北师大版八年级下册数学全册教案

北师大版八年级下册数学 全册教案 备课人：___________ 目录 1．1　等腰三角形 3 第1课时　三角形的全等和等腰三角形的性质 3 第2课时　等边三角形的性质 6 第3课时　等腰三角形的判定与反证法 8 第4课时　等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 11 1．2　直角三角形 15 第1课时　直角三角形的性质与判定 15 第2课时　直角三角形全等的判定 19 1．3　线段的垂直平分线 22 第1课时　线段的垂直平分线 22 第2课时　三角形三边的垂直平分线及作图 24 1．4　角平分线 27 第1课时　角平分线 27 第2课时　三角形三条内角的平分线 31 第一章复习　三角形的证明 33 2．1　不等关系 40 2．2　不等式的基本性质 42 2．3　不等式的解集 44 2．4　一元一次不等式 46 第1课时　一元一次不等式的解法 46 第2课时　一元一次不等式的应用 49 2．5　一元一次不等式与一次函数 52 第1课时　一元一次不等式与一次函数的关系 52 第2课时　一元一次不等式与一次函数的综合应用 54 2．6　一元一次不等式组 56 第1课时　一元一次不等式组的解法 56 第2课时　一元一次不等式组的解法及应用 58 第二章复习　一元一次不等式与一元一次不等式组 60 3．1　图形的平移 63 第1课时　平移的认识 63 第2课时　坐标系中的点沿x轴、y轴的平移 66 3．2　图形的旋转 69 第1课时　旋转的定义和性质 69 3．3　中心对称 74 3．4　简单的图案设计 77 第三章复习　图形的平移与旋转 80 4．1　因式分解 85 4．2　提公因式法 87 第1课时　直接提公因式因式分解 87 第2课时　变形后提公因式因式分解 89 4．3　公式法 91 第1课时　平方差公式 91 第2课时　完全平方公式 94 第四章复习　因式分解 96 5．1　认识分式 102 第1课时　分式的有关概念 102 第2课时　分式的基本性质 105 5．2　分式的乘除法 108 5．3　分式的加减法 112 第1课时　同分母分式的加减 112 第2课时　异分母分式的加减 114 5．4　分式方程 119 第1课时　分式方程的概念及列分式方程 119 第2课时　分式方程的解法 121 第3课时　分式方程的应用 123 第五章 复习　分式与分式方程 126 6．1　平行四边形的性质 135 第1课时　平行四边形边和角的性质 135 第2课时　平行四边形对角线的性质 138 6．2　平行四边形的判定 140 第1课时　利用四边形边的关系判定平行四边形 140 第2课时　平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离 142 6．3　三角形的中位线 145 6．4　多边形的内角和与外角和 148 第六章复习　平行四边形 151 1．1　等腰三角形 第1课时　三角形的全等和等腰三角形的性质 1．复习全等三角形的判定定理及相关性质；

2．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．(重点，难点) 一、情境导入 探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？ 二、合作探究 探究点一：全等三角形的判定和性质 【类型一】 全等三角形的判定 如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(　　)
　　　　　　　　　　　　　 A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BAD＝∠CAD 解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，则△ABD≌△ACD(SAS)；
B.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
C.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)；
D.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD≌△ACD(ASA)；
故选B. 方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【类型二】 全等三角形的性质 如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是(　　) A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠D＝∠B D．AC＝BC 解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，错误的结论是D.故选D. 方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；
根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键． 探究点二：等边对等角 【类型一】 运用“等边对等角”求角的度数 如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝(　　) A．80°
B．100° C．140°
D．160° 解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选C. 方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；
②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；
③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°. 【类型二】 分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用 等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数． 解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；

②顶角即为30°. 因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°. 方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；
一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键． 探究点三：三线合一 【类型一】 利用等腰三角形“三线合一”进行计算 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数． 解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC. 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°. 方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；
二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合． 【类型二】 利用等腰三角形“三线合一”进行证明 如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E使得AE＝AD，连接DE，求证：DE⊥BC. 解析：作AF∥DE，交BC于点F.利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠FAC.在△ABC中由“三线合一”得AF⊥BC.再结合AF∥DE可得出结论． 证明：过点A作AF∥DE，交BC于点F. ∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE. ∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝∠ADE. ∴∠BAF＝∠FAC. 又∵AB＝AC，∴AF⊥BC. ∵AF∥DE，∴DE⊥BC. 方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合． 三、板书设计 1．全等三角形的判定和性质 2．等腰三角形的性质：等边对等角 3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论． 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高. 第2课时　等边三角形的性质 1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；

2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．(重点、难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？ 二、合作探究 探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC. 证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在△BEC与△CDB中，所以△BEC≌△CDB，所以BD＝CE，所以AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又因为∠A是△ADE和△ABC的顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC. 方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 探究点二：等边三角形的相关性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM. 解析：要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可． 证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB和△DME中，∴△DME≌△DMB.∴BM＝EM. 方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，求∠BQM的度数． 解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN＝∠ABC＝60°. 解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等． 三、板书设计 1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质 等腰三角形两底角的平分线相等；

等腰三角形两腰上的高相等；

等腰三角形两腰上的中线相等． 2．等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识. 第3课时　等腰三角形的判定与反证法 1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；
(重点) 2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明． 一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米． 同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定． 二、合作探究 探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边) 【类型一】 确定等腰三角形的个数 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；
(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A. 方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数． 【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形． 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；

(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°. 方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 探究点二：反证法 【类型一】 假设 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(　　) A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° 解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C. 方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定． 【类型二】 用反证法证明一个命题 求证：△ABC中不能有两个钝角． 解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确． 证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°， 所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角． 方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；
(2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 三、板书设计 1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)． 2．反证法 (1)假设结论不成立；

(2)从假设出发推出矛盾；

(3)假设不成立，则结论成立． 解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法. 第4课时　等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；
(重点、难点) 2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 观察下面图形：
师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的判定 【类型一】 三边都相等的三角形是等边三角形 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形． 解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解． 解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0， ∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c. 故△ABC是等边三角形． 方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；
(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． 【类型二】 三个角都是60°的三角形是等边三角形 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由． 解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形． 解：△ODE是等边三角形， 理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°. ∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°. ∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°. ∴△ODE是等边三角形． 方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形． 【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论． 解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形． 解：△ABC是等边三角形． 理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D. 又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D. ∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝∠ECB. ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°. 又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°. 又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形． 方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；
②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；
②证明这个三角形中有两边相等． 探究点二：含30°角的直角三角形的性质 【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm 　B．6cm C．9cm D．12cm 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D. 方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 【类型二】 与角平分线有关的综合运用 如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C．1.5 D．1 解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝PC＝×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故选C. 方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． 【类型三】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？ 解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解． 解：如图所示，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝AB＝20m，∴S△ABC＝×50×20＝500(m2)．∵这种草皮每平方米a元，∴一共需要500a元． 方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积． 三、板书设计 1．等边三角形的判定 三边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 2．含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 本节课借助于教学活动的展开，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生思维能力的提高．不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进一步的训练得以提高. 1．2　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；

2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】 判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】 直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；
(2)根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；

(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 探究点二：勾股定理 【类型一】 直接运用勾股定理 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D.求：
(1)AC的长；

(2)S△ABC；

(3)CD的长． 解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；
(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；
(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD. 解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；

(2)S△ABC＝CB·AC＝30cm2；

(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可． 【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长． 解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出． 解：此题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32. ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；
当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32. 方法总结：在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方法． 探究点三：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状 如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝＝2，AC＝＝，AB＝＝.在△ABC中，∵BC2＋AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A. 方法总结：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；
否则不是． 【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系 如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝AD，求证：CE⊥EF. 证明：连接CF，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE. 方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法． 【类型三】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积． 解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD的面积． 解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144. 方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用． 探究点四：互逆命题与互逆定理 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补；

(2)垂直于同一条直线的两直线平行；

(3)相等的角是内错角；

(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 解析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可． 解：(1)同旁内角互补，两直线平行．真命题；

(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．真命题；

(3)内错角相等．假命题；

(4)等边三角形有一个角是60°.真命题． 方法总结：一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定理． 三、板书设计 1．直角三角形的性质与判定 直角三角的两个锐角互余；
有两个角互余的三角形是直角三角形． 2．勾股定理及勾股定理的逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者. 第2课时　直角三角形全等的判定 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；
(重点) 2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？ 二、合作探究 探究点：直角三角形全等的判定 【类型一】 应用“HL”证明三角形全等 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵ ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可． 【类型二】 利用“HL”证明线段相等 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【类型三】 利用“HL”证明角相等 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2. 解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决． 【类型四】 利用“HL”解决动点问题 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？ 解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意． 解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC. 解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝OC. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵ ∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴OD＝OE.在△BOD和△COE中，∵∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC. 方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有SSS、SAS、ASA、AAS. 三、板书设计 1．作直角三角形 2．直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识. 1．3　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线 1．掌握线段垂直平分线的性质；
(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？ 二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理 【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20，∴BC＝35－20＝15cm.故选C. 方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可． 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD. 方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等． 探究点二：线段的垂直平分线的判定定理 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 解析：先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF. 解：AD垂直平分EF.理由如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD.在△ADE和△ADF中， ∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF，∴直线AD垂直平分线段EF. 方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．　　 三、板书设计 1．线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高. 第2课时　三角形三边的垂直平分线及作图 1．理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；
(重点) 2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？ 二、合作探究 探究点一：三角形三边的垂直平分线 【类型一】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度 如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数． 解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案． 解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠DAF＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAF)＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°. 方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 【类型二】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长． 解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案． 解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝cm. 方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法． 【类型三】 三角形三边的垂直平分线的性质的应用 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置． 解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点． 解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心． 方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法． 探究点二：作图 已知线段c，求作△ABC，使AC＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝c. 解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，高把底边垂直平分，且高等于底边长的一半． 解：作法：1.作线段AB＝c；

2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB于D；

3．在射线DF上截取DC＝c，连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示． 方法总结：已知底边长作等腰三角形时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的位置． 三、板书设计 1．三角形三边的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 2．作图 本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形. 1．4　角平分线 第1课时　角平分线 1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；
(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点) 一、情境导入
　　　　　　　　　　　　　 问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质定理 【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；
(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；

(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵ ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件． 探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；
二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线的性质和判定的综合 如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；
②AE＝AF；
③AD上的点到B、C两点的距离相等；
④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；
②AE＝AF正确；
中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；
∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；
①②③④都正确．故选D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等． 【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明． 证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；

(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF. 解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF. 方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键． 三、板书设计 1．角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2．角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练. 第2课时　三角形三条内角的平分线 1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质；
(重点) 2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？ 二、合作探究 探究点：三角形角平分线的性质及应用 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．125° C．130° D．140° 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B. 方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 【类型二】 三角形内外角平分线的应用 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；
(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点． 解：(1)可选择的地点有4处，如图：
P1、P2、P3、P4，共4处；

(2)能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点． 方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到． 三、板书设计 三角形三条内角的角平分线 三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练. 第一章复习　三角形的证明 教学课题 三角形的证明回顾与思考 设 计 者 课时安排 设计日期 教学目标 1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等. 2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；
进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；
提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力. 3．情感价值观要求 通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯. 教学重难点 重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 难点：本章知识的综合性应用。

教学准备 教学流程 修改建议 考点1 　等腰三角形的性质 1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的 顶角为 (　　) A．20° B．40° C．50° D．80° 2.等腰三角形的两条边长分别为5 cm和6 cm，则它的周长是 _______________． 3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10 cm，底边BC＝12 cm， 则△ABC的角平分线AD的长是________ cm. 归纳总结：
1）性质：
①等腰三角形的 两底角 相等。（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高线 互相重合 （三线合一）。

