磁悬浮控制敏感陀螺角动量包络分析

杨洋 王卫杰 汪洲 樊亚洪 薛乐

(1. 航天工程大学 研究生院, 北京 101416; 2. 航天工程大学 宇航与科学技术系, 北京 101416;3. 北京控制工程研究所, 北京 100190; 4. 63931 部队, 北京 100094)

磁悬浮控制敏感陀螺(magnetically suspended control and sensing gyroscope, MSCSG)是一种新型的磁悬浮惯性执行机构[1-2],其融合了控制力矩陀螺的力矩输出功能及转子式陀螺仪的姿态测量功能[3],可同时作为航天器姿态控制系统中的执行机构及敏感器,能显著降低姿态控制系统的体积、质量、功耗。

由于转子使用轴向磁轴承支承[4],具有无摩擦、高精度、寿命长的优点。

通过改变转子转速,MSCSG 在轴向可以输出较大包络的飞轮力矩,实现航天器姿态控制。

利用磁悬浮转子微框架效应[5-6],MSCSG 在径向可以输出高精度、高带宽的陀螺力矩,提高航天器姿态稳定度及超静性能[7]。

MSCSG 的力矩输出能力直接决定了其空间应用场景。

因此,分析单个MSCSG 角动量包络、力矩包络及径向偏转力矩高精度、高带宽的特性,是分析MSCSG 力矩输出能力的重要一环,为推动MSCSG 的应用打下基础。

国内外学者对角动量包络的分析方法进行了研究[8-12]。

Margulies 和Auburn[8]利用奇异可视化的方法对单框架控制力矩陀螺(single-gimbal control moment gyro, SGCMG)群角动量包络进行了分析。

Bong[9]进一步对SGCMG[13]陀螺群的角动量包络进行了分析,并明确了其奇点分布。

汤亮和徐世杰[10]对SGCMG 的奇异问题进行了研究,给出了奇异角动量值的切片图,为角动量体内的奇异提供了认识方法。

王磊和赵育善[11]对双框架控制力矩陀螺(double-gimbaled control moment gyro, DGCMG)[14-15]的奇异问题进行了系统的分析,仿真得出了奇异条件下DGCMG 的角动量包络,并给出了三正交构型[16]下DGCMG 角动量奇点分布。

刘锋[12]结合金字塔构型[17]在飞轮调速约束下对变速控制力矩陀螺(variable speed control moment gyroscope, VSCMG)[18]角动量包络特性进行了分析,推导了飞轮调速约束下VSCMG 角动量表达式,详细描述了其角动量包络。而MSCSG 机械结构与传统控制力矩陀螺存在较大差异。

MSCSG 通过转子转速变化及径向万向偏转可以实现单陀螺三自由度角动量交换。MSCSG 不是通过实体框架旋转强制转子改变角动量的方向输出陀螺力矩,而是转子在两径向绕虚拟框架旋转输出陀螺力矩。

相较于DGCMG 外框架的旋转会导致内框架轴方向发生改变[19],MSCSG 转子径向偏转时,2 个虚拟框架轴固定不动。

由于采用洛伦兹力磁轴承(lorentz force magnetic bearing, LFMB)控制转子径向偏转,MSCSG径向输出力矩具有高精度高带宽的特性,但使径向偏转角存在耦合。

因此,文献[8-19]所用方法并不能直接用于MSCSG 的角动量包络的分析中。

本文在介绍MSCSG 结构设计方案的基础上,明确MSCSG 转子径向万向偏转特性,建立了MSCSG 径向旋转虚拟框架,揭示了径向偏转力矩与控制电流的线性关系。

构建了单个MSCSG 的角动量包络数学模型。

基于径向偏角重构,在转子径向偏转角度和转速饱和的条件下添加限制函数[20],推导了MSCSG 转速饱和限制下力矩包络表达式,仿真得到了单个MSCSG 的角动量包络和力矩包络。开展MSCSG 偏转力矩高带宽性能测试,验证了径向力矩具有高精度、高带宽的特点。

