高考卷,普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析 第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）“”是“”的（　　）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】：A 【分析】：由可得,可得到,但得不到.故选A. （2）若函数，（其中，）
的最小正周期是，且，则（ ）
A． B． C． D． 【答案】：D 【分析】：由由 故选D. （3）直线关于直线对称的直线方程是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：D 【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y) 在直线上,化简得故选答案D. 解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D, 再根据两直线交点在直线选答案D. （4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米 的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】B 【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π， 正方形面积为256,故至少三个龙头。

由于，故三个龙头肯定不能 保证整个草坪能喷洒到水。当用四个 龙头时，可将正方形均分四个小正方形， 同时将四个龙头分别放在它们的中心， 由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水。

（5）已知随机变量服从正态分布， ，则（ ）
A． B． C． D， 【答案】：A 【分析】：由又 故选A. （6）若两条异面直线外的任意一点，则（　　）
Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行 Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直 Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交 Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面 【答案】：B 【分析】：设过点P的直线为，若与l、m都平行， 则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。

由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与 公垂线平行的直线只有一条，故B正确。

对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m; 若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。

若P在P2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。

（7）若非零向量满足，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：C 【分析】：
由于是非零向量，则必有故上式中等号不成立 。

∴。故选C. （8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． 【答案】：D 【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。

（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【答案】：B 【分析】：设准线与x轴交于A点. 在中, , 又 , 化简得 , 故选答案B （10）设是二次函数，若的值域是， 则的值域是（ ）
A． B． C． D． 【答案】：C 【分析】：要的值域是，则又是二次函数， 定义域连续，故不可能同时结合选项只能选C. 第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）已知复数，，则复数 ． 【答案】：
【分析】：
（12）已知，且，则的值是 ． 【答案】：
【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。∵ ∴两边平方得：
，即，∴ . （13）不等式的解集是 ． 【答案】：
【分析】：
（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种. 小张用10元钱买杂志 （每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． 【答案】：266 【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有 ②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有 故210+56=266. （15）随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若则的值是 ． 【答案】：
【分析】：成等差数列，有 联立三式得 （16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是 ． 【答案】：
【分析】：设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只 有作于H, 则面,故为. （17）设为实数，若， 则的取值范围是 ． 【答案】：
【分析】：作图易知,设若不成立; 故当且斜率大于等于时方成立. 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （18）（本题14分）已知的周长为， 且． （I）求边的长；

（II）若的面积为，求角的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得， ， 两式相减，得． （II）由的面积，得， 由余弦定理，得
， 所以． （第19题）
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面， 平面，， 且，是的中点． （I）求证：；

（II）求与平面所成的角． 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识， 同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：
（I）证明：因为，是的中点， 所以． 又平面， 所以． （II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点， 连结，．是直线和平面所成的角． 因为平面， 所以， 又因为平面， 所以， 则平面，因此． 设，， 在直角梯形中， ，是的中点， 所以，，， 得是直角三角形，其中， 所以． 在中，， 所以， 故与平面所成的角是． 方法二：
如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的 直线为轴，建立直角坐标系，设，则，， ．，． （I）证明：因为，， 所以， 故． （II）解：设向量与平面垂直，则，， 即，． 因为，， 所以，， 即， ， 直线与平面所成的角是与夹角的余角， 所以， 因此直线与平面所成的角是． （第20题）
（20）（本题14分）如图，直线与椭圆 交于两点，记的面积为． （I）求在，的条件下，的最大值；

（II）当，时，求直线的方程． 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分． （Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为， 由，解得， 所以． 当且仅当时，取到最大值． （Ⅱ）解：由 得，， ． ② 设到的距离为，则， 又因为， 所以，代入②式并整理，得 ， 解得，，代入①式检验，， 故直线的方程是 或或，或． （21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的 方程的两个根，且． （I）求， ，，；

（II）求数列的前项和；

（Ⅲ）记， ， 求证：． 本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分． （I）解：方程的两个根为，， 当时，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以时；

当时，，，所以． （II）解：
． （III）证明：， 所以， ．当时， ， ， 同时， ． 综上，当时，． （22）（本题15分）设，对任意实数，记． （I）求函数的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（Ⅲ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立． 本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识， 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． （I）解：．由，得． 因为当时，， 当时，， 当时，， 故所求函数的单调递增区间是，， 单调递减区间是． （II）证明：（i）方法一：
令，则， 当时，由，得， 当时，， 所以在内的最小值是． 故当时，对任意正实数成立． 方法二：
对任意固定的，令，则， 由，得． 当时，． 当时，， 所以当时，取得最大值． 因此当时，对任意正实数成立． （ii）方法一：
． 由（i）得，对任意正实数成立． 即存在正实数，使得对任意正实数成立． 下面证明的唯一性：
当，，时， ，， 由（i）得，， 再取，得， 所以， 即时，不满足对任意都成立． 故有且仅有一个正实数， 使得对任意正实数成立． 方法二：对任意，， 因为关于的最大值是，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是：
， 即， ① 又因为，不等式①成立的充分必要条件是， 所以有且仅有一个正实数， 使得对任意正实数成立．