安徽省合肥市瑶海区2019年中考二模数学试题,,含解析,,Word版 2019年合肥市瑶海区二模统考卷

　 2019年安徽省合肥市瑶海区中考数学二模试卷

　一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

　1．（4分）下列各数中，比0小的是（　　）

　A． B．﹣（﹣1） C．|﹣1| D．﹣2019

　2．（4分）据报道，2019年参加全国硕士研究生考试的人数约有260万人．其中，“260万”用科学记数法可表示为（　　）

　A．26×108 B．2.6×106 C．0.26×108 D．260×104

　3．（4分）计算（﹣3a3）2的结果是（　　）

　A．﹣3a6 B．3a6 C．﹣9a6 D．9a6

　4．（4分）下图中的几何体的左视图是（　　）

　A． B． C． D．

　5．（4分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则代数式a+b+c的值为（　　）

　A．22 B．41 C．50 D．51

　6．（4分）整数n满足n﹣1＜3＜n，则n的值为（　　）

　A．7 B．8 C．9 D．10

　7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（　　）

　A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°

　8．（4分）抽查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产10个乒乓球直径的长度（规格为直径40mm），整理的平均数（单位：mm）分别为39.96、40.05、39.96、40.05；方差（单位：mm2）分别为：0.36、1.12、0.20、0.5．这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是（　　）

　A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

　9．（4分）甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（　　）

　A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时

　10．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M为曲线部分的最低点下列说法错误的是（　　）

　A．△ABC是等腰三角形 B．AC边上的高为4

　 C．△ABC的周长为16 D．△ABC的面积为10

　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

　11．（5分）化简：﹣＝　

　 　．

　12．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则字母m的最大整数值为　

　 　．

　13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以

　EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为　

　 　．

　14．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为　

　 　cm．

　三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

　15．（8分）先化简，再求值：，其中x+y＝﹣3．

　16．（8分）互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．

　（1）求平均每年增长率；

　（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：≈1.414）

　四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

　17．（8分）在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B、C的坐标分别为（2，1）（5，0）（1，0）．

　（1）求证：△OAC∽△OBA；

　（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合，使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标．

　18．（8分）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．

　（1）请你再写出两组勾股数：（　

　 　），（　

　 　）；

　（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．

　五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

　19．（10分）为开发大西北，某工程队承接高铁修筑任务，在山坡处需要修建隧道，为了测量隧道的长度，工程队用无人机在距地面高度为500米的C处测得山坡南北两端A、B的俯角分别为∠DCA＝45°、∠DCB＝30°（已知A、B、C三点在同一平面上），求隧道两端A、B的距离．（参考数据：≈1.73）

　20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．

　（1）求k的值；

　（2）M（，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．

　六、（本题满分12分）

　21．（12分）某校为了解学生每月零用钱情况，从七、八、九年级1200名学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图表：

　组别

　零用钱支出x（单位：元）

　频数（人数）

　频率

　节俭型

　x＜10

　2

　0.05

　10≤x＜20

　4

　0.10

　富足型

　20≤x＜30

　12

　30≤x＜40

　m

　奢侈型

　40≤x＜50

　n

　x≥50

　2

　请根据图表中所给的信息，解答下列问题：

　（1）在这次调查中共随机抽取了　

　 　名学生，图表中的m＝　

　 　，n＝　

　 　；

　（2）请估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数；

　（3）在抽样的“节俭型”学生中，有2位男生和4位女生，校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动，求恰好抽中一男一女的概率．

