

1.引入组合数

问题1通过数数能解决以上引例中的组合问题．那么所有的组合问题都适合用这种方式解决吗?

学生表示元素较多时,列举数数不方便．这时教师展示引例变式排列问题,启发提问:排列的个数能解决吗?学生表示能用排列数表示,用排列数公式计算.此时学生顿悟,教师顺势引导,引入组合数计算公式水到渠成.

问题2为了方便表达、计算组合个数,我们类比排列数,引入组合数的定义和表达.怎样给组合数下个定义呢?

追问引例中组合问题怎样用组合数表示?并说明组合与组合数有何区别.

排列和组合是两类不同的计数问题,两者既有区别又有联系.通过展示、对比、类比,引发思维冲突,感受引入组合数的必要性,激起探究组合数计算方法的愿望,达到知识的迁移内化.

2.探究组合数的计算

问题4研究以下题组,以“元素相同”为标准,体会排列与组合之间的对应关系.

展示题组1(引例)

追问:2倍是怎么产生的?

展示题组2

(1)从4个不同的元素中取出3个元素排成一行,有多少种不同的排法?

(2)从4个不同的元素中取出3个元素,共有多少种不同的取法?

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,只有将单元教学这一理念深植于常态课堂,带着学生跳出数学去看数学,才能感悟到数学的本质.数学核心素养的培养不是某一个知识或某一堂课就能达成的,而是通过思维的培养和积累逐步实现的.单元理念下的课堂教学,可超越课时的局限,客观、全面地认识数学的本质,推动学生思维的发展,把数学核心素养的渗透和达成真正落到实处.