基于差分进化算法的飞机油量传感器布局优化方法

郑帅，王子涵，赵浩然，杨朋涛，洪军

1. 西安交通大学 软件学院，西安 710049 2. 西安沃祥航空科技有限公司，西安 710089 3. 西安交通大学 机械工程学院，西安 710049 4. 西安交通大学 现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室，西安 710049

飞机油量传感器布局是飞机燃油系统设计中的重要环节之一，良好的传感器布局是燃油系统精确测量油量的基本保障。国内外飞机一般采用电容式传感器进行油量测量，为了保证良好的测量性能，传感器布局应当遵循一定的布局原则。

国内早期的学者通过理论论证的方法进行布局设计，但只能进行规则油箱下的单根或2根传感器布局。杨朋涛等使用切割传感器安装线并对集合进行划分合并的方式进行传感器布局，求解效率较低，在集合合并中容易丢失大量可行解。袁梅等使用粒子群算法对传感器进行了布局优化，该方法能够对多根传感器进行有效的布局，但仅考虑了传感器竖直布置的情况。

国外在此领域的公开资料较少，处于技术封锁状态。美国的Rabelo等使用了具有自适应算子的遗传算法进行了布局优化，韩国的Jung等使用MATLAB中的非线性优化工具箱进行了布局优化，但以上2种方法收敛性不佳，优化指标也与中国现有的传感器布局原则不符。

目前，较成熟的多目标优化算法是非支配排序遗传算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II, NSGA-Ⅱ)，差分进化(Differential Evolution, DE)算法常被用来解决连续空间中的单目标优化问题，性能优异。基于此，本文考虑了传感器布局中受到的约束以及倾斜布置的情况，提出了对布局指标的评估方法，然后将NSGA-Ⅱ中的非支配排序方法与差分进化算法相结合对传感器布局进行了多目标优化，并通过OpenMP并行计算技术优化了算法的求解速度。最后，对典型油箱的传感器布局进行了多目标优化试验，试验结果验证了本文方法的有效性。

1.1 飞机油量测量原理

进行油量测量时将燃油视为一个平面，根据飞机的姿态角可以解算油面姿态，结合电容传感器的液位读数查询燃油质量特性数据库，从而得到飞机油量。当油箱内存在多根传感器时，计算有效传感器对应油量的平均值。

(1)

设电容传感器的读数为，标定的零电容值与满电容值分别为与，传感器的总长度为，补偿传感器满值补偿系数为，则油位高度可以表示为

(2)

在实际计算中考虑飞机的过载、燃油温度、密度等因素，还会采取一些特殊处理手段进行修正，由于这部分内容属于燃油测量解算部分，本文不做详细讨论，按照燃油测量的基本原理进行后续求解。

图1 机体坐标系示意图Fig.1 Schematic of aircraft-body coordinate frame

1.2 飞机油量传感器布局约束

传感器在安装时应避免与油箱内部结构产生干涉，为了防止雷击等极端气候条件产生影响，传感器应当与油箱顶、底部有一定的距离。在倾斜布置传感器时倾斜角不应过大。此外，传感器也不能设计得过短或过长。

对于2根及以上数量的传感器，油面姿态倾斜时可能会出现测量不连续的情况，如图2所示，油面浸没了传感器S1，继续升高时电容值不会发生变化，直到油面接触到传感器S2。测量不连续的情况会产生较大的测量误差。

图2 测量连续性示意图Fig.2 Schematic of measurement continuity

1.3 飞机油量传感器布局优化目标

由于传感器的顶、底部存在非受感区域，因此当飞机的油量过低或过高时，传感器无法感知油面的变化情况。如图3所示，油面在不同的角度下产生了不同的不可测量油量，在进行布局时应当尽量减小不可测量油量。

图3 不可测量油量示意图Fig.3 Schematic of unmeasurable fuel

进行燃油测量的必要信息是通过传感器获取的油面高度与通过航姿信息获取的油面角度。但是在实际情况下，由于燃油平面产生倾斜与晃动，无法准确地获得油面角度，燃油测量会存在一定的姿态误差。