说明MSCSG在以高分侦察为代表的对航天器甚稳超静性能要求极高的空间任务中拥有广泛的应用场景。

如图1 所示,MSCSG 主要由转子组件及定子组件组成。

定子组件包括上陀螺房、中陀螺房及下陀螺房。

上陀螺房安装有轴向磁轴承上定子、轴向位移传感器、电机定子组件;中陀螺房安装有径向磁轴承定子组件、径向位移传感器;下陀螺房安装有轴向磁轴承下定子和LFMB 定子组件。

在实际应用过程中,陀螺需要经历起浮、旋转及偏转3 个阶段。

图1 MSCSG 机械结构示意图Fig.1 Mechanical structure diagram of MSCSG

MSCSG 径向磁轴承和轴向磁轴承结构如图2所示。

径向磁轴承控制转子径向两自由度(x、y方向)平动,轴向磁轴承控制转子轴向(z方向)平动。x、y方向平动由径向磁轴承力相互垂直的2 对磁极进行控制,2 个通道不存在耦合。

轴向磁轴承与径向磁轴承相互配合,共同控制转子三自由度平动,实现转子稳定悬浮。

图2 MSCSG 径向磁轴承和轴向磁轴承结构Fig.2 MSCSG radial magnetic bearing and axial magnetic bearing structure

转子稳定悬浮后,电机驱动转子高速旋转。

在轴向方向,MSCSG 采用偏置动量轮工作模式,通过改变轴向(z方向)角动量大小,输出轴向飞轮力矩。

在径向方向,MSCSG 采用微框架工作模式。转子偏转由LFMB 控制。

LFMB 结构如图3 所示。

LFMB 主要由内磁钢、外磁钢、导磁环、线圈及定子骨架组成。

4 组线圈位于定子骨架上,成对串联使用。

磁场方向垂直于线圈方向,以产生轴向安培力。

当4 个线圈绕组匝数相同时,产生的安培力大小相等,方向相反形成力矩,控制转子径向(x、y方向)两自由度的偏转,输出两自由度径向陀螺力矩。

图3 LFMB 结构示意图Fig.3 Structure diagram of LFMB

转子力矩输出方式如图4 所示。

转子通过升高或降低自身转速改变轴向角动量大小,输出轴向飞轮力矩。

转子偏转改变角动量方向,输出径向陀螺力矩。

图4 MSCSG 角动量变化生成力矩示意图Fig.4 Schematic diagram of torque generated by MSCSG angular momentum change

2.1 MSCSG 转子径向偏转特性分析

MSCSG 转子的径向偏转由LFMB 产生的安培力实现。

LFMB 由内外磁钢、导磁环、线圈、定子骨架构成。

由于MSCSG 通过LFMB 直接驱动转子偏转,转子偏转具有无摩擦、无延时的特点,MSCSG 径向陀螺力矩具有高带宽特性。

线圈受到的安培力F为

F=NBIL(1)

式中:B为磁场的磁感应强度;I为通过电流;N为线圈匝数;L为线圈长度。

由于内外磁钢充磁方向相反,内外磁钢之间产生闭合磁场。

同时,定子骨架上有4 组匝数相同的线圈均匀分布。

不相邻的2 组线圈构成一对,共同控制一个自由度的径向偏转。

当成对的线圈中通入方向相反的电流时,LFMB 产生的安培力大小为

式中:ix+、ix-分别为x轴正、负方向上的线圈驱动电流;iy+、iy-分别为y轴正、负方向的线圈驱动电流;lm为磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离。

