基于MCA,模型的指纹图像修复方法的研究*

马炜明 李建祥 郝小辉 朱 翔 王敏刚

（1.兰州理工大学电气工程与信息工程学院 兰州 730050）（2.甘肃省公安厅 兰州 730030）（3.甘肃警察职业学院 兰州 730046）（4.兰州市公安局 兰州 730030）

图像修复是图像处理的重要组成部分，是近些年比较热门的研究课题之一，而指纹图像作为一种特殊的图像，它在公安安防、生活应用等领域都具有很重要的意义［1～3］。在现实生活中，受到设备、环境等因素的影响，获取的指纹图像往往是包含各种噪音和纹线断裂的低质量图像，而现在人们运用较多的一些指纹预处理［4］很难将指纹的断裂纹进行修复，无法达到高质量的复原，影响指纹对比的准确性；
在对指纹断裂痕修复的研究中，人们一般倾向于偏微分方程修补模型在指纹复原的应用［5］。而需要修补的指纹图像一般情况都是有较复杂的背景，单一使用偏微分方程修复很难将指纹断裂痕连接，容易出现虚假和错搭现象，而MCA 图像修复算法将一幅图像分为结构和纹理两部分分开修复，正好解决了这个问题。本文将对偏微分方程修补模型中的BSBC 模型［6］、TV 模型［7］、CDD 模型［8］这三种经典修复模型进行对比，结合MCA 模型，针对残缺指纹图像的特点，采用一种基于MCA 模型的指纹图像修复方法，经过仿真验证，该算法在处理指纹图像这种特殊图像时，具有很好的修复效果。

Bertalmio 在早期艺术家修复油画的思想中得到启发，提出了最早的偏微分方程修补模型-BSBC模型［6］，该模型的基本思想是通过把图像已知区域的边界的等照度线向待修复区域进行延伸而进行修复，这一扩散过程保证了不同等照度线的弯曲，从而避免了不同等照度线的相交，不会让边缘结构失真，修复效果比较接近人的视觉的主观感受，但是该算法在一些纹理细节的处理效果不佳，对其严格的数学分析复杂。

基于TV 模型的图像修补算法是Chan等在Rudin 等［7］提出的TV 模型的基础上推广到图像修补的。Chan 等通过扩展基于全变分模型的图像去噪方法，提出了基于全变分模型的图像修补技术，该方法通过变分方法求解最小化能量方程，在有噪声的非纹理图像的修复效果非常好。TV 模型的主要优点是保持边缘和数值PDE实现方便，但破坏了视觉理论的连接性原理。

在TV 修补模型中，其正则项只惩罚了图像边界的长度，断裂的条状结构总是被最短的直线连接，破坏了连接性原则。如图1 所示，无论w 和l 的比率，图1 中的（b）为正常状况下人视觉感受最优的修补结果，对于TV 模型，当l＜w 时，修补结果为图1 中的（b），当l＞w 时，修补结果为图1 中的（c），这就破坏了视觉连通性原理，尤其在指纹断裂痕的修复中是不适用的。

图1 修复示意图

基于这个不足点，Chan 和Shen 等又提出了遵循连接性原则的CDD模型［8］。CDD模型将TV模型的传导系数修改为D̂=g(|κ|)/|∇u|，这种选择可使在大曲率处扩散变强，小曲率扩散消失，克服了TV模型的缺陷，能有效连接被隔开的细小条状物，适合在指纹断裂痕的连接。

虽然CDD 模型在克服了连接性原则，但是对于指纹这种特殊复杂纹理图像很难进行修复，通常状况下的残缺指纹图片包含了复杂的背景结构，这样给原本的算法增加了干扰。而MCA 模型将一幅图分解为了结构部分和纹理部分，很好的解决了这个问题。本文将在Starck 的MCA 图像修补模型的基础上，结合指纹图像的特点，将其中的TV修补模型换为CDD修补模型加以改进。

3.1 MCA算法的原理

MCA 模型是一种分解模型，是由Starck 等［9］提出的，该模型利用两个能对结构分量和纹理分量的字典Tt、Tn对图像的结构部分和纹理部分进行分解［9］。其基本思想是假设图像由Xn,Xt构成，即图像的结构和纹理；
对任意输入的图像信号X∈RN，则X=Xn+Xt。其进行图像分解时，将问题转化为了基于l1最小化范数问题。

MCA图像修补模型［10］为

算法步骤：初始化参数、稀疏修补（利用Xn，重构Xt）（利用Xt，重构Xn），TV 修补，更新阈值，判断是否满足阈值的条件，是则退出，否则重新开始稀疏修补的步骤。

3.2 改进后的MCA修复算法

考虑到文献［10］中提到的MCA 图像修补模型中加入了TV算法，其不满足视觉的连通性原理，不适合指纹图像的修复，而CDD 模型符合视觉连通性原理，在此基础上，本文将CDD 模型应用到MCA模型中，采用一种适合指纹图像修复的MCA 图像修复模型。具体算法如下。

将MCA稀疏分解模型和CDD图像修复模型相结合，同原MCA 修复模型一样，先在MCA 分解模型中加入“掩膜矩阵”M，在此基础上加入CDD修复模型，得式（2）：

其中是DTCWT，是第二代曲线波变换，整个过程采用交替最小化的方法。

模型（7）的算法计算步骤如下：

1）选择参数：阈值参数α，γ和Lmax；
收敛参数ε；
初始化=X,=0；
令δn,μ′=(1+α2-|μ′|/4)/2γ,δt=γLmax。

2）进行迭代：

算法流程图如图2所示。

图2 算法流程图

实验采用ZKT 光学指纹采集器采集的121×140 的含有断裂纹的指纹图像，分别用CDD 图像修复算法、原MCA 图像修复算法和改进后的MCA 修复算法对同一幅指纹图像进行修复，实验结果如图3所示，其中CDD算法的实验参数为p=1.5，a=1.55，K=0.8；
原MCA修复模型和改进后的MCA模型实验参数为Lmax=255,γ∈[0.05,05],α∈[0.1,5]，三种算法的迭代次数都为300次。

图3 修复效果对比图

目前的数字图像修复的客观评价标准中，常用的有均方根误差测度（RMSE）、信噪比测度（SNR）、峰值信噪比测度（PSNR）以及信噪比改进测度（ISNR）等。本文将采用PSNR、和算法运行时间来对算法进行比较。

由图3 的修复效果可看出新模型能很好的复原指纹图像的断裂痕，而CDD 模型虽然满足了连通性原理，但由于修复过程中背景的复杂性导致修复后的纹理模糊，效果不佳，而传统的MCA 修复模型由于引入了TV修复模型，没有满足连通性原理，无法对指纹的断裂痕进行有效修复。

表1 为CDD 修复模型、原MCA 修复模型和改进后的MCA 模型对残缺图像处理后的PSNR、算法运行时间的比较。图4 为三种算法迭代时间和迭代次数、PSRN的折线图。

图4 图像修复时间与PSRN曲线

表1 三种算法均方根误差、峰值信噪比与时间

通过实验数据的比对，改进后的MCA 算法相对于原CDD 算法不仅缩短了修复时间，而且修复效果上有了提升；
而传统MCA 算法虽然有更快的修复速度，但是新算法在修复效果上具有更好的响应。

本文结合MCA 图像修补模型和偏微分方程在指纹修复的两大优点，将MCA 模型和CDD 图像修复模型相结合，采用了一种适合修复指纹断裂痕的图像修复模型，经过实验对比和最终的数据比较，新模型在修复指纹断裂痕这种特殊图像时具有很好的效果，在实际应用中具有很好的前景。