（2）判定：
① 有两边相等的三角形是等腰三角形. ② 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 考点2　等边三角形的性质 1．边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 ________． 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度． 【归纳总结】 （1）
定义：
三条边都相等 的三角形是等边三角形。

（2）性质：
①三个内角都等于60度，三条边都相等 ②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角 等于60度的等腰三角形是等边三角形。

考点3 直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是 (　　) A．20 B．10 C．5 D. 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝_____． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 (　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【归纳总结】 （1）性质:直角三角形的两锐角互余。

(2)定理：直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(3)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半. （3）判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形 考点4 勾股定理及其逆定理 2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 (　　) A．3，4，5 B．6，8，10 C.，2， D．5，12，13 【归纳总结】 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个 三角形是直角三角形。

考点5 角平分线的性质和判定 1、 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是________． 2．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的 (　　) A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线 【归纳总结】 （1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等。

（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

考点6 垂直平分线的性质和判定 2、如图，在△ABC中∠B=30° ，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　　）
A.10 B.8 C.5 D2.5 2、如图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=　_________． 【归纳总结】 （1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 （2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 考点7命题及逆命题 1、下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0 B．直角都相等 C．两直线平行,同位角相等 D．若a=6,则|a|=|b| 【归纳总结】 命题和逆命题：
命题：由条件和结论组成 逆命题：由结论和条件组成 考点7反证法 1、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中　___． 【归纳总结】 反证法：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果 考点8三角形的全等 1.如图,△ABC,△CDE是等边三角形(1)求证:AE=BD (2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,求证:CM=CN (3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系.并加以证明 A B C D E 2、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F（1）求证：BF=AC；

（2）求证：
【归纳总结】 全等三角形 （1）性质：全等三角形的 对应边 、 对应角 相等。

（2）判定：“SAS”、 SSS 、AAS 、 ASA 、 HL(直角三角形) 。

作业 设 计 第3、4、5、6、7、8题；

板 书 设 计 教 后 反 思 2．1　不等关系 1．了解不等式的概念；

2．会用不等式表示简单问题的数量关系．(重点，难点) 一、情境导入 有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；
如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？ 二、合作探究 探究点一：不等式的概念 下列各式中：①－3＜0；
②4x＋3y＞0；
③x＝3；
④x2＋xy＋y2；
⑤x≠5；
⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有(　　)
　　　　　　　　　　　　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 解析：③是等式；
④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B. 方法总结：本题考查不等式的判别，一般用不等号表示不等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 探究点二：列不等式 【类型一】 用不等式表示数量关系 根据下列数量关系，列出不等式：
(1)x与2的和是负数；

(2)m与1的相反数的和是非负数；

(3)a与－2的差不大于它的3倍；

(4)a，b两数的平方和不小于他们的积的两倍． 解析：(1)负数即小于0；
(2)非负数即大于或等于0；
(3)不大于就是小于或等于；
(4)不小于就是大于或等于． 解：(1)x＋2<0；

(2)m－1≥0；

(3)a＋2≤3a；

(4)a2＋b2≥2ab. 方法总结：在列不等式时要善于将文字与相应的数学符号相对应，如负数<0等，列出相应的不等式． 【类型二】 实际问题中的不等式 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台学生平板电脑．他现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元．若此学生平板电脑至少需要350元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　) A．20x－55≥350 B．20x＋55≥350 C．20x－55≤350 D．20x＋55≤350 解析：此题中的不等关系：现在已存有55元，计划从现在起以后每个月节省20元．若此学生平板电脑至少需要350元．列出不等式20x＋55≥350.故选B. 方法总结：用不等式表示数量关系时，要找准题中表示不等关系的两个量，并用代数式表示；
正确理解题中的关键词，如负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过、至少、至多等的含义． 三、板书设计 1．不等式的概念 2．列不等式 (1)找准题目中不等关系的两个量，并且用代数式表示；

(2)正确理解题目中的关键词语的确切含义；

(3)用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来；

(4)要正确理解常见不等式基本语言的含义． 本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方. 2．2　不等式的基本性质 1．理解并掌握不等式的基本性质；
(重点) 2．能够运用不等式的基本性质解决问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了”．小刚的说法对吗？为什么？ 二、合作探究 探究点一：不等式的基本性质 【类型一】 根据不等式的基本性质判断大小 已知a＜b，用不等号填空：
(1)a＋3________b＋3；

(2)－________－；

(3)3－a________3－b. 解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2)两边都除以－4，－>－，(3)两边都乘－1，－a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案为：＜，＞，＞. 方法总结：不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质，但性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变． 【类型二】 判断变形是否正确 已知a＞b，则下列不等式中，错误的是(　　) A．3a＞3b B．－<－ C．4a－3＞4b－3 D．(c－1)2a＞(c－1)2b 解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；
B.在不等式a＞b的两边同时除以－3，不等号方向改变，即－<－，故本选项正确；
C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；
D.当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故本选项错误；
故选D. 方法总结：“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 探究点二：不等式性质的运用 【类型一】 把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式 把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． (1)2x－2<0；

(2)3x－9<6x；

(3)x－2＞x－5. 解析：根据不等式的基本性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边都除以2得x<1， (2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3；

(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3. 方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1，要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；
如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【类型二】 根据不等式的变形确定字母的取值范围 如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________． 解析：根据不等式的基本性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1. 方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变． 三、板书设计 1．不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；

性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；

性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 2．把不等式化成“x>a”或“x<a”的形式 “移项”依据：不等式的基本性质1；

“将未知数系数化为1”的依据：不等式的基本性质2、3. 本节课学习不等式的基本性质，在学习过程中，可与等式的基本性质进行类比，在运用性质进行变形时，要注意不等号的方向是否发生改变；
课堂教学时，鼓励学生大胆质疑，通过练习中易出现的错误，引导学生归纳总结，提升学生的自主探究能力. 2．3　不等式的解集 1．理解并掌握不等式解和解集的概念；

2．学会用数轴表示不等式的解集．(重点，难点) 一、情境导入 东东和小明、小红三人在公园里玩跷跷板，东东体重最重，坐在跷跷板的一端，小明坐在另一端，这时东东的一端着地，当体重比东东轻4公斤的小红和小明坐在一端时，东东被翘起离地．同学们，你们能算出小红的体重大约是多少吗？ 二、合作探究 探究点一：不等式的解和解集 下列说法中，错误的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　 A．不等式x＜3有两个正整数解 B．－2是不等式2x－1＜0的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个 解析：A.不等式x＜3有两个正整数解1，2，故A正确；
B.－2是不等式2x－1＜0的一个解，故B正确；
C.不等式－3x＞9的解集是x＜－3，故C正确；
D.不等式x＜10的整数解有无数个，故D正确；
故选C. 方法总结：判断某个数值是否是不等式的解，就是用这个数值代替不等式中的未知数，看不等式是否成立．若不等式成立，则该数是不等式的一个解；
若不成立，该数值就不是不等式的解． 探究点二：用数轴表示不等式的解集 【类型一】 在数轴上表示不等式的解集 不等式3x＋5≥2的解集在数轴上表示正确的是(　　) A. B. C. D. 解析：解3x＋5≥2，得x≥－1，故选B. 方法总结：注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；
大于、小于要用空心圆点表示． 【类型二】 根据数轴求不等式的解 关于x的不等式x－3<的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是(　　) A．－3 B．－12 C．3 D．12 解析：化简不等式，得x＜.由数轴上不等式的解集，得9＋a＝12，解得a＝3，故选C. 方法总结：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集得关于a的方程是解题关键． 三、板书设计 1．不等式的解和解集 2．用数轴表示不等式的解集 本节课学习不等式的解和解集，利用数轴表示不等式的解，让学生体会到数形结合的思想的应用，能够直观的理解不等式的解和解集的概念，为接下来的学习打下基础．在课堂教学中，要始终以学生为主体，以引导的方式鼓励学生自己探究未知，提高学生的自我学习能力. 2．4　一元一次不等式 第1课时　一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式、不等式的解集、解不等式等概念；

2．掌握一元一次不等式的解法．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．什么叫一元一次方程？ 2．解一元一次方程的一般步骤是什么？要注意什么？ 3．如果把一元一次方程中的等号改为不等号，怎样求解？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式的概念 【类型一】 一元一次不等式的识别 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　) A．5x－2＞0 B．－3＜2＋ C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2 解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式，所以选A. 方法总结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③不等号的两边都是整式． 【类型二】 根据一元一次不等式的概念求值 已知－x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值是________． 解析：由－x2a－1＋5＞0是关于x的一元一次不等式得2a－1＝1，计算即可求出a的值，故a＝1. 方法总结：利用一元一次不等式的概念列出相应的方程求解即可．注意：如果未知数的系数中有字母，要检验此系数可不可能为零． 探究点二：一元一次不等式的解法 【类型一】 一元一次不等式的解或解集 下列说法：①x＝0是2x－1＜0的一个解；
②x＝－3不是3x－2＞0的解；
③－2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：①x＝0时，2x－1＜0成立，所以x＝0是2x－1＜0的一个解；
②x＝－3时，3x－2＞0不成立，所以x＝－3不是3x－2＞0的解；
③－2x＋1＜0的解集是x＞，所以不正确．故选C. 方法总结：判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，再进行比较即可． 【类型二】 解一元一次不等式 解下列一元一次不等式，并在数轴上表示：
(1)2(x＋)－1≤－x＋9；

(2)－1＞. 解析：按照解一元一次不等式的基本步骤求解：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数． 解：(1)去括号，得2x＋1－1≤－x＋9， 移项、合并同类项，得3x≤9， 两边都除以3，得x≤3；

(2)去分母，得3(x－3)－6＞2(x－5)， 去括号，得3x－9－6＞2x－10， 移项，得3x－2x＞－10＋9＋6， 合并同类项，得x＞5. 方法总结：解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数，这些基本步骤与解一元一次方程是一样的，但一元一次不等式两边都除以未知数的系数时，一定要注意这个数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；
如果是负数，不等号的方向改变． 【类型三】 根据不等式的解集求待定系数 已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m的值． 解析：先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解． 解：因为x＋8＞4x＋m， 所以x－4x＞m－8，－3x＞m－8，x＜－(m－8)． 因为其解集为x＜3， 所以－(m－8)＝3.解得m＝－1. 方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想． 三、板书设计 1．一元一次不等式的概念 2．解一元一次不等式的基本步骤：
(1)去分母；

(2)去括号；

(3)移项；

(4)合并同类项；

(5)两边都除以未知数的系数． 本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同．如果这个系数是正数，不等号的方向不变；
如果这个系数是负数，不等号的方向改变．这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，不要怕学生出错，通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错. 第2课时　一元一次不等式的应用 1．会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解；