　七、（本题满分12分）

　22．（12分）我国为了实现到2020年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．

　（1）请求出k、b的值．

　（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．

　（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w（万元）的范围．

　八、（本题满分14分）

　23．（14分）如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°．设∠ABC＝α．

　（1）利用尺规，以CD为边在四边形内部作等边△CDE．（保留作图痕迹，不需要写作法）

　（2）连接AE，判断四边形ABCE的形状，并说明理由．

　（3）求证：∠ADC＝α；

　（4）若CD＝6，取CD的中点F，连结AF，当∠ABC等于多少度时，AF最大，最大值为多少．（直接写出答案，不需要说明理由）．

　2019年安徽省合肥市瑶海区中考数学二模试卷

　参考答案与试题解析

　一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

　1．（4分）下列各数中，比0小的是（　　）

　A． B．﹣（﹣1） C．|﹣1| D．﹣2019

　【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

　【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得

　﹣2019＜0＜＜﹣（﹣1）＝|﹣1|，

　∴各数中比0小的是﹣2019．

　故选：D．

　【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

　2．（4分）据报道，2019年参加全国硕士研究生考试的人数约有260万人．其中，“260万”用科学记数法可表示为（　　）

　A．26×108 B．2.6×106 C．0.26×108 D．260×104

　【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

　【解答】解：“260万”用科学记数法可表示为2.6×106，

　故选：B．

　【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

　3．（4分）计算（﹣3a3）2的结果是（　　）

　A．﹣3a6 B．3a6 C．﹣9a6 D．9a6

　【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．

　【解答】解：（﹣3a3）2＝9a6，

　故选：D．

　【点评】本题考查了对积的乘方和幂的乘方法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力，注意：①积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，②幂的乘方，底数不变，指数相乘．

　4．（4分）下图中的几何体的左视图是（　　）

　A． B． C． D．

　【分析】根据左视图是从左面看到的图象判定则可．

　【解答】解：从左面看从左往右的正方形个数分别为2，1．

　故选：B．

　【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

　5．（4分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则代数式a+b+c的值为（　　）

　A．22 B．41 C．50 D．51

　【分析】根据题目中的数据可知，a、b、c分别为上一行中左上角和右上角的数字之和，从而可以求得所求式子的值．

　【解答】解：由图可得，

　a＝1+5＝6，b＝5+10＝15，c＝10+10＝20，

　∴a+b+c＝6+15+20＝41，

　故选：B．

　【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a、b、c的值．

　6．（4分）整数n满足n﹣1＜3＜n，则n的值为（　　）

　A．7 B．8 C．9 D．10

　【分析】根据36＜45＜49，得出的取值范围，即可确定n的值．

　【解答】解：∵3＝，且36＜45＜49，

　∴6＜＝3＜7，

　∴n＝7，

　故选：A．

　【点评】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．

　7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（　　）

　A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°

　【分析】因为∠COD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解决问题．

　【解答】解：∵CD切⊙O于C，

　∴OC⊥CD，

　∴∠OCD＝90°，

　∵CO＝CD，

　∴∠COD＝∠D＝45°，

　∵OA＝CO，

　∴∠OAC＝∠OCA，

　∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，

　∴∠A＝22.5°．

　故选：C．

　【点评】本题考查切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握这些性质是解决问题的关键．

　8．（4分）抽查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产10个乒乓球直径的长度（规格为直径40mm），整理的平均数（单位：mm）分别为39.96、40.05、39.96、40.05；方差（单位：mm2）分别为：0.36、1.12、0.20、0.5．这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是（　　）

　A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

　【分析】先比较出平均数，再根据方差的意义即可得出答案．

　【解答】解：∵甲、乙、丙、丁的平均数（单位：mm）分别为39.96、40.05、39.96、40.05，

　∴甲和丙比较标准，

　∵甲、乙、丙、丁的方差（单位：mm2）是0.36、1.12、0.20、0.5，

　∴0.20＜0.36＜0.5＜1.12，

　∴这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是丙；

　故选：C．

　【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

　9．（4分）甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（　　）

　A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时

　【分析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是．根据根据“提前6小时完成任务”列出方程并解答．

　【解答】解：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，

　依题意得：+＝1，

　整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，

　解得：x＝12，

　经检验，x＝12是所列分式方程的解，

　即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；

　故选：C．

　【点评】本题考查了分式方程的应用、分式方程的解法；设出未知数表示出甲和乙的工作效率，列出分式方程是解题的关键．

　10．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象，其中M为曲线部分的最低点下列说法错误的是（　　）

　A．△ABC是等腰三角形 B．AC边上的高为4

　 C．△ABC的周长为16 D．△ABC的面积为10

　【分析】由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．作AC边上的高BD＝4，即能求得AD＝CD＝3，即AC＝6，再求得△ABC面积．

　【解答】解：由图1看到，点P从B运动到A的过程中，y＝BP先从0开始增大，到达点C时达到最大，对应图2可得此时y＝5，即BC＝5；点P从C运动到A的过程中，y＝BP先减小，到达BP⊥AC时达到最小，对应图2可得此时BP＝4；而后BP又开始增大，到达点A时达到最大y＝5，即BA＝5，所以△ABC为等腰三角形．

