辅助线添加技巧

　 辅助线添加技巧（一）

　“M”型，及其扩展！

　我们学了平行线的性质和判定后，一定会遇到添加辅助线的题目了。这个时候有两个事情我们必须做好。

　一：就是把握什么时候添加辅助线，添加辅助线的目的是什么。

　【我个人认为添加辅助线有2个目的（1）就是集散——将需要的条件集中或者分散开；（2）就是“凸现”——就是通过辅助线将隐藏的条件显现出来！这两个思想都很抽象，我觉得应该从初一培养，多在这两个思想上下功夫。让学生真正的掌握“渔”】

　二：就是亲自演示给学生怎么添加，怎么说！也就是怎么书写过程。这个对中考的考生尤为重要。很多的孩子知道怎么弄，但一到表达上，一到该给别人看了，才发现原来自己写的一塌糊涂！所以我个人认为第二个就是教会学生怎么写这个过程。

　下面我就几个基本模型开始演示

　如图（一）：

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　2011-1-19 17:26

　题目设置一，已知AB∥CD，试探究∠B、∠C和∠E的数量关系。

　解析：如图（二）

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　2011-1-19 17:28

　过E点做直线EF∥AB（已作）

　因为AB∥CD（已知）

　所以EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这个两条直线也互相平行）

　即AB∥CD∥EF

　所以∠B=∠1，∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）

　因为∠BEC=∠1+∠2

　所以∠BEC=∠B+∠C（等量代换）

　即∠E=∠B+∠C

　题目设置二：

　如上图（一）

　已知：∠B+∠C=∠BEC，求证：AB∥CD

　证明：如上图（二）

　过E点做EF∥AB（已作）

　所以∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）

　因为∠BEC=∠1+∠2

　所以∠BEC=∠B+∠2（等量代换）

　因为∠B+∠C=∠BEC（已知）

　所以∠B+∠2=∠B+∠C（等量代换）

　所以∠2=∠C（等式性质）

　所以EF∥CD（内错角相等，两直线平行）

　又EF∥AB

　所以CD∥AB（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这个两条直线也互相平行）

　评价：像这样的题目其实主要是训练刚接触几何的学生的几何细想并训练他们逻辑推理的能力！给出2个问题，旨在让学生知道几何是多变的，条件结论互换是最基本的变法。还有各式各样的变法！所以掌握一题多变，一题多解也是有效训练几何思维的好方法！！

　下面我再给出这个“M”型的基本变式:

　如图：

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　2011-1-20 12:40

　请给出上面三个图中

　∠B、∠C、∠E的数量关系没有学三角形前用这种方式（这个解决M型是通用的，也就是说用它肯定能解决问题）

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　2011-2-8 09:59

　学了三角形后，下面的三种方式都可以！

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　2011-2-8 10:00

　结论：∠B=∠C+∠E

　后面都一样，前面是没有学三角形知识，后面是学了三角形知识！

　没有学三角形

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　2011-2-8 10:30

　学了三角形后

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　2011-2-8 10:30

　结论：∠B+∠E+∠C=2×180°（为什么要这样写呢？大家可先思考，后面会有原因！）

　没有学三角形

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　2011-2-8 10:33

　学了三角形后

　平行线的探究——提高篇

　M型的继续拓展

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　2011-2-8 11:01

　上面图中，已知AB∥CD，则∠B、∠F、∠C和∠E、∠G之间有没有什么固定的数量关系，请做出判断，并证明！

　通过对M型的探究，你能否发现什么规则？试着对下图做出总结！（自己画图看看？n=3、4、5时都是什么样的？）

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　2011-2-8 11:02

　M型基本模型的拓展

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　2011-2-8 11:02

　上图中，AB∥EF，试探究∠B、∠C、∠D、∠E的数量关系

　继续变形

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　2011-2-8 11:03

　图中AA1∥BAn，则∠A1……∠An的数量关系如何？

　(依照上一个探究给出方法试验！)

　M型在构造题的时候是多种多样的！

　下面图中，上下两条线都是平行的，试探究个角的关系！

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　2011-2-8 11:20

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　2011-2-8 11:21

　相信大家通过M型的总结能将这些探究完成！

　? ?

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　2011-2-21 11:29

　在ABC中，AD是BAC内一条射线，BEAD于E，CFAD于F，M是BC的中点，求证：ME=MF

　思路分析：

　这个是个明显的中点题目，中点题目就中考而言不过是三个方向而已！

　当一个图形中，中点的个数有二个或二个以上时，一般考虑用中位线。

　当一个图形中，中点的个数只有一个，一般用中心对称（以中点为中心，将连接中点的线段旋转180°）。也就是很多老师所说的中线倍长

　还有一个是辅助的，就是直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

　难点小注：所谓的难题，不过是将重要的条件，通过一些途径隐藏了。如中点篇中，有的虽然题中只有一个中点，但其实有些中点已经通过等腰三角形、中心对称图形隐藏了！所以平时的总结、积累对做题是非常有益的！（当积累多了，很多的题目都可以从多种思路下手的）

　这个题目只有一个中点M，且这个题目有天然的平行线（BE∥CF），自然入手很直接了，就是中心对称

　证明：延长EM交CF与G，易证△BEM≌△CGM

　则EM=GM

　在RtEFG中，M是RtEFG中点

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　2011-2-21 12:58

　分析：这个题目用最基本的几何证明方法——分析法就可以了。

　这个题目欲证AB=AC，通常考虑方向是①全等；② 等腰三角形。而这个题目中给了∠B=∠C，所以如果把∠B和∠C能放到一个三角形中，利用等腰三角形就可以解决问题。

　主要难点是倒角！

　∠ADB=90°—1/2∠BDC这个条件扮演非常重要的角色！它包含了90°。

　证明：

　延长BD至E，使DE=DC，连接AE（考虑证△ADC≌△ADE）

　作∠BDC的平分线FG交AC于F，交AE于G

　所以∠BDF=∠CDF=1/2∠BDC

　因为∠ADB=90°—1/2∠BDC

　所以∠ADC=90°+1/2∠BDC

　因为∠BDF=∠GDE

　所以∠ADE=90°+1/2∠BDC

　所以易证△ADC≌△ADE

　所以AC=AE

　∠C=∠E

　因为 ∠B=∠E

　所以AB=AE

　所以AB=AC