2．能够列一元一次不等式解决实际问题．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？ 二、合作探究 探究点：一元一次不等式的应用 【类型一】 商品销售问题 某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？ 解析：由题意可知，利润率为20%时，获得的利润为120×20%＝24元；
若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×－进价，即该商品获得的利润＝180×－120，列出不等式，解得x的值即可． 解：设可以打x折出售此商品，由题意得：
180×－120≥120×20%， 解得x≥8. 答：最多可以打8折出售此商品． 方法总结：商品销售问题的基本关系是：售价－进价＝利润．读懂题意列出不等式求解是解题关键． 【类型二】 竞赛积分问题 某次知识竞赛共有25道题，答对一道得4分，答错或不答都扣2分．小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？ 解析：设小明答对x道题，则答错或不答的题目为(25－x)道，根据得分要超过80分，列出不等关系求解即可． 解：设小明答对x道题，则他答错或不答的题目为(25－x)道．根据他的得分要超过80分，得：
4x－2(25－x)＞80， 解得x＞21. 因为x应是整数而且不能超过25，所以小明至少要答对22道题． 答：小明至少要答对22道题． 方法总结：竞赛积分问题的基本关系是：得分－扣分＝最后得分．本题涉及到不等式的整数解，取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等． 【类型三】 安全问题 采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．导火线燃烧速度是每秒1厘米，工人转移的速度是每秒5米，导火线至少要多少米？ 解析：根据时间列不等式，导火线燃烧时间＞工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间． 解：设导火线的长度需要x米，1厘米/秒＝0.01米/秒，由题意得>，解得x＞0.8. 答：导火线至少要0.8米． 【类型四】 分段计费问题 小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；
若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？ 解析：当每月用水5立方米时，花费5×1.8＝9元，则可知小明家每月用水超过5立方米．设每月用水x立方米，则超出(x－5)立方米，根据题意超出部分每立方米收费2元，列一元一次不等式求解即可． 解：设小明家每月用水x立方米． ∵5×1.8＝9＜15， ∴小明家每月用水超过5立方米． 则超出(x－5)立方米，按每立方米2元收费， 列出不等式为5×1.8＋(x－5)×2≥15， 解不等式得x≥8. 答：小明家每月用水量至少是8立方米． 方法总结：分段计费问题中的费用一般包括两个部分：基本部分的费用和超出部分的费用．根据费用之间的关系建立不等式求解即可． 【类型五】 调配问题 有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？ 解析：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x)人．甲种蔬菜有3x亩，乙种蔬菜有2(10－x)亩．再列出不等式求解即可． 解：设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜为(10－x)人． 根据题意得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6， 解得x≤4. 答：最多只能安排4人种甲种蔬菜． 方法总结：调配问题中，各项工作的人数之和等于总人数． 【类型六】 方案决策问题 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． A型 B型 价格(万元/台) 12 10 处理污水量(吨/月) 240 200 年消耗费(万元/台) 1 1
(1)请你设计该企业有几种购买方案；

(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案． 解析：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；
(2)如图表列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案． 解：(1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为(10－x)台． 12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5，∵x取非负整数，∴x可取0，1，2， 有三种购买方案：购A型0台，B型10台；
A型1台，B型9台；
A型2台，B型8台；

(2)240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1， ∴x为1或2. 当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；

当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)． 答：为了节约资金，应选购A型1台，B型9台． 方法总结：此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较． 三、板书设计 应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：
―→―→ 本节课通过实例引入，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与，讲练结合，引导学生找不等关系列不等式．在教学过程中，可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习，让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系. 2．5　一元一次不等式与一次函数 第1课时　一元一次不等式与一次函数的关系 1．学会使用图象法解一元一次不等式；
(重点) 2．理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系，能够运用其解决问题．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 小华准备将平时的零用钱储存起来，他已经存有300元，现在起每月存50元．小华的同学小丽以前没有存过零用钱，在听说小华存零用钱后，表示从现在起每月存70元，争取超过小华． 根据以上信息，你能帮助小丽计算出她需要多久才能超过小华吗？ 二、合作探究 探究点一：通过函数图象确定一元一次不等式的解集 如图，函数y＝2x和y＝－x＋4的图象相交于点A. (1)求点A的坐标；

(2)根据图象，直接写出不等式2x≥－x＋4的解集． 解析：(1)联立两直线解析式，解方程组即可得到点A的坐标；
(2)根据图形，找出点A右边部分的x的取值范围即可． 解：(1)由解得∴点A的坐标为(，3)；

(2)由图象得不等式2x≥－x＋4的解集为x≥. 方法总结：通过联立两直线解析式求交点坐标的方法，求出交点坐标．求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应函数值的大小． 探究点二：一元一次不等式与一次函数的关系 【类型一】 根据一次函数的值求一元一次不等式的解集 一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … －2 －1 0 1 2 … y … 8 5 2 －1 －4 … 那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是________． 解析：由表格得到函数的增减性后，再得出y＝－1时，对应的x的值即可．当x＝1时，y＝－1，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx＋b≥－1的解集是x≤1.故答案为x≤1. 方法总结：此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 【类型二】 根据一次函数图象求不等式的解集 如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx＋b＜2x的解集为(　　) A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2 解析：先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当1＜x＜2时，直线y＝2x都在直线y＝kx＋b的上方，于是可得到不等式0＜kx＋b＜2x的解集．把A(x，2)代入y＝2x得2x＝2，解得x＝1，则A点坐标为(1，2)，∴当x＞1时，2x＞kx＋b.∵函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，即不等式0＜kx＋b＜2x的解集为1＜x＜2.故选C. 方法总结：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在y轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 三、板书设计 1．通过函数图象确定一元一次不等式的解集 2．一元一次不等式与一次函数的关系 本课时主要是掌握运用一次函数的图象解一元一次不等式，在教学过程中采用讲练结合的方法，让学生充分参与到教学活动中，主动、自主的学习. 第2课时　一元一次不等式与一次函数的综合应用 1．复习并巩固运用一次函数图象解决一元一次不等式的方法；

2．能够运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题．(重点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 甲乙两家商店用同样的价格出售同样的商品．并且又各自推出不同的优惠方案． 甲推出的方案：凡在本店购买商品超过300元，即可享受会员9折优惠；

乙推出的方案：凡在本店购买商品超过400元，即可获赠80元代金券． 你能分析出这两种方法哪种更优惠吗？今天我们就将学习用不等式解决这些问题． 二、合作探究 探究点：一元一次不等式与一次函数关系的实际应用 【类型一】 数形结合问题 某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是________． 解析：首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围：由题设可得不等式kx＋30＜x.∵y1＝kx＋30经过点(500，80)，∴k＝，∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60.∴两直线的交点坐标为(300，60)，∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立，故答案为x＞300. 方法总结：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；
即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 【类型二】 方案讨论问题 某学校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？ 解析：购买电脑的总费用等于电脑的台数乘以每台的单价，学校选择哪家商场购买更优惠就是比较y的大小．当y甲＞y乙时，学校选择乙商场购买更优惠；
当y甲＝y乙时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；
当y甲＜y乙时，学校选择甲商场购买更优惠． 解：在甲商场购买花费y甲＝6000＋(x－1)×6000×(1－25%)＝4500x＋1500(x＞1的整数)；
在乙商场购买花费y乙＝x·6000×(1－20%)＝4800x(x＞1的整数)；
当y甲＞y乙时，学校选择乙商场购买更优惠，即4500x＋1500＞4800x，解得x＜5；
当y甲＝y乙时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠，即4500x＋1500＝4800x，解得x＝5；
当y甲＜y乙时，学校选择甲商场购买更优惠，即4500x＋1500＜4800x，解得x＞5.所以当购买少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；
当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；
当购买多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠． 方法总结：根据实际问题用一次函数表示两个变量之间的关系，再通过比较两个函数的函数值得到对应的自变量的取值范围，从而解决实际问题． 【类型三】 最值问题 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元． (1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？ (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 解析：(1)根据题设条件，求出等量关系，列一元一次方程即可求解；
(2)根据题设中的不等关系列出相应的不等式，通过求解不等式确定最值，求最值时要注意自变量的取值范围． 解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵， (1)根据题意得80x＋60(17－x)＝1220，解得x＝10，所以17－x＝17－10＝7， 答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；

(2)由题意得17－x<x，解得x>， 所需费用为80x＋60(17－x)＝20x＋1020(元)， 费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝17－9＝8， 此时所需费用为20×9＋1020＝1200(元)． 答：购买9棵A种树苗，8棵B种树苗的费用最省，此方案所需费用1200元． 三、板书设计 一元一次不等式与一次函数关系的实际应用 分类讨论思想、数形结合思想 本课时结合生活中的实例组织学生进行探索，在探索的过程中渗透分类讨论的思想方法，培养学生分析、解决问题的能力，从新课到练习都充分调动了学生的思考能力，为后面的学习打下基础. 2．6　一元一次不等式组 第1课时　一元一次不等式组的解法 1．理解一元一次不等式组及其解集的概念；

2．掌握一元一次不等式组的解法；
(重点) 3．会利用数轴表示不等式组的解集．(难点) 一、情境导入
　　　　　　　　　　　　　 如图，小红现有两根小木棒，长度分别为20cm和40cm，她想再找一根木棒来拼接成一个三角形，那么她所寻找的第三根木棒的长度应符合什么条件呢？ 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式组及一元一次不等式组的解集的相关概念 下列不等式组：
①②③④⑤其中一元一次不等式组的个数是(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组．故有①②④三个一元一次不等式组．故选B. 方法总结：一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次．熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键． 探究点二：一元一次不等式组的解法(一) 【类型一】 一元一次不等式组的解集在数轴上的表示 不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 解析：把不等式组中每个不等式的解集在数轴上表示出来，它们的公共部分是1≤x＜3，故选C. 方法总结：利用数轴确定不等式组的解集，如果不等式组由两个不等式组成，其公共部分在数轴上方应当有两根横线穿过． 【类型二】 解简单一元一次不等式组 解不等式组：
把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来． 解析：分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出解集范围内的整数即可． 解：
由①得x＜1，由②得x≥－，∴不等式组的解集为－≤x＜1. 则不等式组的整数解为－1，0. 方法总结：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 三、板书设计 解一元一次不等式组是建立在解一元一次不等式的基础之上．解不等式组时，先解每一个不等式，再确定各个不等式组的解集的公共部分. 第2课时　一元一次不等式组的解法及应用 1．复习并巩固一元一次不等式组的解法，会解简单的一元一次不等式组；