　由图形和图象可得BC＝BA＝5，BP⊥AC时，BP＝4

　过点B作BD⊥AC于D，则BD＝4

　∴AD＝CD＝，

　∴AC＝6，

　∴△ABC的周长为：5+5+6＝16，

　∴S△ABC＝AC•BD＝×6×4＝12

　故选项A、B、C正确，选项D错误．

　故选：D．

　【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．

　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

　11．（5分）化简：﹣＝　　．

　【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．

　【解答】解：原式＝2﹣

　＝．

　故答案为：．

　【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．

　12．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则字母m的最大整数值为　3　．

　【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4m＞0，再解不等式得到m的范围，然后在求出范围内确定最大整数即可．

　【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4m＞0，

　解得m＜4，

　所以字母m的最大整数值为3．

　故答案为3．

　【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

　13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为　π　．

　【分析】连接OG，DF，根据勾股定理分别求出DF、EF，证明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，得到∠GOE＝90°，根据弧长公式计算即可．

　【解答】解：连接OG，DF，

　∵BC＝2，E为BC的中点，

　∴BE＝EC＝1，

　∵AB＝3，AF＝1，

　∴BF＝2，

　由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，

　∴DF＝EF，

　在Rt△DAF和Rt△FBE中，

　，

　∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）

　∴∠ADF＝∠BFE，

　∵∠ADF+∠AFD＝90°，

　∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，

　∵FD＝FE，

　∴∠FED＝45°，

　∵OG＝OE，

　∴∠GOE＝90°，

　∴劣弧的长＝＝π，

　故答案为：π．

　【点评】本题考查的是弧长的计算、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．

　14．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P为边AC上一点，且AP＝5cm．点Q为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为　或4　cm．

　【分析】由对称可知AP＝A'P，AQ＝A'Q，由勾股定理可计算A'C，A'P，作A'H⊥AB构造直角三角形，用勾股定理列方程组即可计算AQ的长．

　【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，

　∴BC＝6cm，

　①若点A'落在BC上，如图：

　点A关于直线PQ的对称点A'，

　∵点A关于直线PQ的对称点A'，

　∴A'Q＝AQ，AP＝A'P，

　∵AP＝5，

　∴PC＝3，A'C＝4，A'B＝2，

　∴A'A＝4，

　作A'H垂直AB，由勾股定理可得：

　，

　设AQ＝AQ'＝x，BH＝y，

　∴，

　解得：，

　故AQ的长为．

　②若点A'落在AB上，如图：

　∵点A关于直线PQ的对称点A'，

　∴PQ⊥AB，

　∴△APQ～△ABC，

　∴，

　∴，

　∴AQ＝4．

　综上所述：若点A关于直线PQ的对称点A'恰好落在△ABC的边上，则AQ的长为或4cm．

　故答案为或4．．

　【点评】本题考查了轴对称的性质和勾股定理的应用，常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

　三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

　15．（8分）先化简，再求值：，其中x+y＝﹣3．

　【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将x+y的值代入化简后的式子即可解答本题．

　【解答】解：

　＝

　＝（x+y）2，

　当x+y＝﹣3时，原式＝（﹣3）2＝9．

　【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意分式化简求值的方法．

　16．（8分）互联网给生活带来极大的方便据报道，2016底全球支付宝用户数为4.5亿，2018年底达到9亿．

　（1）求平均每年增长率；

　（2）据此速度，2020底全球支付宝用户数是否会超过17亿？请说明理由．（参考数据：≈1.414）

　【分析】（1）设平均每年增长率为x，根据2016年底及2018年底全球支付宝用户数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

　（2）根据2020年底全球支付宝用户数＝2018年底全球支付宝用户数×（1+增长率）2，即可求出2020年底全球支付宝用户数，将其与17亿比较后即可得出结论．

　【解答】解：（1）设平均每年增长率为x，

　依题意，得：4.5（1+x）2＝9，

　解得：x1＝0.414＝41.4%，x2＝﹣2.414（舍去）．

　答：平均每年增长率为41.4%．

　（2）9×（1+41.4%）2≈17.995（亿）．

　∵17.995＞17，

　∴2020底全球支付宝用户数会超过17亿．

　【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

　四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

　17．（8分）在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B、C的坐标分别为（2，1）（5，0）（1，0）．

　（1）求证：△OAC∽△OBA；

　（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合，使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点

　D的坐标．

　【分析】（1）根据勾股定理得到OA＝＝，OC＝1，OB＝5，求得，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

