添加辅助线方法

　 巧添辅助线解初中平面几何问题

　摘 要：在解几何问题时中，有时不能直接找到已知条件与未知之间的关系，因此需要添加辅助线使隐蔽的重要条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系．全等变换就是一种重要的作辅助线的方法，它可以用运动的观点，使图形通过对折、平移、旋转、位似得到与原图全等的图形，或根据需要构造必要的图形，而新的图形可以使题目的已知和未知联系起来，化难为易，从而找到添加辅助线的方法，达到解题的目的．

　关键词：辅助线；对折；平移；旋转；位似；构造；变换

　在解几何问题时，有时找不到已知条件与未知之间的关系，常常会感到无从入手，没有头绪，令人“百思不得其解”．如何把看起来十分复杂的几何问题通过简洁明了的解题方法加以解决？是几何问题面临的一个重要问题，而适当添加辅助线就是解决这个问题的一个好方法．添加辅助线的目的在于使隐蔽的条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系，完善欠缺图形，将复杂的问题化简为推证创造条件，促成问题的最终解决．提高学生作辅助线的水平，不仅可以提高他们解答几何问题的能力,而且可以提高他们的空间想象能力,逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力，从而提高他们的综合素质．然而作辅助线是有难度的，没有一成不变的方法，有时是几种方法联合并用，但一个最根本的方法是从分析问题入手，紧紧联系已学过的有关几何知识，比如定义、定理、推论、公式等．试添辅助线以后，能不能再进一步得出一些过渡性的结论，而从这些过渡性结论出发，能不能再进一步推导出下一个过渡性结论．如果添加辅助线后，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得对，成功的把握性就大，如果添辅助线后，思路反而更塞了，那一定是错了．

　用运动的观点来观察图形，在许多场合下是添加辅助线的一种行之有效的方法，它是设想把某一有关部分的图形进行对折，旋转，平移或缩放（位似），从而巧妙地添加辅助线，有效地解决问题．下面就我个人的一些经验，谈一下常用辅助线的做法．

　一 对折法

　“对折法”就是“轴对称变换法”．这是利用成轴对称的两个图形是全等形这一原理，把图中一部分或整个图形，以某一直线为折痕（即对称轴）翻折过来，就得到它的全等形．通过这种变换把较分散的线段、角集中起来，或者使原有的已知扩大，或者使各个几何量之间的关系明显化，所以这是一个常用的好方法．

　 许多已知的图形都有对称轴，有的较明显，如圆的直径，等边三角形的高，等腰三角形底边上的中线，图形中某角的角平分线或某边的垂直平分线，等腰梯形，矩形的平行对边的中垂线，菱形，正方形的对角线等．如果没有现成的对称轴，也可以设想以某直线或线段作为对称轴，向它的另一边翻折180°（即对称轴的另一边），想象一下翻折过去以后，各个对称点，对称线段或对称的角或其他有关的点、线的分布情况如何？想妥当了，再试添辅助线．而后考虑要证的几何元素与题设的元素之间的几何关系．这样，就会较合理地作出所需要的辅助线来帮助我们进行论证．

　 例1 如图（1），在△ABC中，AB=2，BC=3，在三角形内有一点D，使CD=2，∠ADC+∠B=180°，求∠B为何值时，△ABC与△ADC面积之差有最大值，其最大值是多少？

　分析：将△ADC沿AC翻折到△AD′C的位置，此时△≌△，∠ +∠B=∠ADC+∠B=180°，故四边形内接于圆，因AB=CD=C D′=2，故知四边形为等腰梯形，AD′∥BC．

　 作AE、D′F⊥BC于E、F，则AD′=EF，BE=CF，于是

　=△ABC-△ADC=△ABC-△AD′C

　=

　=

　=cosB2sinB=2sin2B2．

　故当时，有最大值2．

　例2 如图（2），在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N使∠MCN=45°，记AM=m，MN= x，BN=n,则以x、?m?、n?为边长的三角形的形状是（ ）