2．系统归纳一元一次不等式组的解法，并能够运用其解决实际问题．(重点) 一、情境导入 3个生产小组计划在10天内生产500件产品(每天生产量相同)，按照原来的生产速度，不能在计划时间内完成任务；
如果每个小组比原先多生产一件产品，就能提前完成任务． 你能根据以上信息求出每个小组原来每天的生产量吗？今天我们就要学习运用一元一次不等式组解决实际问题． 二、合作探究 探究点一：一元一次不等式组的解法 【类型一】 解复杂的一元一次不等式组 解不等式组：
解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解：解不等式①得x＞4.解不等式②得x≤7.∴原不等式组的解集为4＜x≤7. 方法总结：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；
同小取小；
大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【类型二】 根据不等式组的解集求字母的取值范围 若不等式组无解，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥－1 B．a＜－1 C．a≤1 D．a≤－1 解析：解第一个不等式得x≥－a，解第二个不等式得x＜1，因为不等式组无解，故－a≥1，解得a≤－1，故选择D. 方法总结：根据不等式组的解集求字母的取值范围，可按以下步骤进行：①解每一个不等式，把解集用数字或字母表示；
②根据已知条件即不等式组的解集情况，列出新的不等式．这时一定要注意是否包括边界点，可以进行检验，看有无边界点是否满足题意；
③解这个不等式，求出字母的取值范围． 【类型三】 求一元一次不等式组的特殊解 求不等式组的整数解． 解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数值即可． 解：
解不等式①得x≤2，解不等式②得x＞－3， 故此不等式组的解集为－3＜x≤2，x的整数解为－2，－1，0，1，2. 故答案为－2，－1，0，1，2. 方法总结：求不等式组的特殊解时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，然后根据题目要求确定特殊解．确定特殊解时也可以借助数轴． 探究点二：一元一次不等式组的实际应用 某地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，急需饮水设备12台．现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；
乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台．若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台？ 解析：根据“购买的费用不超过40000元”“安装及运输费用不超过9200元”作为不等关系列不等式组，求其整数解即可． 解：设购买甲种设备x台，则购买乙种设备(12－x)台， 购买设备的费用为4000x＋3000(12－x)， 安装及运输费用为600x＋800(12－x)， 根据题意得 解得2≤x≤4，由于x取整数，所以x＝2，3，4. 答：有三种方案：①购买甲种设备2台，乙种设备10台；
②购买甲种设备3台，乙种设备9台；
③购买甲种设备4台，乙种设备8台． 方法总结：列不等式组解应用题时，一般只设一个未知数，找出两个或两个以上的不等关系，相应地列出两个或两个以上的不等式组成不等式组求解．在实际问题中，大部分情况下应求整数解． 三、板书设计 1．一元一次不等式组的解法 2．一元一次不等式组的实际应用 利用一元一次不等式组解应用题关键是找出所有可能表达题意的不等关系，再根据各个不等关系列成相应的不等式，组成不等式组．在教学时要让学生养成检验的习惯，感受运用数学知识解决问题的过程，提高实际操作能力. 第二章复习　一元一次不等式与一元一次不等式组 教学目标：
（一）知识与技能 1.掌握不等式的基本性质，理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示其解集. 2.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. 3.体会不等式、函数、方程之间的联系. （二）过程与方法 通过梳理本章内容，进一步体会模型思想及类比的思想方法. （三）情感与价值观要求 鼓励合作学习，引导学生从不同的角度思考问题、解决问题，发展学生个性，使每个学生都能体会学习数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心. 教学重点：掌握不等式的基本性质，理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示其解集。

教学难点：能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题， 体会不等式、函数、方程之间的联系。

教学过程 1、知识回顾，构建体系 学生通过回答下列问题把本章的知识内容进行整理，画出本章知识联系图. 1.用 表示大小关系的式子，叫做不等式. 2. 叫做不等式的解集. 3. 不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向 ；
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；
不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 . 4.只含有一个未知数，并且 叫做一元一次不等式.解一元一次不等式时，经过 “去分母、 、 、 、 、”等变形后，把左边变成单独的一个未知数，右边变成一个常数.要特别注意的是在不等式的两边都乘以（或除以）同一个 时，不等号的方向一定改变. 5. 列一元一次不等式(组)解答实际问题一般需要般要遵循如下步骤:①审:分清已知量、未知量及它们之间的关系，找出其中的 关系；
②设：设出未知数；
③设列：列出 .反映不等关系；
④解：解 ，获得解集 ；
⑤答：对解决进行 舍去不合题意的答案，确定符合题意的答案，写出答句. 6．由几个含有同一个未知数的 叫做一元一次不等式组. 7.一元一次不等式组中各个不等式解集的 叫做一元一次不等式组的解集. 8.由于任何一个一次不等式都可以转化为或（a，b是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式或，可以看作：当一次函数y = ax +b的值大（小）于0时，求自变量相应的 ；
反之，求一次函数y = ax +b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式或的 即可. 本章的知识联系图 概念 性质 解法 应用 一元一次不等式 一元一次不等式组 不等式的解集 不等式组的解集 解一元一次不等式 解一元一次不等式组 解集的数轴表示 审、列、解、验、答 2、例题分析，解决问题 例1 解不等式x＞x－2，并将其解集表示在数轴上. 例2 解不等式组. 例3 小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；
纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；
否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下．究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分? 例4 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；
乙旅行社的优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？ 3、练习提高 解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. （1）2（x－3）＞4; （2）2x－3≤5（x－3）; （3）
（4）
4、课堂小结 通过本节课的学习,你有什么收获?你感觉最困难的是什么?印象最深刻的是哪个部分的知识? 5、作业 复习题 3．1　图形的平移 第1课时　平移的认识 1．理解并掌握平移的定义及性质；
(重点) 2．能够根据平移的性质进行简单的平移作图． 一、情境导入
　　　　　　　　　　　　　 观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？ 二、合作探究 探究点一：平移的定义 下列各组图形可以通过平移互相得到的是(　　) A. 　B. C. 　D. 解析：根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，故选C. 方法总结：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 探究点二：平移的性质 【类型一】 利用平移的性质进行计算 如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1等于(　　) A．1 B. C. D．2 解析：设B1C＝2x，根据等腰直角三角形和平移的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，则B1C边上的高为x，∴×x×2x＝2，解得x＝2(舍去负值)，∴B1C＝2，∴BB1＝BC－B1C＝.故选B. 方法总结：本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程，求重叠部分的长． 【类型二】 平移性质的综合应用 如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图形，下列结论正确的有(　　) ①AC∥DF；
②HE＝5；
③CF＝5；
④阴影部分面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等，阴影部分和三角形面积之间的关系，结合图形与所给的结论即可得出答案．①对应线段平行可得AC∥DF，正确；
②对应线段相等可得AB＝DE＝8，则HE＝DE－DH＝8－3＝5，正确；
③平移的距离CF＝BE＝5，正确；
④S四边形HDFC＝S梯形ABEH＝(AB＋EH)·BE＝×(8＋5)×5＝，错误．故选C. 方法总结：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；
②对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点． 探究点三：简单的平移作图 将如图方格中的图形向右平移4格，再向上平移2格，在方格中画出平移后的图形． 解析：按照题目要求：向右平移4格，再向上平移2格，先作各个关键点的对应点，再连接即可． 解：
方法总结：作平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；
②确定图形中的关键点；
③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；
④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． 三、板书设计 1．平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． 2．平移的性质 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等． 3．简单的平移作图 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学生经历将实际问题抽象成图形问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，使得学生能将所学知识灵活运用到生活中. 第2课时　坐标系中的点沿x轴、y轴的平移 1．复习并巩固平移的性质及简单的平移作图；

2．能够根据平移的性质解决点的坐标平移变化问题．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 在如图所示的坐标系中标注出点A0(－2，－3)，并按下列要求作图． (1)将A0向上平移3个单位长度，向右平移6个单位长度得到A1；

(2)将A0向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度得到A2；

(3)将A0向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度得到A3；

(4)将A0向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到A4. 观察每一次平移后得到的点的坐标，你能从中发现什么规律？ 二、合作探究 探究点一：图形沿x轴或y轴方向的平移与点的坐标变化 【类型一】 沿x轴方向的平移的坐标变化 在平面直角坐标系中，点A(－2，3)平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A(　　) A．向右平移2个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位 解析：关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，那么向右平移两个横坐标差的绝对值即可．∵点A(－2，3)平移后能与原来的位置关于y轴对称，∴平移后的坐标为(2，3)．∵横坐标增大，∴点A是向右平移得到，平移距离为|2－(－2)|＝4.故选C. 方法总结：本题考查了平移中点的变化规律及点关于坐标轴对称的知识，用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
点的左右移动只改变点的横坐标． 【类型二】 沿y轴方向的平移的坐标变化 点P(－2，1)向下平移2个单位长度后，在x轴反射下的点P′的坐标为(　　) A．(－2，－1) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(2，1) 解析：把点P(－2，1)向下平移2个单位长度后，横坐标不变，纵坐标减去2即可得到平移后点的坐标(－2，－1)，在x轴反射下的点P′与P关于x轴对称．点P(－2，1)向下平移2个单位长度后的坐标为(－2，－1)，则在x轴反射下的点P′的坐标为(－2，1)，故选C. 方法总结：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；
如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度(即：横坐标，右移加，左移减；
纵坐标，上移加，下移减)． 【类型三】 根据平移判断点所在的位置 将点M(－1，－5)向右平移3个单位长度得到点N，则点N所处的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：先利用平移中点的变化规律求出点N的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点N所处的象限．点M(－1，－5)向右平移3个单位长度，得到点N的坐标为(2，－5)，故点N在第四象限．故选D. 方法总结：本题考查了图形的平移变换及各象限内点的坐标特点．注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；
纵坐标上移加，下移减． 探究点二：图形依次沿着x轴方向、y轴方向的平移与坐标变化 【类型一】 根据点的坐标变化判断平移方式 将△ABC的各顶点的横坐标分别加上3，纵坐标不变，连接所得三点组成的三角形是由△ABC(　　) A．向左平移3个单位长度得到的 B．向右平移3个单位长度得到的 C．向上平移3个单位长度得到的 D．向下平移3个单位长度得到的 解析：平移与点的变化规律：横坐标加上3，应向右移动；
纵坐标不变．根据点的坐标变化与平移规律可知，当△ABC各顶点的横坐标加上3，纵坐标不变，相当于△ABC向右平移3个单位长度．故选B. 方法总结：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移时点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变． 【类型二】 根据平移判断点所在的位置 在平面直角坐标系上，点(4，6)先向左平移6个单位，再将得到的点的坐标关于x轴对称，得到的点位于(　　) A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限 解析：首先根据图形平移点的坐标的变化规律可得点(4，6)先向左平移6个单位后点的坐标，再写出关于x轴对称的点的坐标，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征即可求解．∵将点(4，6)先向左平移6个单位后点的坐标为(－2，6)，∴(－2，6)关于x轴对称的点的坐标(－2，－6)，在第三象限．故选C. 方法总结：此题主要考查了坐标与图形变化－平移，关于x轴对称的点的坐标规律，以及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；
纵坐标，上移加，下移减． 【类型三】 平移的综合应用 如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P(x0，y0)经平移后对应点为P′(x0＋5，y0－2)． (1)已知A(－1，2)，B(－4，5)，C(－3，0)，请写出A′、B′、C′的坐标；

(2)试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；

(3)请直接写出△A′B′C′的面积为________． 解析：(1)根据点P(x0，y0)经平移后对应点为P′(x0＋5，y0－2)可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；
(2)根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；
(3)把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 解：(1)A′为(4，0)、B′为(1，3)、C′为(2，－2)；

(2)△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位(或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位)；

(3)△A′B′C′的面积为6. 方法总结：熟练掌握平移的规律是解题的关键，上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减；
左右平移，纵坐标不变，横坐标左加右减． 三、板书设计 1．图形沿x轴的平移的坐标变化 在平面直角坐标系中，如果把图形中点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度． 2．图形沿y轴的平移的坐标变化 在平面直角坐标系中，如果把图形中点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移a个单位长度． 3．图形依次沿着x轴方向、y轴方向的平移与坐标变化 一个图形依次沿着x轴方向、y轴方向的平移后所得到的图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 本课时的教学主要以学生为主体，鼓励学生主动参与到课堂互动中来，在学生讨论交流的基础上进行归纳总结，使学生对知识的认识从感性上升到理性，体会数形结合思想的应用，增强应用数学的意识，提高数学建模的能力，让学生学会探究，学会学习. 3．2　图形的旋转 第1课时　旋转的定义和性质 1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用；