如图4所示，真实油面为，考虑姿态误差时分别以油面和进行燃油测量，并取二者的平均值，将其与通过油面计算得到的真实值之间产生的测量误差称为姿态误差。

图4 姿态误差示意图Fig.4 Schematic of attitude error

2.1 约束处理方法

2.1.1 安装约束

为便于处理，本文将传感器简化为图5所示在三维空间内具有底点和顶点的无粗细线段。

图5 传感器模型简化示意图Fig.5 Schematic of simplified sensor model

先使用CATIA软件中的Tessellate命令分别对油箱模型的底部、顶部可安装区域进行离散化，从而获取2个离散点集合，如图6所示。

图6 油箱底部与顶部离散化示意图Fig.6 Schematic of discretization of bottom and top of tank

将底部、顶部离散点进行笛卡儿乘积可以得到具有不同倾斜角度的传感器安装线集合，然后考虑安装间隙、倾斜角和长度限制以及与油箱结构的干涉情况，对集合中的安装线逐根进行判断，过滤掉不满足要求的安装线。假设计算传感器安装线段(line)与油箱模型(model)交点数量的函数为GetCrossNumber(line, model)，判断安装线是否与模型发生干涉的方法可以表示为

(3)

安装线的生成流程如图7所示。

图7 初始安装线生成流程Fig.7 Generation process of initial installation line

2.1.2 测量连续性约束

文献[8]与文献[9]提出了2种用来判断测量连续性的方法，但这2种方法只适用于垂直布置的传感器。本文设计了对一组包含倾斜布置的传感器进行连续性判断的方法，步骤如下:

获取一组传感器的底点、顶点，得到传感器的点集合。

将飞机油面的最大姿态角离散化为个姿态角度。

对于步骤2中第个(=1,2,…,)姿态下的油平面，将步骤1中的所有点沿该姿态下油平面法向方向由近到远排序，然后删除最近点和最远点。

油平面依次经过步骤3得到的点集合中的每个点，判断与所有传感器的交点数量，如果交点数量小于2则认为该组传感器不连续，算法结束，否则进行步骤5。

判断是否对所有姿态都进行了连续性检验，如果是，则判断该组传感器连续，算法结束，否则切换到下一个姿态，进行步骤3。

2.2 优化目标评估方法

本文使用以下计算流程评估一组包含倾斜布置的传感器在油箱中的底部与顶部不可测量油量，步骤如下:

获取一组传感器的底点、顶点，得到传感器的点集合。

将飞机油面的最大姿态角离散化为个姿态角度，选择第个(=1,2,…,)姿态下的油平面，将步骤1中获得的点集合沿油平面的法向方向由近到远排序。

分别选择步骤2中的最近点和最远点计算底部、顶部不可测量油量。

判断是否对所有姿态下的不可测量油量都进行了计算，如果否，返回步骤2进行下一个姿态下的计算，否则进行步骤5。

分别选择所有姿态下最大的底部、顶部不可测量油量作为该组传感器的底部、顶部不可测量油量。

对于一组包含倾斜布置的传感器，其姿态误差的评估可以参照竖直布置时的计算方法。

在大多数学者的研究中，将传感器布局的多个优化目标处理后进行单目标布局优化，一方面得到的结果性能不佳，另一方面不利于设计人员分析多个布局指标之间的相关性，本文使用差分进化算法实现传感器布局的多目标优化。

差分进化算法是一种基于群体智能理论的全局寻优算法，与遗传算法、粒子群等算法相比，其参数少、鲁棒性强，在许多领域得到了广泛的应用。本文将离散型变异算子引入差分进化算法中，并采用NSGA-II中的快速非支配排序与精英保留策略来对传感器布局进行多目标优化。

3.1 种群初始化

将每个个体定义为一个传感器布局方案，采用离散编码的方式对个体进行编码，每个个体向量的分量为传感器安装线的索引，根据该索引可以从初始安装线集合中获取传感器的底点和顶点坐标。

首先，对油箱模型产生的初始可布置安装线集合中的线段逐根编号，获得线段的索引集合，设安装线集合中共有根传感器安装线，则索引范围为{0,1,…,-1}。

采用随机生成的方式，从安装线集合中产生一个初始种群，种群的规模为NP，种群中的每个个体表示为

,=[1,,2,,…,,]

(4)

式中：=1,2,…,NP表示种群中个体的序号；
表示进化代数；
为个体的维度，表示一个布局方案中传感器的根数。

产生初始种群中第个个体的第维分量的方式为

,0=floor (rand[0,1]·(-1))

(5)

式中：rand[0,1]会产生一个0～1之间服从均匀分布的随机浮点数；
floor表示向下取整。

在初始种群个体生成过程中，每次生成一个个体，都检查该个体是否满足测量连续性约束，如果不满足，采用随机生成的方法重新产生个体，直到生成NP个个体。产生完毕后，对初始种群的3个优化指标进行一次评估。

3.2 变异操作

本文使用DE中常用的变异操作，即对于种群中每个个体向量,，随机选择3个不同的个体向量进行结合，产生变异个体:

