04普通高等学校招生全国统一考试浙江卷文科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生浙江卷文史类数学试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则= (A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2} （2）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是 （A）
（B）
（C）
（D）
(3) 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 （4）已知向量且∥，则= （A）
（B）
（C）
（D）
（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 （A）（ （B）（ （C）（ （D）（ （6）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是 （A）y2=8--4x （B）y2=4x—8 （C）y2=16--4x （D）y2=4x—16 (7) 若展开式中存在常数项,则n的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)“”“A=30º”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 (9)若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a= （A）
（B）
（C）
（D）2 （10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （A）（B）（C）（D）
（11）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A）
（B）
（C）
（D）
（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是 （A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上 （13）已知则不等式的解集是 （14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于 （15）已知平面α⊥β， =，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为 （16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本题满分12分）
已知数列的前n项和为 （Ⅰ）求；

（Ⅱ）求证数列是等比数列 （18）（本题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值 （19）（19）（本题满分12分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点 （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本题满分12分）
某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）假定工厂之间的选择互不影响 （Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；

（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率 （21）（本题满分12分）
已知a为实数， （Ⅰ）求导数；

（Ⅱ）若，求在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围 （22）（本题满分14分）
已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双 曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1 （Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的 取值范围；

（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲 线的方程 2004年普通高等学校招生浙江卷文史类数学试题 参考答案 一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.B 2.A 3. B 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.D 10.D 11D 12. B 二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13. 14. –4 15. 16. 5 三.解答题 17. 解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得 . (Ⅱ)当n>1时, 得所以是首项,公比为的等比数列. (12分) (18) 解: (Ⅰ) = = = = (Ⅱ) ∵ ∴, 又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是. (19) (满分12分) 方法一 解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM∥OE ∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDE (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， ∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF， ∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角 在RtΔASB中， ∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， ∴PQ⊥平面ABF，平面ABF， ∴PQ⊥QF 在RtΔPQF中，∠FPQ=60º， PF=2PQ ∵ΔPAQ为等腰直角三角形， ∴ 又∵ΔPAF为直角三角形， ∴， ∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点 方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, ∴ =(, 又点A、M的坐标分别是 （）、（ ∴ =（ ∴=且NE与AM不共线， ∴NE∥AM 又∵平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDF （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF ∴为平面DAF的法向量 ∵=（·=0， ∴=（·=0得 ,∴NE为平面BDF的法向量 ∴cos<>= ∴的夹角是60º 即所求二面角A—DF—B的大小是60º （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º ∴ 解得或（舍去）， 即点P是AC的中点 (20) 解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A, 则. (Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B, 则 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是, 所以 (12分) (21) 解: (Ⅰ)由原式得 ∴ (Ⅱ)由 得,此时有. 由得或x=-1 , 又 所以f(x)在[--2,2]上的最大值为最小值为 (Ⅲ)解法一: 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得 即 ∴--2≤a≤2. 所以a的取值范围为[--2,2]. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0, 从而x1≥-2, x2≤2, 即 解不等式组得: --2≤a≤2. ∴a的取值范围是[--2,2]. (22) (满分14分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以 得. ∵ ∴≤≤2, 解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范围是 (Ⅱ)可设双曲线方程为 由 得. 又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为 直线AP的方程y=x-1, ∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得， 所以所求双曲线方程为 即