2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 飞行中的飞机的螺旋桨、高速运转中的电风扇等均属于旋转现象．你还能举出类似现象吗？ 二、合作探究 探究点一：旋转的定义 【类型一】 旋转的认识 如图，将左边叶片图案旋转180°后，得到的图形是(　　) 解析：将叶片图案旋转任何角度和A、B中的图案均不重合；
不旋转或旋转360°后和C中的图案重合，不合要求；
顺时针或逆时针旋转180°后只和D中的图案重合，故选D. 【类型二】 旋转图形的识别 下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？ 解析：由旋转对称图形的定义逐一判断求解． 解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形． 方法总结：判断一个图形是否是旋转对称图形，其关键是要看这个图形能否找到一个旋转中心，且图形能绕着这个旋转中心旋转一定角度与自身重合． 【类型三】 旋转角的判断 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　) A．30° B．45° C．90° D．135° 解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，∠BOD，∠AOC都是旋转角．由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角∠BOD＝90°.故选C. 探究点二：旋转的性质 【类型一】 旋转性质的理解 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？ (4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 解：(1)旋转中心是A点． (2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°. (3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝＝.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝. (4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形． 【类型二】 旋转的性质的运用 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度． 解析：连接EE′，由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴△BEE′为等腰直角三角形且∠EE′B＝45°，EE′＝2.在△EE′C中，EE′＝2，E′C＝1，EC＝3，由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°. 三、板书设计 1．旋转的概念 将一个图形绕一个顶点按照某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 2．旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等． 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、归纳和动手操作，体会图形变换思想. 第2课时　旋转作图 1．复习旋转及旋转图形的概念与性质；

2．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 在钟面上，从1点到1点6分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？1点6分时针与分针的夹角是多少度？ 二、合作探究 探究点：简单的旋转作图 【类型一】 旋转作图 在如图所示的网格图中按要求画出图形：
(1)先画出△ABC向下平移5格后的△A1B1C1. (2)再画出△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2. 解：(1)如图，△A1B1C1即为△ABC向下平移5格后的图形． (2)△A2B2C2即为△ABC以点O为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形． 【类型二】 作旋转图形 如图，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′. 解：(1)如图，连接OA，OB，OC. (2)分别以OA，OB，OC为一边作∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝90°. (3)分别在射线OA′，OB′，OC′上截取OA′＝OA，OB′＝OB，OC′＝OC. (4)依次连接A′B′，B′C′，C′A′.则△A′B′C′就是△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形． 【类型三】 图形旋转的应用 如图①，分别以正方形ABCD的边AD和DC为直径画两个半圆交于点O.若正方形的边长为10cm，求阴影部分的面积． 解析：整个阴影部分比较复杂和分散，像此类问题通常使用割补法来计算．连接BD、AC，由正方形的对称性可知，AC与BD必交于点O，正好把左下角的阴影部分分成(Ⅰ)与(Ⅱ)两部分(如图②)，把阴影部分(Ⅰ)绕点O逆时针旋转90°至阴影部分①处，把阴影部分(Ⅱ)绕点O顺时针旋转90°至阴影部分②处，使整个阴影部分割补成半个正方形． 解：如图②，把阴影部分(Ⅰ)绕点O逆时针旋转90°至阴影部分①处，把阴影部分(Ⅱ)绕点O顺时针旋转90°至阴影部分②处，使原阴影部分变为如图②的阴影部分，即正方形的一半，故阴影部分面积为×10×10＝50(cm2)． 方法总结：本题是利用旋转的特征：旋转前、后图形的形状和大小不变，把图形利用割补法补全为一个面积可以计算的规则图形． 三、板书设计 1．简单的旋转作图 2．旋转图形的应用 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、归纳和动手操作，利用旋转的性质作图. 3．3　中心对称 1．理解并掌握中心对称及中心对称图形的概念及性质；
(重点) 2．能够根据中心对称及中心对称图形的性质进行作图．
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公元6世纪．如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点一：中心对称和中心对称图形的概念 【类型一】 中心对称的识别 如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解析：将选项中左边图形沿着某一点旋转180°能与右边图形重合的是(1)(2)(3)，所以(1)(2)(3)中左边图形与右边图形成中心对称．共3组，故选C. 【类型二】 中心对称图形的识别 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 解析：根据轴对称和中心对称的概念和性质逐一进行判断，选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；
选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；
选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选B. 方法总结：识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形． 探究点二：中心对称和中心对称图形的性质 【类型一】 确定对称中心 如图，已知△ABC和△A′B′C′成中心对称，画出它们的对称中心． 解析：由于△ABC和△A′B′C′成中心对称，即从整体上看，此图是一幅中心对称图案，所以本题有两种解法． 解法一：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则O为对称中心．如图． 解法二：B、B′是一对对应点，连接BB′，找出BB′的中点O，则点O即为对称中心．如图． 方法总结：利用中心对称的特征，找正确对应点．当两个图形成中心对称时，通过直接观察的方法找对应点；
如果直观体现不明显，可采用测量方法找对应点． 【类型二】 利用中心对称图形的性质求面积 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积． 解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，此图中阴影部分的三个三角形可以转化到直角△ADC中，于是此面积即可求得． 解：因为矩形ABCD是中心对称图形，所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称，所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中．又因为AB＝2，BC＝3，所以Rt△ADC的面积为×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3. 方法总结：利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单． 探究点三：作中心对称图形 如图，网格中有一个四边形和两个三角形． (1)请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；

(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；
这个整体图形至少旋转多少度能与自身重合？ 解：(1)如图所示；

(2)这个整体图形的对称轴有4条；
此图形最少旋转90°能与自身重合． 三、板书设计 1．中心对称 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 2．中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，结合图形，多观察，多归纳，体会识别中心对称图形的方法，理解中心对称图形的特征. 3．4　简单的图案设计 1．利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计． 2．认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用，并灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计．
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 2016年里约热内卢奥运会会徽是由三人牵手相连的标志，代表巴西的著名景点“面包山”作为图形的基础，融合充满激情的卡里奥克舞，并且呼应了巴西国旗的绿黄蓝三色．标志象征着团结、转变、激情及活力．在和谐动感中共同协力，同时也体现了里约的特色和这座城市多样的文化，展示了热情友好的里约人和这座美丽的上帝之城． 二、合作探究 探究点一：分析图案的形成过程 【类型一】 分析构成图案的基本图形 分析下列图形的形成过程． 解析：仔细观察图案，分析构成的基本图形，再分析图形变换的过程和方式．是通过平移、轴对称、旋转中的一种变换还是其中的几种变换的组合，另外要注意图形形成不是唯一的，即基本图形也不唯一，要全面思考，认真分析． 解：仔细观察会发现这四个图形分别是由以下的基本图形构成的．第一个是由基本图形旋转十次后得到的，第二个是由基本图形平移两次后得到的，第三个是由基本图形旋转五次后得到的，第四个是由基本图形旋转五次后得到的．因为图形的变换不唯一还可以有其他的变换方式，如(1)、(4)可以由图2(a)、2(b)通过轴对称变换得到． 方法总结：对于这四种图形变换一般从定义区分即可．分清图形变换的几个最基本概念是解题的关键． 【类型二】 分析图案的形成过程 分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可得到右边的树形图案． 解析：根据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下两种途径：
(1)把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换(要注意对称轴的正确选择)，即可得到右边的树形图案． (2)把左图先做轴对称变换(要注意对称轴的正确选择)，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 方法总结：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案． 探究点二：利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案 用四块如图①所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图②、图③、图④中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)． 解：解法不唯一．例如：
方法总结：求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定要留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就． 三、板书设计 1．分析图案的形成过程 (1)分析构成图案的基本图形；

(2)分析图案的形成过程． 2．利用平移、旋转、轴对称等方式设计图案 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历运用平移、旋转、轴对称的组合进行简单的图案设计过程，体会图案的欣赏与设计过程. 第三章复习　图形的平移与旋转 一、学习任务分析 （一）知识与技能 1.平移是否改变图形的位置、形状和大小？旋转呢？请举例说明. 2.平移、旋转各有哪些基本性质？请举例说明. 3.在平面直角坐标系中，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间有怎样的关系？请举例说明. 4.两个成中心对称的图形有哪些特征？中心对称图形有哪些特征？ 5.你能你利用一次平移和一次旋转设计一个图案吗？你想表达什么含义？ 6.梳理本章内容，用适合的方式呈现本章知识结构，并与同伴交流. （二）过程与方法 经历构建本章知识的网络图，培养梳理知识的能力，核心知识的理解是关键。

（三）情感、态度与价值观 1．经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念、增强审美意识. 2．通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神. 教学重点：
理解平移、旋转与中心对称的概念和性质.掌握坐标系中平移、对称的坐标特征。

教学难点：
灵活运用平移、旋转与中心对称的概念和性质解决相关图形问题。

二、教学过程设计 教学过程分为以下几个环节：回顾知识、构建网络图、巩固练习、总结归纳。

（一）回顾知识 根据以下问题，回顾本章知识。

1．平移是否改变图形的位置、形状和大小？旋转呢？请举例说明． 2．平移、旋转各有哪些基本性质？请举例说明． 3．在平面直角坐标系中，平移后的图形与原图形对应点的坐标之间有怎样的关系？ 请举例说明． 4．两个成中心对称的图形有哪些特性？中心对称图形有哪些特性？ 知识点归纳：
平移 平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。

平移的性质：
平移不改变图形的形状和大小；
图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行且相等。

旋转 旋转的概念：
把一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。

旋转的性质：
旋转前、后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等；
每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

（3）轴对称：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

（4）中心对称与中心对称图形：
中心对称与中心对称图形的联系与区别 区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称. 联系: 如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称. （二）构建知识网络图 1.看目录——找联系——形成网 2. 轴对称、平移、旋转的区别及联系: 3.中心对称与轴对称的联系与区别 4.图形的平移与坐标变化之间的关系 （1）设（x，y）是原图形上的一点，经过平移后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x轴方向 向右平移 a个单位长度 （a＞0）
（x+a，y）
向左平移 （x-a，y）
沿y轴方向 向上平移 （x，y+a）
向下平移 （x，y-a）
（2）设（x，y）是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a个单位长度（a＞0）、沿y轴方向平移b个单位长度（b＞0）后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：
平移方向和平移距离 对应点的坐标 向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 （x+a，y+b）
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 （x+a，y-b）
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 （x-a，y+b）
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 （x-a，y-b）
(三)巩固练习 板块1——画一画（1）
板块2——画一画（2）
板块3——平移、旋转、中心对称的运用 例2. P是正方形内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转至与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长。

A B C D P P′ 四、总结归纳 图形的轴对称、平移、旋转是几何中的重要概念，应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算与证明。

五、作业布置（略）
4．1　因式分解 1．理解并掌握因式分解的概念；

2．理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题．(难点) 一、情境导入　　　　　　　　　　　　　　 某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma＋mb)元．”小华说：“总共需要m(a＋b)元．” 同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？ 二、合作探究 探究点一：因式分解的概念 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；
②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；
④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；
②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；
③是整式的乘法，故③不是因式分解；
④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；
故选B. 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用 已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k分解因式后有一个因式是x－3，试求k的值及另一个因式． 解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2－mx－)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值． 解：设另一个因式为2x2－mx－，∴(x－3)(2x2－mx－)＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－mx2－x－6x2＋3mx＋k＝2x3－5x2－6x＋k，2x3－(m＋6)x2－(－3m)x＋k＝2x3－5x2－6x＋k，∴m＋6＝5，－3m＝6，解得m＝－1，k＝9，∴k＝9，∴另一个因式为2x2＋x－3. 方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式． 三、板书设计 1．因式分解的概念 把一个多项式转化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 2．因式分解与整式乘法的关系 因式分解是整式乘法的逆运算． 本课是通过对比整式乘法的学习，引导学生探究因式分解和整式乘法的联系，通过对比学习加深对新知识的理解．教学时采用新课探究的形式，鼓励学生参与到课堂教学中，以兴趣带动学习，提高课堂学习效率. 4．2　提公因式法 第1课时　直接提公因式因式分解 1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式；