　（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

　【解答】解：（1）∵OA＝＝，OC＝1，OB＝5，

　∴＝，＝，

　∴，

　∵∠AOC＝∠BOA，

　∴△OAC∽△OBA；

　（2）如图所示，△OAD即为所求，D（﹣3，1）．

　【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，正确的作出图形是解题的关键．

　18．（8分）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．

　（1）请你再写出两组勾股数：（　6，8，10　），（　9，12，15　）；

　（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．

　【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；

　（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．

　【解答】解：（1）请你再写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15），

　故答案为：6，8，10；9，12，15；

　（2）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2

　＝4n2+n4﹣2n2+1

　＝n4+2n2+1

　＝（n2+1）2

　＝z2，

　即x，y，z为勾股数．

　【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．

　五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

　19．（10分）为开发大西北，某工程队承接高铁修筑任务，在山坡处需要修建隧道，为了测量隧道的长度，工程队用无人机在距地面高度为500米的C处测得山坡南北两端A、B的俯角分别为∠DCA＝45°、∠DCB＝30°（已知A、B、C三点在同一平面上），求隧道两端A、B的距离．（参考数据：≈1.73）

　【分析】作CM⊥AB于M，根据题意得出∠CAM＝∠DCA＝45°，∠CBM＝∠DCB＝30°，CM＝50﹣米，得出AM＝CM＝500米，BM＝500千米，即可得出结果．

　【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：

　根据题意得：∠CAM＝∠DCA＝45°，∠CBM＝∠DCB＝30°，CM＝500米，

　则AM＝CM＝500米，BM＝CM＝500千米，

　则AB＝BM﹣AM＝（500﹣500）千米≈366千米；

　答：钓鱼岛南北两端A、B的距离约为366千米．

　【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣俯角；根据题意得出AM和BM的长是解题关键．

　20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．

　（1）求k的值；

　（2）M（，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．

　【分析】（1）将点P坐标代入两个解析式可求m，k的值；

　（2）根据反比例函数图象性质可求解．

　【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．

　∴

　∴m＝1，k＝2；

　（2）∵k＝2，

　∴双曲线每个分支上y随x的增大而减小，

　当N在第一象限时，

　∵a＞b

　∴n＞，

　当N在第三象限时，

　∴n＜0

　综上所述：n＞或n＜0．

　【点评】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，函数图象的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．

　六、（本题满分12分）

　21．（12分）某校为了解学生每月零用钱情况，从七、八、九年级1200名学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图表：

　组别

　零用钱支出x（单位：元）

　频数（人数）

　频率

　节俭型

　x＜10

　2

　0.05

　10≤x＜20

　4

　0.10

　富足型

　20≤x＜30

　12

　30≤x＜40

　m

　奢侈型

　40≤x＜50

　n

　x≥50

　2

　请根据图表中所给的信息，解答下列问题：

　（1）在这次调查中共随机抽取了　40　名学生，图表中的m＝　16　，n＝　4　；

　（2）请估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数；

　（3）在抽样的“节俭型”学生中，有2位男生和4位女生，校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动，求恰好抽中一男一女的概率．

　【分析】（1）由x＜10的人数及其频率可得总人数，总人数乘以20≤x＜40的百分比，再减去20≤x＜30的人数即可得m的值，同理计算出n的值；

　（2）总人数乘以“30≤x＜40范围的学生人数对应比例；

　（3）列表得出所有等可能结果数，再利用概率公式计算可得．

　【解答】解：（1）本次调查的总人数为2÷0.05＝40（人），

　m＝40×（1﹣15%+15%）﹣12＝16，n＝40×15%﹣2＝4，

　故答案为：40、12、4；

　（2）估计该校今年4月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数约为1200×＝480（人）；

　（3）列表如下：

　男

　男

　女

　女

　女

　女

　男

　（男，男）

　（女，男）

　（女，男）

　（女，男）

　（女，男）

　男

　（男，男）

　（女，男）

　（女，男）

　（女，男）

　（女，男）

　女

　（男，女）

　（男，女）

　（女，女）

　（女，女）

　（女，女）

　女

　（男，女）

　（男，女）

　（女，女）

　（女，女）

　（女，女）

　女

　（男，女）

　（男，女）

　（女，女）

　（女，女）

　（女，女）

　女

　（男，女）

　（男，女）

　（女，女）

　（女，女）

　（女，女）

　所以恰好抽中一男一女的概率为＝．

　【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据B组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口．

