初中数学背景知识33 立体几何探源素材 人教新课标版

　用心 爱心 专心

　立体几何探源

　我国古代劳动人民在筑城、堤，挖沟、渠，建仓、囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出一套有关体积、容积计算的方法。这些算法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》卷五中，题为“商功”。实质上，这些算法的原理是建立一条公理和一组特殊的模型，用以计算各种几何体的体积。

　请看下面一组几何体模型：

　设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则它的体积 V= a×b×c，这是一条公理。注意，长方体一般是每个面都为矩形的平行六面体，我国古代称之为“长方”。剖分“长方”，得两个“堑堵”；部分“堑堵”，得一个“阳马”和一个“”。这一组模型的外形割补关系，如图一目了然。它们的体积数量关系依次成6：3：2：1；其中最关键的是“阳马”与“”体积之比为2：1。我们暂且把这个关键问题搁置起来，先看几例，如何用这一组模型来计算其他几何体体积。

　例1 如图2，求平行六面体体积。

　 将平行六面体右端截下一个堑堵，补到左端，使其成为长方，即可。

　或者将平行六面体两端分别截下一个堑堵。其体积数为两个堑堵加一个长方，也行。

　例2 如图3，求棱台体积。

　将棱台截成中央成长方，四边成堑堵，四角成阳马，即可。

　例3 如图4，求圆锥体积。

　作一个外切棱锥，将棱锥底面正方形，从四角开始，切成圆锥底面圆的外场正8边形，正16边形……相应地从四棱锥上不断地截下一系列，将这些体积累加起来，从四棱锥体积中减去，即可。而四棱锥可截成四个阳马来计算体积。

　仅此，我们可以看出这组模型在几何体体积计算中的作用，只需我们作适当的分割。

　关于“阳马”与“”体积之比为2：1，也可以用分割的方法加以证明。这个证明，是我国魏晋时代著名数学家刘徽给出的，他用正方形分割的阳马、为例，其他情形如法炮制。

　如图5，设阳马为黑色，为红色，它们的长、宽、高均为2尺。·刘徽的论证过程如下：

　第一步，组合。黑阳马与红组合成长、宽、高各2尺的黑一红堑堵。

　第二步，分割。用平分黑一红堑堵长、宽、高的平面，分割黑一红堑堵。则黑阳马含1个小立方，2个小堑绪和2个小阳马，它们长、宽、高均为1尺；红含2个小堑绪和2个小，它们的长、宽、高也是1尺。

　第三步，组合。用第二步分割出来的模型进行组合成小立方，其中黑小立方1个，黑小堑堵合成的小立方1个，红小堑堵合成的小立方1个，由黑小阳马与红小合成的堑堵2个，又可合成一个黑一红小立方1个，共4个小立方。

　取出黑小立方2个，红小立方1个，它们体积之和占总体积的3/4，而黑、红体积之比为2：1。余下黑一红小堑堵2个。

　第四步，分割。分割余下的黑一红小堑堵，方法同第二步。

　第五步，组合。与第三步同。注意：每分割1个黑一红堑堵之后，通过组合可以取出总体积3/4的黑、红小立方，其黑、红体积之比为2：1，并余下2个长、宽、高减半的黑——红小堑堵。

　如此组合，分割，组合，分割……以至“半这弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉。”若将每次取出的黑、红小立方累加起来，即可得：

　刘徽说：“数而求穷之者，谓以情推，不用筹算”。这样无限分割，取其无穷级数和，不仅能证明阳马与体积之比为2：1，也得到阳马、与立方之间的体积关系：若第一次分割的黑红堑堵的长、宽、高为a,或分别为a、b、c，则阳马为，或，而这里a3或abc正好是立方或长方的体积。所以刘徽最后总结说：“非同一般用器，当阳马长短宽窄不一时，若不用，就不能得知阳马的体积，没有阳马就不能计算锥、台之类立体的体积，可见、阳马是体积计算的最基本的立体模型”。