2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．(重点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 小华家买了一套新房，装修时打算在三室两厅的地面上贴相同规格的地板砖，为此小华的父亲要求小华测算出三室两厅的地面总面积．小华发现三室两厅的地面宽度相同，都是a米，大厅长度为c米，三室长度均为d米，其中a＝3.6，b＝5.6，c＝2.8，d＝4.2，那么怎样计算总面积比较简便呢？ 二、合作探究 探究点一：确定公因式 多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是(　　) A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab 解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D. 方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；
(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；
(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 探究点二：用提公因式法进行因式分解(一) 【类型一】 用提公因式法因式分解 因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；

(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；

(3)(a＋b)(a－b)－a－b. 解析：将原式各项提取公因式即可得到结果． 解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；

(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；

(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)． 方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；
(2)提公因式并确定另一个因式． 【类型二】 用因式分解简化运算 计算：
(1)39×37－13×91；

(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14. 解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；
(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可． 解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；

(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015. 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 三、板书设计 1．公因式 多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式． 2．提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法． 本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果. 第2课时　变形后提公因式因式分解 1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义；

2．熟练运用提公因式法分解因式．(重点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 下面的多项式有公因式吗？如果有，怎样因式分解呢？ (1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；

(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；

(3)a(a－b)3－(b－a)3. 二、合作探究 探究点：用提公因式法进行因式分解(二) 【类型一】 利用因式分解整体代换求值 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值． 【类型二】 因式分解与三角形知识的综合 △ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－(舍去)，∴△ABC是等腰三角形． 方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状． 【类型三】 运用因式分解探究规律 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；

(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；

(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)． 解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；
(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案． 解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了3次；

(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2016次，结果是(1＋x)2015；

(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1. 方法总结：解决此类问题需要认真阅读，理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键． 三、板书设计 1．提公因式分解因式的一般步骤：
(1)观察；
(2)适当变形；
(3)确定公因式；
(4)提取公因式． 2．提公因式法因式分解的应用 本课时是在上一课时的基础上进行的拓展延伸，在教学时要给学生足够主动权和思考空间，突出学生在课堂上的主体地位，引导和鼓励学生自主探究，在培养学生创新能力的同时提高学生的逻辑思维能力. 4．3　公式法 第1课时　平方差公式 1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；
(重点) 2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流． 2．你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？ 二、合作探究 探究点一：用平方差公式因式分解 【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；
B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；
C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；
D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D. 方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【类型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式：
(1)a4－b4；
(2)x3y2－xy4. 解析：(1)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2－b2仍可以继续用平方差公式分解因式；
(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式． 解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)；

(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)． 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 【类型三】 利用因式分解整体代换求值 已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值． 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便． 探究点二：用平方差公式因式分解的应用 【类型一】 利用因式分解解决整除问题 248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数． 解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63. 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除． 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用因式分解计算：
(1)1012－992；

(2)5722×－4282×. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；
(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可． 解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；

(2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000. 方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便． 【类型三】 因式分解的实际应用 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解． 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(32－22)＋1＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：所有阴影部分的面积和是5050cm2. 方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 三、板书设计 1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；
如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底. 第2课时　完全平方公式 1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；
(重点) 2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．分解因式：
(1)x2－4y2；
(2)3x2－3y2；
(3)x4－1；
(4)(x＋3y)2－(x－3y)2；

2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？ 二、合作探究 探究点一：用完全平方公式因式分解 【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　) (1)a2＋ab＋b2；
(2)a2－a＋；
(3)9a2－24ab＋4b2；
(4)－a2＋8a－16. A．1个 　B．2个 C．3个 D．4个 解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；
(2)a2－a＋＝(a－)2；
(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；
(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B. 方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍． 【类型二】 运用完全平方公式分解因式 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；

(2)(a2＋4)2－16a2. 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；
(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解． 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；

(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2. 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 探究点二：用完全平方公式因式分解的应用 【类型一】 运用因式分解进行简便运算 利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可． 解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；

(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键． 【类型二】 利用因式分解判定三角形的形状 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形． 方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路． 【类型三】 整体代入求值 已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值． 解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答． 解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入． 三、板书设计 1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2．完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；

(2)有两个同号的平方项；

(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领. 第四章复习　因式分解 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：
在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；

（2）提高学生因式分解的基本运算技能；

（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；

（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力． 3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；
通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳 ——能力提升――活学活用——永攀高峰． 第一环节 知识回顾 活动内容：1、举例说明什么是分解因式。

2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。

活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来． 注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强． 第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）
活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解 例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。

A. B. C. D. 活动目的：加深学生对因式分解概念的认识． 注意事项：引导学生说出相应的理由． 活动内容：
知识点二：利用提公因式法分解因式 例2.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ 知识点三：利用公式法分解因式 例3.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；
（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算． 注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。

第三环节 小试牛刀 活动内容：练一练：把下列各式分解因式 （1）（a2+4）2–16a2 （2）
活动目的：
连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。

注意事项：区分两个公式法分解因式。

第四环节 总结归纳 活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式 例4.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 活动目的：
考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。

注意事项：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；
若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。

活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值 例5.利用分解因式计算：
⑴ ⑵ ⑶（–2）101+（–2）100 例6．已知 ，求 的值。

例7.已知x+y=1，求的值． 例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，例5考察分别考察运用公式法和提公因式法的应用，例6、例7考察分解因式后的整体代入求值，例8由特殊到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法． 注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题． 第五环节 能力提升 活动内容：知识点六：分解因式的实际应用 例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积；

（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积． 活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力． 注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；
再将数据代入． 第六环节 活学活用 活动内容：练一练 1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。

2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？ 3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？ 活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；
第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；
但第三题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案。

注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平方式的意义。

第七环节：
永攀高峰 活动内容：例10.利用分解因式说明：
能被120整除。

练一练：
可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。

活动目的：
利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲解，学生效仿学习。

注意事项：
练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、＼ 课后练习：完成课后习题。

四、教学设计反思 在因式分解的几种方法中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。

培养学生的整体观念，灵活运用公式的能力。注重总结做题步骤。这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的教，因此，应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外，解题步骤教师应在黑板上示范，多做题、多小考，反复强调，在复习时还要加以巩固。

5．1　认识分式 第1课时　分式的有关概念 1．了解分式的概念，能正确判断一个代数式是否是分式；

2．掌握分式有(无)意义、值为零的条件．(难点) 一、情境导入　　　　　　　　　　　　　 一个小村庄现有耕地600公顷，林地150公顷，为了保护环境，退耕还林，村委会计划把原来“开山造林”时造出的x公顷耕地还原成林地，那样林地的面积是耕地面积的几分之几？如何用x的式子表示？这个式子有什么特征？它与整式有什么不同？ 二、合作探究 探究点一：分式的概念 【类型一】 判断代数式是否为分式 在式子、、、、＋、9x＋中，分式的个数有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：、、9x＋这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B. 方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数． 【类型二】 探究分式的规律 观察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式；

(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由． 解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；
(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案． 解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－；
(2)由已知可得：第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×，理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×. 方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键． 【类型三】 根据实际问题列分式 每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为(　　) A.元 B.元 C.元 D.(＋)元 解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为元．故选B. 方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式． 探究点二：分式有无意义的条件及分式的值 【类型一】 分式有意义的条件 分式有意义，则x应满足的条件是(　　) A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对 解析：∵分式有意义，∴(x－1)(x－2)≠0，∴x－1≠0且x－2≠0，∴x≠1且x≠2.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零． 【类型二】 分式无意义的条件 使分式无意义的x的值是(　　) A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠ 解析：由分式有意义的条件得3x－1≠0，解得x≠.则分式无意义的条件是x＝，故选C. 方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.　 【类型三】 分式值为0的条件 若使分式的值为零，则x的值为(　　) A．－1 B．1或－1 C．1 D．1和－1 解析：由题意得x2－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1，故选C. 方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；
(2)分母不为0.这两个条件缺一不可． 三、板书设计 1．分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 2．分式有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；
当B＝0时，分式无意义． 3．分式值为0的条件：当A＝0，B≠0时，分式的值为0. 本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成. 第2课时　分式的基本性质 1．理解并掌握分式的基本性质和符号法则；
(难点) 2．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分的理论依据；
(重点) 3．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．(难点) 一、情境导入
　　　　　　　　　　　　　 中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的基本性质． 二、合作探究 探究点一：分式的基本性质 【类型一】 利用分式的基本性质对分式进行变形 下列式子从左到右的变形一定正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：A中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A错误；
B中当c＝0时不成立，故B错误；
C中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C正确；
D中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D错误；
故选C. 方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数 不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为(　　) A. B. C. D. 解析：利用分式的基本性质，把的分子、分母都乘以10得.故选C. 方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可． 【类型三】 分式的符号法则 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)；
(2)；
(3). 解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变． 解：(1)原式＝－；

(2)原式＝－；

(3)原式＝－. 方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号． 探究点二：约分及最简分式 【类型一】 判定分式是否为最简分式 下列分式是最简分式的是(　　) A. B. C. D. 解析：A中该分式的分子、分母含有公因式a，则它不是最简分式．错误；
B中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；
C中分子为(x＋1)(x－1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，则它不是最简分式．错误；
D中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D. 方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式． 【类型二】 分式的约分 约分：(1)；
(2). 解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去． 解：(1)＝＝－；

(2)＝＝. 方法总结：约分的步骤；
(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；
(2)约去分子、分母的公因式． 三、板书设计 1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；
若只改变其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数． 本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效. 5．2　分式的乘除法 1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力；
(重点) 2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 观察下列运算：
×＝，×＝， ÷＝×＝，÷＝×＝. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ 今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除． 二、合作探究 探究点一：分式的乘法 【类型一】 利用分式的乘法法则和除法法则进行计算 计算下列各式：
(1)·(－)；

(2)－3xy÷. 解析：(1)直接利用分式的乘法运算法则，先找出公因式，然后进行约分；
(2)变为乘法，再直接利用分式的乘法运算法则求出即可． 解：(1)·(－)＝－6xy；

(2)－3xy÷＝－. 方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；
(2)按分式的乘法法则运算；
(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分． 【类型二】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围 若式子÷有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≠－2，x≠－4 B．x≠－2 C．x≠－2，x≠－3，x≠－4 D．x≠－2，x≠－3 解析：∵≠0，x＋2≠0，∴x＋3≠0且x＋4≠0，解得x≠－2，x≠－3，x≠－4，故选C. 方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0. 【类型三】 分式的乘除法的应用 老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？ 解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a2＋b2)平方米，老李家种植的总面积为2ab平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可． 解：设花生的总产量是1，÷＝(倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的倍． 方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可． 【类型四】 分式乘除法的混合运算 计算：·÷. 解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算． 解：原式＝··＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；
(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式． 探究点二：分式的乘方 【类型一】 分式的乘方运算 下列运算结果不正确的是(　　) A．()2＝()2＝ B．[－()2]3＝－()6＝－ C．[]3＝()3＝ D．(－)n＝ 解析：A、B、C计算都正确；
D中(－)n＝(－1)n，原题计算错误．故选D. 方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式． 【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算 计算：
(1)(－)2·(－)3·(－)4；

(2)÷()2·. 解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；
(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简． 解：(1)原式＝·(－)·＝－；

(2)原式＝··＝. 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式． 【类型三】 分式乘方的应用 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝πR3(其中R为球的半径)，求：
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ (2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？ (3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 解析：(1)根据体积公式求出即可；
(2)根据(1)中的结果得出即可；
(3)求出两体积的比即可． 解：(1)西瓜瓤的体积是π(R－d)3，整个西瓜的体积是πR3；