当成对的2 个线圈通入方向相同、大小相等的电流时,将产生2 个方向相反、大小相等的安培力,形成力矩实现转子的径向偏转。

令ix-=iβ,iy+=iα,则径向偏转力矩的表达式为式中:线圈匝数N、线圈长度L、磁悬浮转子中心到径向磁轴承中心的距离lm均为定值。

MSCSG机械结构方案中,磁感应强度B为定值。

由于加工装配存在误差,实际磁感应强度B与设计值存在一定的误差。

笔者课题组通过LFMB 球面结构设计,大大提高了气隙磁密均匀性,可近似认为磁感应强度B为定值,鉴于这部分内容不属于本文研究范畴,故不再赘述。

实际工程中各参数取值如表1 所示。

综上所述,转子径向输出力矩和线圈中通过的电流呈线性关系。

定义电流刚度kα、kβ为

结合式(5)和表1 可以计算得出偏转力矩的电流刚度kα、kβ约为5.09 N·m/A,线圈电流的分辨率能达到10-4A 量级,经过计算,MSCSG 径向输出力矩的精度可以达到mN·m 级别,具有高精度的特点。

表1 LFMB 部分参数Table 1 LFMB part parameter

如图5 所示,径向偏转角α和β通过位移传感器测量。

图5 LFMB 工作原理Fig.5 Working principle diagram of LFMB

以径向偏转角α及其对应的位移hax(t)和hbx(t)为例。

由于haxmax=0.5 mm,lm=154 mm,依据三角函数公式,转子径向偏转角α和位移传感器测量值hax(t)、hbx(t)关系可以表示为

同理,可知径向偏转角β也有相同的关系。由式(6)可以看出,位移传感器测量值与径向偏转角为正比关系,可通过位移传感器测量信息反映径向偏转角及角动量变化信息。

式(6)通过变形,综合两侧位移传感器的信息,提高了测量精度。

2.2 MSCSG 三自由度角动量包络建模

如图6 所示,定义定子坐标系Ofxfyfzf:与陀螺房固连,定子坐标系原点与陀螺房质心重合,Ofxf指向虚拟框架旋转方向,Ofzf为虚拟框架处在零位置时转子旋转方向,Ofyf符合右手螺旋定则。

定义转子坐标系Orxryrzr:与磁悬浮转子固连,但不随转子绕Orzr高速旋转。

转子初始静浮未偏转时,转子坐标系与定子坐标系重合。

图6 MSCSG 角动量交换坐标系相对运动关系示意图Fig.6 Schematic diagram of relative motion relationship of MSCSG angular momentum exchange coordinate system

由式(12)可得,无论径向偏转角α和β如何改变,方向向量[ -sinβsinαcosβcosαcosβ]T的模都不会改变,如果α∈[ -π, +π],β∈[ -π,+π]时,其包络面为一个球体。

因此,转子径向偏转角度的改变并不会影响角动量的大小,只会改变角动量的方向。Hd方向向量不包含转速Ω0,即转速不能对转子偏转方向产生影响。

在考虑转速变化时,MSCSG 转子角动量可以写为

式中:Ω为转子转速。

转子角动量的方向由2 转子径向偏转角度共同决定。

转子在万向偏转瞬间,只能有一个偏转角。

转子径向偏角α和β为转子分别沿xf、yf轴的偏转角,并不能直接表征转子瞬时空间指向。

同时,由于MSCSG 机械结构限制,转子角动量偏转角存在最大值,且2 径向偏转角α和β共同影响转子角动量偏转角。

虽然2 径向偏转角α和β理论偏转最大值与转子角动量偏转角最大值一致,但转子偏转角不能大于角动量最大偏转角,导致出现耦合现象。

为消除耦合现象对角动量包络分析的影响,提出基于转子偏转角的遍历经纬度的求解思路。

转子角动量指向偏转角δ表达式为

图7 MSCSG 转子偏转角映射至偏转经纬度示意图Fig.7 Schematic diagram of MSCSG rotor deflection angle mapped to deflection latitude and longitude

显然,经过遍历经纬度δ和θ重构后,遍历经纬度δ和θ及转子转速Ω并不存在耦合现象。

当同时改变转子径向偏转角及转子转速时,转子角动量大小及方向都会发生改变,同时输出轴向飞轮力矩及径向陀螺力矩。

此时,转子输出力矩为

式中:ζ·=[δ·θ·]T,δ·为角动量偏转的角加速度;θ· 为角动量绕zf旋转的角加速度;Ω·为转子转速的单位时间内的变化量。

将式(18)代入式(19)可得

对于式(21),由于Ω和Ω·并不是独立的2 个量,考虑在转子转速的饱和现象,即当转子转速接近最大值时,转子转速的单位时间变化量应当减小;转子转速减小接近最小值时,转子转速的单位时间变化量应当减小。