　七、（本题满分12分）

　22．（12分）我国为了实现到2020年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万个）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，据统计当售价定为30元/个时，每月销售40万个，当售价定为35元/个时，每月销售30万个．

　（1）请求出k、b的值．

　（2）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．

　（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在25≤x≤36元之间，求该小型企业每月获得利润w（万元）的范围．

　【分析】（1）待定系数法求出k和b的值即可；

　（2）利用（售价﹣成本）乘以销售量等于利润可列式求解；

　（3）根据二次函数的顶点值，及顶点左右两侧增减变化的性质来求解即可．

　【解答】解：（1）由题意得：，

　解得．

　答：k的值为﹣2，b的值为100．

　（2）由题意得w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，

　答：函数解析式为：w＝﹣2x2+136x﹣1800．

　（3）∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，

　∴当x＝34时，w取最大值，最大值为512；

　当x＜34时，w随着x的增大而增大；

　当x＞34时，w随着x的增大而减小．

　∵当x＝25时，

　w＝﹣2×252+136×25﹣1800＝350；

　当x＝36时，

　w＝﹣2×362+136×36﹣1800＝504．

　综上，w的范围为350≤w≤512．

　答：该小型企业每月获得利润w（万元）的范围是350≤w≤512．

　【点评】本题属于二次函数的应用题，解题时需要明确利润与成本及销量的关系，求符合要求的值时需要结合二次函数对称轴左右两侧函数值的变化性质综合考虑求解．

　八、（本题满分14分）

　23．（14分）如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°．设∠ABC＝α．

　（1）利用尺规，以CD为边在四边形内部作等边△CDE．（保留作图痕迹，不需要写作法）

　（2）连接AE，判断四边形ABCE的形状，并说明理由．

　（3）求证：∠ADC＝α；

　（4）若CD＝6，取CD的中点F，连结AF，当∠ABC等于多少度时，AF最大，最大值为多少．（直接写出答案，不需要说明理由）．

　【分析】（1）①分别以C、D为圆心，以CD从为半径画弧，两弧交于点E，②连接DE、CE，△CDE即为所求；

　（2）由等边三角形的性质得出∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝CD，得出AB＝CE，∠ABC+∠BCE＝180°，证出AB∥CE，得出四边形ABCE是平行四边形，即可得出结论；

　（3）连接AC，由菱形的性质得出AE＝CE＝DE，∠ABC＝∠AEC，得出点E是△ACD的外接圆圆心，由圆周角定理得出∠AEC＝2∠ADC，即可得出结论；

　（4）当A、E、F三点共线时，AF的值最大＝AE+EF，由等边三角形的性质和勾股定理求出EF＝DF＝3，得出AF＝AE+EF＝6+3，求出∠ADC＝75°，由（3）得：∠ABC＝2∠ADC＝150°即可．

　【解答】（1）解：如图1所示：

　①分别以C、D为圆心，以CD从为半径画弧，两弧交于点E，

　②连接DE、CE，

　△CDE即为所求；

　（2）解：如图2所示：

　四边形ABCE是菱形；理由如下：

　∵△CDE是等边三角形，

　∴∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝CD，

　∵AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°，

　∴AB＝CE，∠ABC+∠BCE＝240°﹣60°＝180°，

　∴AB∥CE，

　∴四边形ABCE是平行四边形，

　∵AB＝BC，

　∴四边形ABCE是菱形；

　（3）证明：连接AC，如图3所示：

　∵四边形ABCE是菱形，

　∴AE＝CE＝DE，∠ABC＝∠AEC，

　∴点E是△ACD的外接圆圆心，

　∴∠AEC＝2∠ADC，

　∴∠ABC＝2∠ADC，

　∴∠ADC＝α；

　（4）解：如图4所示：

　当A、E、F三点共线时，AF的值最大＝AE+EF，

　∵△CDE是等边三角形，F是D的中点，

　∴EF⊥CD，DF＝3，∠DEF＝∠CED＝30°，

　∴EF＝DF＝3，

　∴AF＝AE+EF＝6+3，

　由（2）得：AE＝CE＝CD＝DE＝6，

　∴∠EAD＝∠EDA＝∠DEF＝15°，

　∴∠ADC＝15°+60°＝75°，

　由（3）得：∠ABC＝2∠ADC＝150°，

　∴当∠ABC等于150°时，AF最大，最大值为6+3．

　【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的判定、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理，证明四边形ABCE是菱形是解题的关键．