(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是＝；

(3)由(2)知，西瓜瓤与整个西瓜的体积比是<1，故买大西瓜比买小西瓜合算． 方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键． 【类型四】 分式的化简求值 化简求值：()3÷()2·[]2，其中x＝－，y＝. 解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可． 解：原式＝··＝.将x＝－，y＝代入得原式＝－6. 方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式是解决此类问题的常用方法． 三、板书设计 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除． 本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通. 5．3　分式的加减法 第1课时　同分母分式的加减 1．了解并掌握同分母分式的加减法则；

2．会用同分母分式的加减法则进行同分母分式加减运算．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 大约公元250年前后，古希腊数学家丢番图在形容如何将42表示成两个数的平方和时，得出了一组答案，这两个数都是分母为b，分子比是4∶3的分数．你能根据这些条件，求出这两个数来吗？ 二、合作探究 探究点一：同分母分式的加减运算 计算：
(1)－；

(2)＋；

(3)－. 解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号． 解：(1)原式＝＝＝－；

(2)原式＝＝＝－a－1；

(3)原式＝＝＝－1. 方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式． 探究点二：分式的符号法则 计算：
(1)＋；

(2)＋－. 解析：(1)先把第二个分式的分母y－x化为－(x－y)，再把分子相加减，分母不变；

(2)先把第二个分式的分母a－b化为－(b－a)，再把分子相加减，分母不变． 解：(1)原式＝－ ＝ ＝＝＝x＋y；

(2)原式＝－－ ＝ ＝＝＝－2. 方法总结：分式的分母互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算． 三、板书设计 1．同分母分式加减法法则：±＝. 2．分式的符号法则：＝，＝＝－. 本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识. 第2课时　异分母分式的加减 1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；
(重点) 2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 小学我们学习过异分母分数的加减法，如＋＝＋＝，那么如何计算－呢？ 二、合作探究 探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母 分式与的最简公分母是________． 解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；
字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；
当分母是多项式时，一般应先因式分解． 【类型二】 分母是单项式分式的通分 通分． (1)，；

(2)，；

(3)，，. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式． 解：(1)最简公分母是2b2d，＝，＝；

(2)最简公分母是6a2bc2，＝，＝；

(3)最简公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母． 【类型三】 分母是多项式分式的通分 通分． (1)，；

(2)，. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)， ＝， ＝；

(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2， ＝，＝. 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；
②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商． 探究点二：异分母分式的加减法 【类型一】 异分母分式的加减法运算 计算：
(1)－；

(2)＋a＋2；

(3)－＋. 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；
(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分． 解：(1)原式＝－ ＝－ ＝＝；

(2)原式＝＝＝2a；

(3)原式＝－＋＝＝. 方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算． 【类型二】 分式的混合运算 计算：
(1)(－)÷；

(2)÷(－a－3)． 解：(1)原式＝[－]÷ ＝(－)÷＝·＝－；

(2)原式＝÷(－) ＝÷ ＝· ＝－. 方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法． 探究点三：分式运算的化简求值 【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值 先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝1，y＝－2. 解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算． 解：原式＝·＝， 当x＝1，y＝－2时，原式＝＝－. 方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算． 【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值 先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：·－. 解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数． 解：原式＝·－ ＝－ ＝ ＝－. 当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数) 方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义． 【类型三】 整体代入求值 已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－·的值． 解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算． 解：－·＝－·＝－＝＝. ∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝＝. 方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可． 探究点四：运用分式解决实际问题 有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；
第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；
若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？ 解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；
逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可． 解：设两次航行的路程都为s. 第一次所用时间为＋＝， 第二次所用时间为＋＝， ∵b＞a，∴b2＞a2， ∴v2－b2＜v2－a2， ∴＞. ∴第一次的时间要短些． 方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；
②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小． 三、板书设计 1．分式的通分 2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算． 3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的． 对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟. 5．4　分式方程 第1课时　分式方程的概念及列分式方程 1．对比学习分式方程的定义，能够判断一个方程是否为分式方程；

2．会分析实际问题中的等量关系，建立分式方程．(重点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米外的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设甲同学每小时行x千米，你能列出相应的方程吗？这个方程是我们以前学过的方程吗？如果不是，你能给它取个名字吗？ 二、合作探究 探究点一：分式方程的概念 下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A.＝ B.＝＋3 C.＋1＝ D.＝1－ 解析：A中方程分母不含未知数，故不是分式方程；
B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；
C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；
D中方程分母含未知数x，故是分式方程．故选D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：列分式方程 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为(　　) A.＝15 B.＝15 C.＝15 D.＝15 解析：设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意可得等量关系：(原计划20天生产的零件个数＋10个)÷实际每天生产的零件个数＝15天，根据等量关系列出方程即可．设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x＋4)个，根据题意得＝15.故选A. 方法总结：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 三、板书设计 1．分式方程的概念 2．列分式方程 本课时的教学以学生自主探究为主，通过参与学习的过程，让学生感受知识的形成与应用的价值，增强学习的自觉性，体验类比学习思想的重要性，然后结合生活实际，发现数学知识在生活中的广泛应用，感受数学之美. 第2课时　分式方程的解法 1．在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；
(重点) 2．了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 方程＝与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？ 二、合作探究 探究点一：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程：
(1)＝；
(2)＝－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得x＝－5，检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解；

(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2，检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；
②解整式方程；
③检验；
④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________． 解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点二：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程＝＋有增根，则增根为(　　) A．0 B．2 C．0或2 D．1 解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x－2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；
当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A. 方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解． 【类型二】 分式方程有增根，求字母的值 如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．3 解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B. 方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【类型三】 分式方程无解，求字母的值 若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6. 方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 三、板书设计 1．分式方程的解法 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程求解，再检验． 2．分式方程的增根 (1)解分式方程为什么会产生增根；

(2)分式方程检验的方法． 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错. 第3课时　分式方程的应用 1．掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；
(重点) 2．用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．引导学生回顾列方程解应用题的一般步骤．学生积极思考，并交流、讨论总结出：
第一步，审清题意；

第二步，根据题意设未知数；

第三步，列式子并找出等量关系，建立方程；

第四步，列方程，并解出答案；

第五步，检查方程的解是否符合题意；

最后作答． 2．提问：分式方程的应用题应该怎么解呢？ 二、合作探究 探究点：列分式方程解决实际问题 【类型一】 工程问题 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．由题意得＋＝1.解得x＝6.经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 方法总结：解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 【类型二】 行程问题 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． (1)求普通列车的行驶路程；

(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可． 解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；

(2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得－＝3，解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)． 答：高铁的平均速度是300千米/时． 方法总结：解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间． 【类型三】 图表信息类问题 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 解析：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据“总价÷单价＝数量”的关系建立方程． 解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得＝.解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160. 答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元． 方法总结：解答此类问题要结合图表提供的信息，找出相等关系列方程． 【类型四】 销售盈亏问题 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？ (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析：(1)根据第二次购买水果数多20千克，可列出方程，解出即可得出答案；
(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． 解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得－＝20，解得x＝6.经检验，x＝6是原方程的解． (2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．第二次购买水果200＋20＝220(千克)．第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以两次共赚钱400－12＝388(元)． 答：第一次水果的进价为每千克6元；
该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元． 方法总结：本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑，掌握这次活动的流程． 三、板书设计 列分式方程解应用题的一般步骤是：
第一步，审清题意；

第二步，根据题意设未知数；

第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；

第四步，解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
最后作答． 在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程. 第五章 复习　分式与分式方程 复习课（一）
一、学生知识状况分析 学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉． 学生活动经验基础：
在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：
知识与技能：
（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；

（2）提高学生分式的基本运算技能． 数学能力：
（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；

（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——做一做——试一试——再想一想——反馈练习——课后练习． 第一环节 回顾 活动内容：
1、分式的基本性质是什么？举例说明！ 2、分式的乘除法的法则是什么？举例说明！ 3、同分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！ 4、异分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！ 活动目的：
通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识． 教学效果：
有了前几节课的学习，学生对分式的基本性质及分式的运算等知识有了较清楚的认识与理解． 第二环节 想一想 活动内容：
填空题：
（1）如果某商品降价x%后售价为a元，那么该商品的原价是 元． （2）某人打靶，有m次均打中a环，有n次均打中b环，则此人平均每次中靶的环数是 ． （3）当x 时，分式有意义． （4）当x 时，分式的值为0． 活动目的：
加深学生对分式的一些基本概念的认识． 教学效果：
部分学生对第（4）小题中认为分子x2–9的值为0，从而得出x应为±3，原因是没有注意分母不能为0这一事实，经指点后，均能理解． 第三环节 做一做 活动内容：
1、化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
活动目的：
加强学生对分式的运算等基本技能的训练。

教学效果：
学生在完成异分母的加减法时思维上有一定的障碍． 第四环节 试一试 活动内容：
先化简，后求值：
，其中x=–1． 活动目的：
逐步提高学生的运算能力，发展学生的应用能力，提高解决问题的能力． 教学效果：
有了前面的运算基础，学生对先化简后求值这一类题的运算较为清楚． 第五环节 想一想 活动内容：
1、已知：，求的值． 2、已知：，求的值． 3、已知：，求的值． 4、已知：，求A、B的值． 活动目的：
使学生了解不同情况下分式的运算技巧． 教学效果：
因学生在此之前并未接触过这种题型，从而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题． 第六环节 反馈练习 活动内容：
1、选择题：
（1）使分式有意义的是 （ ）
A、 B、 C、 D、 （2）若4x=5y，则的值是 （ ）
A、 B、 C、 D、 2、填空：
（1）计算：= ；

（2）计算：
；

3、已知：，求的值． 活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求． 教学效果：
学生能较好地掌握分式及其运算的基本知识与基本技能；

第七环节 课后练习 四、教学反思 分式是表示具体情境中数量的模型，它是分数的“代数化”，它的性质、运算与分数的性质、运算完全相似，它是代数运算的基础之一。在教学过程中，注重对分式运算算理的理解是教学要注意的重点，没有必要一味地追求运算的复杂性与难度，否则会因为经常出现错误而导致学生对分式的运算失去信心，这是得不偿失的做法，也与《数学课程标准》所倡导的理念相违背。

在运算过程中，要注意部分学生将分式的运算与解分式方程混为一谈，不加思索地将分式的运算中的分母去掉，造成运算的不合理，在教学中要注意到发展学生的合情推理能力。

复习课（二）
一、学生知识状况分析 学生的技能基础：学生已经学习了分式方程及分式方程应用题等有关概念，对解决与分式方程相关的实际问题有了一定的基础与认识． 学生活动经验基础：
在学习解方程及解决方程的应用题等实际问题的过程中，学生已经经历了观察、探究、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在本章的学习中，学生已经掌握了分式方程和它的应用，本课时安排让学生对本部分内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对就的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：
知识与技能：
（1）能熟练地解分式方程；

（2）能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示． 数学能力：
（1）通过解分式方程，使学生了解转化的思想方法；

（2）关注对算理的理解，发展学生的代数表达能力，运算能力和有条理地思考问题的能力；

（2）提高学生解决实际问题的能力，发展学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力． 情感与态度：
（1）让学生了解数学与生活是不可分离的，生活是数学的载体；