因此,对转子转速的变化量加入限制函数。

在转速未接近饱和时,限制函数对单位时间转速变化量的改变应尽量小,即f(Ω)应趋向于1;转速不断变化,接近饱和时,限制函数应使单位时间转速变化量逐渐趋于0,即f(Ω)应趋向于0。

Sigmoid 函数具有连续、光滑、严格单调的特点,是一个非常良好的阈值函数。

将Sigmoid 函数变形,得到限制函数表达式为

式中:k为一常值参数,k的改变会影响比例系数变化的快慢,且k越大,变化范围越小。

基于Sigmoid 函数变形的限制函数在中间转速时函数值趋近于1,而转速趋于饱和时函数值将趋近于0。f(Ω)曲线如图8 所示。

图8 f(Ω)曲线Fig.8 Functional graph of f(Ω)

通过使用针对转子转速的变化量的限制函数f(Ω),避免了MSCSG 转子转速的饱和现象。

将式(22)加入式(21)可得力矩包络表达式为

3.1 MSCSG 角动量及力矩包络的仿真

由于角动量最大偏转角度δmax=2°,极限偏转角度为2.1°,取遍历经纬度δ∈[0,0.011π],θ∈[ -π, +π)。

在固定转速及角动量偏转角度后,遍历经度θ在[ - π, + π)变化使角动量方向绕Ofzf旋转一周且平行于平面xfOfyf,轨迹为一周。

遍历纬度δ作为第2 层循环,遍历角动量偏转角度的大小。

随着角动量偏转角度的变大,遍历角θ变化形成的圆半径更大,距离平面xfOfyf更近。

取遍历角δ和θ的范围,完成了角动量方向的遍历,构成一个球冠。

归一化处理后,转子转速不变的情况下,单MSCSG 角动量包络如图9所示。

图9 转子转速不变情况下单MSCSG 角动量包络Fig.9 Single MSCSG angular momentum envelope under the condition of constant rotor speed on curve

由于转速没有改变,包络上每一点到原点的距离都是相等的,即转子转速不变的情况下单MSCSG 角动量包络是一个由平面z= cosδ切割后留下的球冠。

在考虑转速变化时,设置转子最小转速为最大转速的2/3。

归一化处理后,在遍历偏转角度基础上,遍历转速得到单MSCSG 角动量包络。

虽然机械结构限制了转子径向偏转角的最大偏转角度,但是在不同转速下,转子偏转角度的限制不会改变。

不同角度下,转速的不同只能导致角动量大小发生变化。

通过对比转子转速不变的情况下单MSCSG 角动量包络,可以理解MSCSG的角动量包络是由一个个大小不同但形状相同球冠的叠加。

由于偏转角度很小,导致径向角动量的变化很小。

最终单MSCSG 角动量包络呈现为一个上下底面略微凸起的圆台。

图10 所示角动量包络中,只要转子的径向偏转角及转速没有到达临界值,转子的角动量H可以沿着任意方向变化,输出三自由度力矩。

图10包络的最上方所在球半径为1 的球冠代表转子转速达到最大值时转子的角动量包络,最下方所在球半径为2/3 的球冠代表转子转速达到最小值时转子的角动量包络,而单MSCSG 角动量包络的侧面则至少有一个径向偏转角达到最大值。