　锐角三角形；

　直角三角形；

　钝角三角形；

　随x、?m?、?n变化而变化．

　分析：（1）要判断以x、?m?、?n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段

　长集中到同一个三角形中．

　（2）如何利用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°．

　（3）为将长为x、?m?、?n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM对折（如图）这样可将m?、x两条线段集中，再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、?m?、?n的三条线段就集中到了△PMN中．

　 由∠ACM+∠BCN=45°，

　∠PCM+∠PCN=45°，

　∴∠BCN = ∠PCN

　可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n ．

　∴∠MPC=∠A=45°

　∠NPC=∠B=45°

　∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°．

　∴以x、?m?、?n为边长的三角形的形状是直角三角形．

　提示 ：当要证的结论需要集中某些线段，且图形中出现了等角或角的平分线等条件时，可考虑对折构造．

　二平移法

　“平移法”即平移变换法．顾名思义，其具体做法就是过某点作某线段或某直线的平行线，利用平行线性质——同位角相等、内错角相等，或利用平行四边形诸性质，把有关元素集中起来．

　例3 如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与 BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°．求证：AC=MN．

　分析：由已知条件知：MN=（AD+BC），要证AC=MN，只需证AC=（AD+BC）.因此，可将上底AD移至下底所在的直线上，与BC相加，即过点D作DE∥AC 交BC的延长线于E，则可得∠BDE=∠BOC=90°，这样就可以将问题转化为解一锐角是30°的直角三角形的问题．

　 例4 如图（4），已知三角形ABC的两边AB、AC上的中线分别为BD、CE，若BD=CE．求证：AB=AC．

　分析：已知的两条相等的中线在图中交叉摆着，我们试把它安排在一个三角形中就比较好考虑，于是设想把其中的一条中位线CE平行移动到DF位置，这样就成了一个等腰三角形DBF，立即得到∠1=∠F=∠2，从而得到GB=GC，GD=GE．要证BE=CD就简单了．

　三旋转法

　“在欧氏平面上把一点P绕一定点旋转一定角变到另一点P′，如此产生的变换叫做旋转变换，简称旋转．此定点叫做旋转中心，定角叫做旋转角．”旋转后的图形与原来的图形全等．用这种想象来启示我们去作辅助线．这种方法能够集中条件，扩大已知，图形之间易于联络，呼应，达到较顺利论证的目的．

　旋转要利用角或边的相等，因此在正三角形、正方形、正多边形应用较常见．

　例5 如图（5）,在正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分别在AD和DC上．求证：EF=AE+FC．

　分析：因为要证明EF=AE+FC，可设想将AE、FC放在同一直线上，再与EF比较．而已知条件给了正方形，即各边相等，四个角是直角，于是，可尝试把Rt△BCF（或Rt△BAE）以B为中心逆时针（或顺时针）旋转90°．可得：Rt△ABF′≌Rt△CBF，则BF′=BF，AF′=CF，∠1=∠2．

　则：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠EBF=45°

　所以∠EBF′=∠EBF，而BE是公共边，故△BEF′≌△BEF，则EF=EF′=AE+AF′=AE+FC，即可得证．

　例6 如图（6），在等边△ABC外取一点P，如果PA=PB+PC，那么P、A、B、C四点共圆．

　分析：在四点共圆的判断中，其中有一条是”对角互补的四边形内接于圆” ．因此，可尝试∠BPC+∠BAC是否等于180°．而题目中给了条件△ABC是等边三角形，即三边相等，三

　个角都是60°，可设想把△BPC以点C为中心按顺时针旋转60°，可得△AP′C≌△BPC，则

　PB=P′A，PC=P′C，∠A P′C=∠BPC，而∠PCP′=60°，故△PCP′是等边三角形，则∠1=60°， PP′=PC，

　∵PA= PB+PC

　∴PA= P′A+ PP′

　∵A、P′、P三点共线

　∴∠A P′C+∠1=180°

　又∵∠BAC=60°=∠1

　∴∠BPC+∠BAC=180°

　故P、A、B、C四点共圆． 图（6）

　四 位似法（放缩法）

　如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形就叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比．