, + 1=floor (,+·(,-,))

(6)

式中：缩放因子的范围为[0,1]；
、、是3个差分向量的索引。在产生变异向量的过程中，如果获取的传感器编号超出了安装线集合边界，就从传感器安装线的集合编号{0,1,…,-1}中随机选取一个新的编号作为变异向量。

3.3 交叉操作

本文采用二项式交叉操作构造试验个体,+1，构造方法为

(7)

式中：rand()产生[0,1]范围内服从均匀分布的随机数；
交叉概率因子CR的范围为[0,1]；
rnbr()在{1,2,…,}中产生一个随机整数以保证试验向量至少从变异向量中获取1个分量值。

3.4 约束处理

经过交叉操作后产生的试验个体满足安装约束，但是不一定满足测量连续性约束，因此需要对经过交叉操作后的试验个体进行检查。

对于不满足测量连续性的个体，本文采用丢弃后重新生成的方法进行处理。即丢弃该个体后重新进行一次变异、交叉操作，产生一个新的试验个体，直到产生NP个满足测量连续性约束的试验个体。

3.5 种群多样性保持与更新

将新产生的NP个试验个体与上一代种群中的NP个个体进行合并，构成2 NP个个体。计算该2 NP个个体的3个评估指标。

根据个体的评估指标，使用NSGA-Ⅱ中的快速非支配排序方法对合并后的2 NP个个体进行非支配排序，按照排序等级由低到高逐层选取个体构建Pareto非支配解集，形成具有NP个个体的新一代种群。对于等级相同的个体，计算其拥挤距离，按照拥挤距离由大到小进行选择。新一代种群进入后续迭代计算中参与进化过程，直到算法迭代至设定次数后终止。

根据以上操作步骤设计的飞机油量传感器布局优化流程如图8所示。

图8 算法基本流程Fig.8 Basic procedure of algorithm

3.6 OpenMP并行设计

对目标函数进行计算时需要调用图形处理库对油箱模型进行反复测算，这个过程比较耗时。对于每个个体的评估，未经优化的算法是串行执行的，无法发挥现代多核CPU计算机的优势。OpenMP作为最流行的并行编程框架之一，可以简单、高效地实现并行计算，本文使用OpenMP技术对优化算法的目标函数计算部分进行了并行优化，以在不影响布局求解效果的同时加快求解速度，关键部分代码如算法1所示。其中：f_b、f_t、f_e分别为个体的3个评估指标的成员变量，CalFb()、CalFt()、CalFe()分别为计算3个评估指标的函数。

算法1 目标评估的并行优化代码Algorithm 1 Parallel optimization code for target evaluation

3.7 多目标差分进化算法参数选择

差分进化算法中的主要参数为缩放因子与交叉概率因子CR。一般认为选取越大，CR选取越小，算法的全局搜索能力越高，但是搜索效率会降低。针对飞机油量传感器布局优化问题，本文对以上2个参数进行了试验研究。

本文对缩放因子与交叉概率因子CR在[0,1]范围内进行了多组交叉试验以评估选取不同参数时算法的优化效果。为了便于比较，对于每次试验取所有Pareto解3个优化目标的平均值作为评价依据。在3根传感器数量下以某油箱模型进行测试计算，对于每组参数，算法随机运行10次并取其平均值，结果如图9所示。

图9 不同CR、F选择下的优化结果Fig.9 Optimization results for different choices of CR and F

通过试验可以看到交叉概率因子CR的选择对算法优化效果的影响比较显著，CR越小，算法的优化性能越好，缩放因子的选择对算法性能的影响相对较小。

本文使用C++建立了对油箱模型进行测量解算的程序，并实现了本文提出的基于差分进化算法的飞机油量传感器布局优化方法。

为了验证方法的有效性，选用某飞机油箱模型进行3根感器下的布局优化，油箱模型如图10所示。

图10 油箱模型示意图Fig.10 Schematic of fuel tank model

传感器布局需要满足的姿态参数为: 俯仰角-8°～12°，滚转角-8°～8°，将俯仰角、滚转角分别离散至9个角度。传感器的布置考虑倾斜角度，最大倾斜角设置为45°。算法的优化参数设置为：种群规模100，缩放因子取0.7，交叉概率因子CR取0.1，迭代次数设置为500次。