图10 单MSCSG 角动量包络Fig.10 Single MSCSG angular momentum envelop

由图11 可以看出,在转子径向偏转速度达到最大,转速不断提高且即将达到最大时,由于转子饱和现象的存在,使得转子轴向旋转的单位时间转速变化量越来越小。

转速减小时,虽然在转速接近最小值时也会存在饱和现象,在输出径向力矩时,径向力矩的输出可以通过增大转子转速减低转子偏转角速度实现,避免转子转速的饱和现象。

因此,出现了z轴正向力矩包络边界比z轴负向力矩包络边界小的现象。

经过计算,陀螺轴向飞轮力矩最大值约为66.8 N·m,而径向陀螺力矩约为71.1 N·m。

图11 单MSCSG 力矩包络Fig.11 Single MSCSG torque envelope

3.2 MSCSG 径向万向偏转带宽实验

航天器姿态高精度控制既要实现快速姿态控制,也需对航天姿态机动过程中产生的振动进行抑制。

为了验证MSCSG 转子径向偏转力矩高带宽的特性,对MSCSG 原理样机进行了偏转力矩带宽测试实验。

实验系统如图12 所示,主要包括MSCSG 原理样机、控制器、示波器、电源、调试计算机等。

实验条件设置为:当转子稳定悬浮在平衡位置时,通过对转子施加径向两自由度不同频率的正弦激励信号使其偏转,持续输出时变的控制力矩。

图12 MSCSG 带宽测试实验装置Fig.12 MSCSG bandwidth test experimental device

实验中,调整电机转速达到5 000 r/min。

对转子在径向施加控制力矩。

控制信号设置为幅值固定的正弦信号,不断增加正弦信号的频率,观察转子偏转角所对应的频谱曲线。

部分实验结果如图13 和图14 所示。

图13 控制信号为10 Hz 时MSCSG 带宽性能测试结果Fig.13 MSCSG bandwidth performance test results when control signal frequency is 10 Hz

图14 控制信号频率为104.7 Hz 时MSCSG 带宽性能测试结果Fig.14 MSCSG bandwidth performance test results when control signal frequency is 104.7 Hz

实验过程中,偏转力矩频率与控制信号的频率基本保持一致,且幅值并未出现明显的下降。观察图13 和图14 时域波形图,图14 中径向偏转角的波形明显更密集。

观察频谱图,频谱图频率点包括频率为82.7 Hz 的转速同频分量以及指令力矩同频分量。

在不断增加控制信号频率的过程中,转速同频分量不随控制信号频率的增加变化,而偏转力矩频率随着控制信号的不断增大相应增大,图像中对应的频率点不断右移。

且在控制频率不断增大的过程中,偏转力矩频率幅值稳定在-56 dB 附近,说明偏转力矩控制信号频率的增加并未影响偏转频率控制精度。

以上分析表明转子输出力矩的频率大于100 Hz,具备高带宽例力矩输出功能。MSCSG 通过改变飞轮转速输出轴向飞轮力矩,与传统动量轮一样,在轴向可以持续输出力矩,可以用于姿态机动。

航天器振动具有小幅值、高频率往复运动的特点,传统控制力矩陀螺带宽小,无法进行高频振动抑制,MSCSG 转子径向陀螺力矩恰好能具有高带宽的特性,在航天器姿态稳定和微振动抑制中具有广泛应用前景。

同时在高轨卫星小角度姿态机动中也有一定的应用价值。

1) 介绍了MSCSG 机械结构,阐明了MSCSG三自由度角动量交换机机理。

基于LFMB 结构及工作原理,分析MSCSG 径向陀螺力矩高精度高带宽特性。

通过计算MSCSG 径向偏转力矩控制精度能够达到mN·m 级别,具有高精度的特点。

2) 考虑转子转速以及偏转饱和,对Sigmiod变形,基于偏角重构建立了MSCSG 角动量包络模型。

基于设计参数,MSCSG 轴向飞轮力矩最大值约为66.8 N·m,而径向陀螺力矩约为71.1 N·m,能够实现三自由度力矩输出。

3) 根据仿真结果分析,MSCSG 轴向飞轮力矩精度高,可用于姿态机动。

径向陀螺力矩精度高、带宽大,在小角度姿态机动、姿态稳定及振动抑制中具有良好的应用前景。