（2）通过经历观察、归纳、类比、猜想等思维过程，进而学会反思自己的思维过程． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：回顾——做一做——试一试——想一想——反馈练习——课后练习． 第一环节 回顾 活动内容：
1、解分式方程有哪些步骤？ 2、解分式方程应用题有哪些步骤？ 活动目的：
通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识． 教学效果：
有了前几节课的学习，学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤有了较清楚的认识与理解． 第二环节 做一做 活动内容：
解下列分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
活动目的：
通过对分式方程的解答，使学生明白解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程． 教学效果：
学生能够理解解分式方程的步骤，但有部分学生在去分母时，会出现整数不乘公分母，如第（2）（3）两小题． 第三环节 试一试 活动内容：
1、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；
如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成． （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；

（2）求两队合做完成这项工程所需的天数． 2、A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度． 活动目的：
（1）让学生能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感． （2）通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力． 教学效果：
由于在前一阶段学生已经有了一些解决实际问题的基础，学生在解决比较简单的问题时较好，但也有少数学生很难把生活中的实际问题与数学结合到一起，思维上有一定的障碍． 第四环节 想一想 活动内容：
某顾客第一次在商店买了若干件小商品花去了5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他这一次购买该小商品的数量是第一次的两倍，这样，第二次共花去2元，问他第一次买的小商品是多少件？ 活动目的：
通过螺旋式上升的认识，进一步发展学生的符号感，提高解决实际问题的能力． 教学效果：
学生对抽象思维较难理解，但可以进行现场模拟这个情景，使学生从感性认识中发展到抽象思维，让大多数学生能够找到解决问题的钥匙． 第五环节 反馈练习 活动内容：
1、选择题：
（1）一个工人生产零件，计划30天完成，若每天多生产5个，则在26天里完成且多生产10个，若设原计划每天生产x个，则这个工人原计划每天生产多少个零件？根据题意可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、 （2）几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的学生共有x人，则根据题意可列方程 （ ）
A、 B、 C、 D、 2、解下列方程：
（1）
（2）
3、某厂第一车间加工一批毛衣，4天完成了任务的一半，这时，第二车间加入，两车间共同工作两天后就完成了任务并超额完成任务的，求第二车间单独加工这批毛衣所用的天数． 活动目的：
通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求． 教学效果：
部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能． 第六环节 课后练习 四、教学反思 数学来源于生活，并应用于生活，让学生用数学的眼光观察生活，除了用所学的数学知识解决一些生活问题外，还可以从数学的角度来解释生活中的一些现象，面向生活是学生发展的“源头活水”． 在解决实际生活问题的实例选择上，我们尽量选择学生熟悉的实例，如：学生身边的事，购物，农业，工业等方面，让学生真切地理解数学来源于生活这一事实。有些学生对应用题有一种心有余悸的感觉，其关键是面对应用题不知怎样分析、怎样找到等量关系。在教学中，如果采用列表的方法可帮助学生审题、找到等量关系，从而学会分析问题。可能学生最初并不适应这种做法，可采用分步走的方法，首先，让学生从一些简单、类似的问题中模仿老师的分析方法，然后在练习中让学生悟出解决问题的窍门，学会举一反三，最后达到能独立解决问题的目的。

6．1　平行四边形的性质 第1课时　平行四边形边和角的性质 1．理解平行四边形的概念；
(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；
(重点) 3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的定义 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形． 解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可． 证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法． 探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求边长 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________． 解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AF＝DE＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7. 方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【类型二】 利用平行四边形的性质求角度 如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(　　) A．35° B．55° C．25° D．30° 分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A. 方法总结：平行四边形对角相等，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题． 【类型三】 利用平行四边形的性质证明有关结论 如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP. 解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE. 方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题． 【类型四】 判断直线的位置关系 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明． 解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系． 解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直． 方法总结：应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题． 三、板书设计 1．平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2．平行四边形的边和角的性质 平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等． 学生通过动手操作的过程和观看多媒体课件的演示，得出并掌握平行四边形性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式，能根据学生的具体情况在练习的过程中及时发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率. 第2课时　平行四边形对角线的性质 1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
(重点) 2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的对角线互相平分 【类型一】 利用平行四边形对角线相等求线段 如图，▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 解析：平行四边形的周长为60cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.又∵▱ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，可知AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 【类型二】 利用平行四边形对角线相等证明线段或角相等 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF. 解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF. 方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质． 【类型三】 判断直线的位置关系 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论． 解析：根据平行四边形的对角线互相平分得OA＝OC，OB＝OD，利用中点得出OE＝OF，从而利用三角形全等得出BE＝DF，∠FDB＝∠EBD，得出BE∥DF. 解：由题意得BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF.在△OEB和△OFD中∴△OEB≌△OFD，∴BE＝DF，∠EBD＝∠BDF，∴BE∥DF. 方法总结：在解决平行四边形的问题，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题． 三、板书设计 平行四边形对角线的性质：平行四边形对角线相互平分． 通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长. 6．2　平行四边形的判定 第1课时　利用四边形边的关系判定平行四边形 1．掌握平行四边形的判定定理；
(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等；

2．两组对角分别相等；

3．两条对角线互相平分． 那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？ 二、合作探究 探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.试探究四边形DAEF是平行四边形． 解析：根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形DAEF为平行四边形． 解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 方法总结：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形时，证明边相等，可通过三角形全等解决． 探究点二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由． 解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论． 解：四边形ABCD是平行四边形．证明如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形． 方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB. 三、板书设计 1．平行四边形的判定定理(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的判定定理(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要，用起来更加得心应手．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上. 第2课时　平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离 1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；

2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；
(重点) 3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？ 二、合作探究 探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【类型一】 利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形 已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点． 求证：(1)△AOC≌△BOD；

(2)四边形AFBE是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；

(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了． 证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵∴△AOC≌△BOD(AAS)；

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等 如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论． 解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF. 解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF. 方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法． 探究点二：平行线间的距离 如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等． 解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明． 证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO. 方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等． 探究点三：平行四边形判定和性质的综合 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG. (1)求证：四边形DEGF是平行四边形；

(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积． 解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝BC＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48. 解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝AG，DF＝DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；

(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48. 方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键． 三、板书设计 1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

2．平行线的距离；
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离． 3．平行四边形判定和性质的综合． 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力. 6．3　三角形的中位线 1．掌握中位线的定义以及中位线定理；
(重点) 2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点) 一、情境导入 如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？ 二、合作探究 探究点：三角形的中位线 【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)
　　　　　　　　　　　　　 A. B．3 C．6 D．9 解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C. 方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用． 【类型二】 利用三角形中位线定理求角 如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　) A．80° B．90° C．100° D．110° 解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，故选A. 方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题． 【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长． 解析：为证MN为△BCD的中位线，应根据三线合一，得到DM＝MC，即可解决问题． 解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点． 【类型四】 中位线定理的综合应用 如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论． 解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系． 解：AB＝2OF. 证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在平行四边形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.∴在△ABF和△ECF中，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF. 方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线． 三、板书设计 1．三角形的中位线 连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环. 6．4　多边形的内角和与外角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；
(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入 多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步． 提出问题：
(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？ 导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？ 你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂． 二、合作探究 探究点一：多边形的内角和定理 【类型一】 利用内角和求边数 一个多边形的内角和为540°，则它是(　　) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【类型二】 求多边形的内角和 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为(　　) A．1620° B．1800° C．1980° D．以上答案都有可能 解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键． 【类型三】 复杂图形中的角度计算 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝(　　) A．450° B．540° C．630° D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性． 【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；
然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数． 解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形． 方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围． 探究点二：多边形的外角和定理 【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数 正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正(　　) A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C. 方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可． 【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用 一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是(　　) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定 解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题． 三、板书设计 多边形的内角和与外角和 1．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°. 2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：
(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°. (2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关. 3.正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为. 本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决. 第六章复习　平行四边形 教学目标：
1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。

2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。

3、掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。

教学重点：
会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。

教学难点：
学会对证明方法的总结，通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。

课时安排：一课时 教学过程：
本节课设计了五个教学环节：第一环节：教师和学生一起回顾本章的主要内容；
第二环节：随堂练习，巩固提高；
第三环节：回顾小结，共同提升；
第四环节：分层作业，拓展延伸；
第五环节：课后反思。

第一环节：教师和学生一起回顾本章的主要内容。

一、 “平行四边形性质、平行四边形的判定定理” 内容：从边、角、对角线三个角度对平行四边形的性质、判定进行复习回顾。

边 角 对角线 平行四边形的性质 对边平行，对边相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的判定 （1）两组对边平行 （2）两组对边相等 （3）一组对边平行且相等 （4）两组对角相等 （5）对角线互相平分 学生用“问答”的形式带领其他学生将表格完成。应用性质和判定完成例题：
D C B A E F O 例1.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，且BE∥DF。

求证：BE＝DF。

教师在这里将这道题进行开放处理：
例2、 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，连接DE、BF，_________,求证：四边形BEDF是平行四边形。由学生来填加适当的条件，使得命题成立并证明。学生可以在证明的过程中找到针对条件最简单的判定定理。

二、“三角形的中位线” 内容：
这一章节中，除学习了平行四边形相关的性质和判定定理，还学习了三角形中位线的定义和性质定理。

所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。

R P D C B A E F 图2 例3.如图2，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( ) A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 解析：由三角形中位线定理可知线段EF的长在P点的运动过程中，EF一定等于AR的一半，又由于AR的长不变，所以可做出正确的判断应选C. B G A E F H D C 图3 例4. 如图3，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点．请证明四边形是平行四边形；

分析:(1)根据三角形中位线定理得GF∥EC, GF=EC=EH,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以是平行四边形. 证明：（1）在中，分别是的中点 且 又是的中点，， 且 四边形是平行四边形 三、“多边形的内角和与外角和公式” 多边形的内角和、外角和公式主要是多边形边数和内角度数之间的互化：由多边形的边数得内角的度数，由多边形的内角和的度数得变数。所以，这个环节上，老师选取了学生总结出的几道比较有代表性的例题，帮助学生加深对定理理解，增强恰当应用定理的意识。

例5. 若一个多边形内角和为1800°，求该多边形的边数。

解：设这个多边形的边数为n，则：
即该多边形为十二边形。

例6. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求该多边形的边数。

分析：该外角的大小范围应该是 由此可得到该多边形内角和范围应该是 ，而 解1：设该多边形边数为n，这个外角为x° 则 因为n为整数，所以必为整数。

即：必为180°的倍数。

又因为，所以 解2：设该多边形边数为n，这个外角为x。

又为整数， 则该多边形为九边形。

第二环节：随堂练习，巩固提高 1.七边形的内角和等于______度；
一个n边形的内角和为1800°，则n=________。

2.多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加 。

3.从多边形的一个顶点可以画7条对角线，则这个n边形的内角和为（ ）
A 1620° B 1800° C 900° D 1440° 4.一个多边形的各个内角都等于120°，它是（ ）边形。

图4 5.小华想在2012年的元旦设计一个内角和是2012°的多边形做窗花装饰教室，他的想法（ ）实现。（填“能”与“不能”）
6. 如图4，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米． 7. 以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 图5 8. 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高． 求证:四边形AEFD是平行四边形; 9. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的两点，且AE＝CF，AF，DE相交于点M，BF，CE相交于点N． 求证：四边形EMFN是平行四边形．（要求不用三角形全等来证）
第三环节：回顾小结，共同提升 通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充）
学生踊跃发言，强调了学习定理的重要性；
理解并掌握定理的必要性；
要善于在生活中发现与数学有关的问题，并要认真分析思考，利用数学知识解决发现的问题；
遇到新题时不能想当然，要谨慎思考，不要出现漏洞；
数学其实也不难学，但是基础一定要夯实，然后要有信心不断提高，要适时巩固…… 第四环节：作业 板书设计 教后反思：