算法执行完毕后得到了100个有效可行解，Pareto曲面如图11所示。

图11 Pareto解分布Fig.11 Pareto solution distribution

在优化过程中，底部不可测量油量()平均值、顶部不可测量油量()平均值和姿态误差()平均值的变化曲线如图12所示，最小值变化曲线如图13所示。由图可以看出，顶部不可测量油量在迭代末期略有波动，但总体保持在1.0%～1.5% 之间，底部不可测量油量和姿态误差在350次迭代以后接近稳定。

图12 Fb、Ft、Fe平均值变化曲线Fig.12 Change curves of mean Fb, Ft and Fe

图13 最小Fb、Ft、Fe变化曲线Fig.13 Change curves of minimum Fb, Ft and Fe

试验获得的Pareto解集如表1所示，由表可知，解1是布局方案中底部不可测量油量最小的解，解45是顶部不可测量油量最小的解，解83是姿态误差最小的解。

表1 基于差分进化算法所得Pareto解集

由于多目标优化后得到的Pareto解集中各个解之间不存在支配关系，因此本文在可选解的范围内综合考虑可安装性、经济性等因素，从Pareto解集中选择3个指标均趋小的解57作为本问题最终的优选解，其布局示意图如图14所示。

图14 最终优选解的布局示意图Fig.14 Layout schematic of final optimal solution

进一步，将3个优化目标线性加权后使用差分进化算法进行单目标优化，其中各目标权值分配相等，其余参数保持一致，将计算结果与多目标优化后得到的结果进行对比，如表2所示，单目标优化后得到了一个解，该解在指标上表现较好，但在指标上表现较差，各指标的均衡性劣于多目标优化的布局结果。

表2 单目标与多目标优化结果对比

通过试验结果分析，本文提出的方法在保证安装约束、测量连续性的前提下其平均底部不可测量油量达到1.24%，顶部不可测量油量达到1.09%， 姿态误差为1.58%，获得的Pareto解质量较高，可以满足工程设计需要。

文献[8]中的方法是目前应用较为成熟的布局优化方法，但是在优化过程中对安装线集合进行合并时会造成可行解的丢失。为进一步验证本文方法的性能，针对以上油箱模型分别在不同传感器数量下进行对比试验，两者使用相同的姿态参数以及初始安装线集合。因为文献[8]将与视为约束，优化目标为，因此本文在使用文献[8]的方法进行试验时，将、的约束参数从5%开始设置，逐渐逼近1%，以求解成功时的最优解表示文献[8]方法的最优性能。本文方法的CR参数设置为0.1，设置为0.7，算法迭代500次。

选择本文方法生成的Pareto解与文献[8]方法得到的优化结果进行对比，结果如表3所示。根据试验结果，通过本文优化方法实现的传感器布局，各项优化指标明显优于对比文献。

表3 不同传感器数量下的优化结果对比

为了验证本文的优化方法在不同种类的油箱生成的初始安装线集合下的优化效果，本文选择了3种特殊形状的油箱在3根传感器数量下进行了优化试验，选择Pareto解与使用文献[8]中方法得到的优化结果进行对比，油箱模型布局结果如图15所示，指标对比结果如表4所示，试验结果证明了本文的优化方法对不同种类的油箱有较好的通用性，可以有效地进行传感器布局优化。

图15 特殊形状的油箱模型及布局结果Fig.15 Special shape tank models and layout results

表4 不同油箱模型下的优化结果对比

为了验证使用OpenMP后算法的优化效果，在同样的系统运行环境下分别采用使用OpenMP并行设计的优化方法、未使用OpenMP并行设计的优化方法与文献[8]中的优化方法进行3根传感器下的优化对比试验。试验采用的计算机CPU为i7-6700HQ，具有4核8线程运算能力，内存为16 GB，操作系统为Windows10 64位，编程环境为VS2017，运行结果如表5所示。试验结果表明在该运行环境下经过并行设计的优化方法相比未使用并行设计的方法优化时长降低了约72.2%，相比传统优化方法优化时长降低了约56.9%。

表5 优化时间对比Table 5 Comparison of optimization time

1) 通过对飞机油量测量传感器布局优化中的约束条件与优化目标进行分析，在考虑安装约束、测量连续性约束与倾斜传感器布置的前提下建立了对底部、顶部不可测量油量与姿态误差3个指标的评估方法。

2) 基于差分进化算法设计了对底部、顶部不可测量油量与姿态误差3个指标的多目标优化方法，对方法中差分进化算法的参数选择进行了研究并使用OpenMP并行设计提高优化速度。

3) 对典型油箱模型进行了传感器布局优化试验，结果表明基于差分进化算法的传感器布局优化方法能够有效优化飞机油量传感器布局中的多个指标且在优化速度上有明显提高。