随机利率下基于O-U过程的商期权定价*

李敬楠，刘会利

(河北师范大学数学科学学院，河北 石家庄 050024)

Black-Scholes(B-S)期权定价理论所考虑的无风险利率被假定为常数，这样的假设在短期期权中是可以接受的，此时利率只出现在贴现因子中.近年来，市场中出现固定收益衍生品和新型利率衍生品，它们的收益是强烈依赖于利率的.在这些新型衍生品中，利率不仅用于贴现，也出现在衍生品的收益函数中.因此，有学者开始研究随机利率下的期权定价，创造性地开发出各种随机利率模型，如Hull-White利率模型[1]、Vasicek利率模型[2]、Ho-Lee利率模型[3]和CIR利率模型[4]等.还有学者就这几种利率模型对期权的定价问题进行了讨论[5-8].

Zhang[9]于1998年首次给出了商期权的定义.商期权是以2个标的资产或者股指指数或者其他数量比值为标的的期权，也称比率期权.Zhang还给出了在B-S框架下2个标的资产服从几何布朗运动的商期权价格解析式.2016年，杨晓琳等[10]分析了在分数布朗运动环境下标的资产服从跳扩散模型的商期权定价问题.2017年，张鸣明等[11]研究了基于双指数跳扩散和Heston随机波动率模型的商期权定价问题.受这些研究工作的启发，笔者拟讨论标的资产价格服从多维指数O-U过程，利率分别服从Ho-Lee利率模型和扩展的Vasicek利率模型，且具有不确定执行价格的商期权定价问题.

假设标的资产价格Si(t)(i=1,2)服从如下多维指数O-U过程:

(1)

其中：μi(t)为第i个标的资产预期收益率；
σij(t)(j=1,…,m)为第i个标的资产价格波动率，都是时间函数；
αi为常数；
(W1(t),W2(t),…,Wm(t))为测度Q下的m维标准布朗运动.

假设执行价格K(t)是随机的，且服从如下随机微分方程：

(2)

其中β(t)和bj(t)为时间函数.

经典B-S模型在期权定价理论的发展中起到极其重要的作用，在无风险利率为常数及其他一些理想假设下，利用该模型可以推算出标准欧式期权的定价公式.然而在现实世界中，利率通常是具有波动性的，本研究假设利率服从多维Ho-Lee利率模型和多维扩展的Vasicek利率模型.

多维Ho-Lee利率模型为

(3)

特别地，当θ(t)=0,r(0)=r时，(3)式转化为

(4)

从模型(4)可知，利率本身是没有稳定移动趋势的，只是围绕波动率波动，其初值为r.模型(4)的解的形式相对简单，即

(5)

多维扩展的Vasicek利率模型一般形式为

(6)

其中θ(t)，a(t)，σVj(t)为关于时间的确定函数.(6)式的解

对s由t到T进行积分，可得

(7)

引理1[12]设W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wm(t))是概率空间(Ω,F,(Ft)t≥0,Q)上的m维布朗运动，Θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θm(t))是一个m维适应过程，T是给定的正数.定义

引理2[13]假设资产价格Si(t)(i=1,2)满足(1)式，则资产价格在t时刻满足

(8)

引理3[14]假设执行价格K(t)满足(2)式，则执行价格在t时刻满足

(9)

定理1假设标的资产价格Si(t)(i=1,2)服从(1)式，执行价格K(t)满足(2)式，随机利率r(t)服从(3)式，则到期日为T的看涨商期权在0时刻的期权价格

其中：

d12=d11-σ(T);

gj(T,s)=bj(s)-σHj(s)(T-s).

证明由风险中性定价原理可得

由(8)式进一步计算可得

(10)

首先计算φ1.由(5)，(10)式可得

进一步有

(11)

由(9)，(10)式进一步计算可得

其中：

于是X1～N(0,σ2(T))，由此可得

(12)

接下来计算φ2.由(5)，(9)式可得

(13)

于是X2～N(0,σ2(T))，从而

(14)

综合(11)～(14)式可得定理1.证毕.

定理2在定理1的条件下，看跌商期权在0时刻的期权价格

定理2的证明可参考定理1.

定理3假设标的资产价格Si(t)(i=1,2)服从(1)式，执行价格K(t)满足(2)式，随机利率r(t)服从(6)式，则到期日为T的看涨商期权在0时刻的期权价格

其中：

证明其证明思想与定理1的类似，即利用多维Girsanov定理和测度变换，但此时利率模型发生了变化.由(7)，(10)式可得

由风险中性定价原理可得

(15)

于是Y1～N(0,σ2(T))，从而

(16)

再计算φ2.由(7)，(9)式可得

(17)

于是Y2～N(0,σ2(T))，从而

(18)

综合(15)～(18)式可得定理3.证毕.

定理4在定理3的条件下，看跌商期权在0时刻的期权价格

定理4的证明可参考定理3.

为了观察各参数对商期权价格c的影响，给出在不同常数参数下期权价格关于标的资产价格和执行价格的变化趋势(图1～6).实验中假定m=1，Ho-Lee模型和Vasicek模型中r(0)=0.05，Vasicek利率模型中θ=0.05，a=0.2.

图1 Ho-Lee模型下c与S1的关系

接下来分析2个利率模型的波动率对商期权价格的影响：

假设S2=100，K=1，从图1可以看出期权价格随标的资产价格S1的增长而增长；
假设S1=100，K=1，从图2可以看出期权价格随标的资产价格S2的增长而降低；
假设S1=S2=100，从图3可以看出期权价格随执行价格K的增长而降低.图1～3表明，Ho-Lee利率模型的波动率越大，期权的价格越高.

图2 Ho-Lee模型下c与S2的关系

图3 Ho-Lee模型下c与K的关系

假设S2=100，K=1，从图4可以看出期权价格随标的资产价格S1的增长而增长；
假设S1=100，K=1，从图5可以看出期权价格随标的资产价格S2的增长而降低；
假设S1=S2=100，从图6可以看出期权价格随执行价格K的增长而降低.图4～6表明，Vasicek利率模型的波动率越大，期权的价格越高.

图4 Vasicek模型下c与S1的关系

图5 Vasicek模型下c与S2的关系

在资产价格服从指数O-U过程和执行价格是随机的假设下,分别给出了Ho-Lee利率模型和扩展的Vasicek利率模型下商期权的风险中性价格公式.值得注意的是，本研究假定多维布朗运动每个分量之间是相互独立的，因此下一步可以考虑具有相关性的布朗运动.