　位似变换的设想，是把其中的一个图形（它经常是某一线段）看成是由另一个图形按位似比放大或缩小而得的．把欲证的线段变为易证的线段，或者通过扩大或缩小，让有关线段组成一个新的图形．比较多的是遇到“中点”、“三等分点”、“内、外分线段成某比”等题设时，用位似扩大或缩小法集中条件，而后加以论证．

　例7 如图（7），ABCD为任意四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，M、N分别为对角线BD、AC的中点．

　求证：EG、HF同过MN的中点．

　分析：欲证的三条线段在图中的关系不甚 “密切”，我们试图把它们安排得较易联系一些，由于题中很多中点，随便选择一个顶点比如A作位似中心，按位似比K==把边BC缩小，自然就要连EN，得到ENBC，用相同的办法就组成了一个易于思考的平行四边形了．

　例8 三个等圆O、O、O相交于点S，位于已知三角形ABC内，每个圆与△ABC两边相切．证明：△ABC的内心I、外心O与点S共线．

　分析：这个问题直接论证是比较困难的，因为不容易一下子抓住O、S、I之间的联系，但从图形的直观上看△有可能与△ABC位似．事实上，易知，

　∥，∥，∥，

　所以== （为内心，即、、之交点）．

　于是由知S为△之外心，即S与O为位似变换下的对应点，故I、O、S共线．

　五 其他构造法

　当我们按照某种既定的思路解题时，有时必须用到某种图形，而这种图形并未在原图中出现，这时就要构造这种图形来使证题顺利进行．构造、补全基本图形也是作出辅助线的基本方法，它是出于对几何图形整体的把握作出辅助线的．许多常见的辅助线（如等边三角形、直角三角形、正方形，两圆相交时的公共弦、连心线、圆的切线问题中过切点的半径等）都体现了这种想法．

　例9 如图，点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，CE=CA，F是AE的中点．求证：BF⊥FD．

　分析一：如图（9-1），由题意知 CE=CA，F为AE的中点重要条件，立即联想到三线合一的基本图形．于是连CF，有CF⊥AE．

　这样，这了证明DF⊥BF，只要证明∠1=∠3．

　另一方面，注意到Rt△ABE中构成的”斜边上中线”的基本图形，立即有AF=BF，∠4=∠5．

　因此，只要证明出△AFD≌△BFC就可推出了∠1=∠3了．（证明略）

　分析二：如图（9-2），注意到F是AE的中点的条件和要证的BF⊥FD的结论，还可以构造如下的三线合一的基本图形．

　延长BF交DA的延长线于G，连BG．容易看出△BFE≌△GFA，于是F是BG的中点．这样，要证明BF⊥FD，只要证明DB=DG就可以了．

　∵ABCD是矩形，∴BD=AC

　又由已知：CE=CA

　∴只需证出DG=CE

　而这是很容易证的（证明略）．

　例10 如图（10），在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．求证：．

　分析：（1）所求证的关系为平方形式，联想到构造直三角形运用勾股定理求证即可，因为∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角形△BCE，则可以得到∠ABE=90°，BC=BE，可将转化为Rt△ABE中．这样只需证明AE=BD即可．

　（2）由∠ADC=60°，AD=CD，连AC，则△ADC为等边三角形，易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD．（证明略）

　几何辅助线的用途很广，虽然几何题目千差万别，证明方法多种多样，辅助线也因题而异．但“一切客观事物本来是互相联系和具有内部规律的”.“运用之妙，存乎一心”，不管问题有多么复杂，只要我们多去总结和归纳，亦可水到渠成，迎刃而解．

　参考文献：

　[1]刘善贵.怎样添置辅助线新编[M].北京:冶金工业出版社,1999,8,1.

　[2]张乃达.初中几何解题新思路[M].长春出版社,2001,6

　[3]欧阳维诚.初等数学解题方法研究[M].湖南教育出版社,1998，11.

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