48,与圆有关压轴题

　与圆有关的压轴题

　 2014 年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市的2014 年中考题展示，以飨读者. 【题 1】（2014 年江苏南京,26 题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O 为△ABC 的内切圆． （1）求⊙O 的半径； （2）点 P 从点 B 沿边 BA 向点 A 以 1cm/s 的速度匀速运动，以 P 为圆心，PB 长为半径作圆，设点 P 运动的时间为 t s，若⊙P 与⊙O 相切，求 t 的值． 【考点】：

　相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 【分析】：

　（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC 得出结论． （2）连接 OC，先证 AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得 PC= ，再由割线定理 PC•PD=PB•PA 求得半径为 4，根据勾股定理求得 AC= ，再证明△AFD∽△ACB，得 ，则可设 FD=x，AF= ，在Rt△AFP 中，求得 DF= ． 【解答】：

　（1）证明：∵DC 2 =CE•CA， ∴ = ， △CDE∽△CAD， ∴∠CDB=∠DBC， ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴BC=CD； （2）解：如图，连接 OC，

　 ∵BC=CD， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AO=CO， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC， ∴ = ， ∵PB=OB，CD= ， ∴ = ∴PC=4

　又∵PC•PD=PB•PA ∴PA=4 也就是半径 OB=4， 在 RT△ACB 中， AC= = =2 ， ∵AB 是直径， ∴∠ADB=∠ACB=90° ∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90° ∵∠BDC=∠CAB ∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90° ∴△AFD∽△ACB

　∴

　在 Rt△AFP 中，设 FD=x，则 AF= ， ∴在 RT△APF 中有， ， 求得 DF= ． 【点评】：

　本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解． 【考点】

　：圆的综合题． 【分析】

　：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r 易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点 D 作 AB 垂线，进一步易得 BD 的长，则 r 1 、r 2 、 易得． 【解答】

　：（1）如图 2，连接 OA、OB、OC、OD． ∵S=S △ AOB +S △ BOC +S △ COD +S △ AOD = + + + = ， ∴r= ． （2）如图 3，过点 D 作 DE⊥AB 于 E， ∵梯形 ABCD 为等腰梯形， ∴AE= = =5， ∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16． 在 Rt△AED 中， ∵AD=13，AE=5， ∴DE=12， ∴DB= =20． ∵S △ ABD = = =126，

　S △ CDB = = =66， ∴ = = = ．

　【点评】

　：本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养． 【考点】：

　圆的综合题 【分析】：

　（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1． （2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O 1 O 2 E 为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN 后对应边成比例整理方程，进而可求 r 的值． （3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其 ，即为半径．由 EC 为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3﹣x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论． ②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论． 【解答】：

　解：（1）方案一中的最大半径为 1． 分析如下：

　因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为

　1．

　（2）

　如图 1，方案二中连接 O 1 ，O 2 ，过 O 1 作 O 1 E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰为⊙O与 AB，BF 的切点． 方案二：

　设半径为 r， 在 Rt△O 1 O 2 E 中， ∵O 1 O 2 =2r，O 1 E=BC=2，O 2 E=AB﹣AO 1 ﹣CO 2 =3﹣2r， ∴（2r）

　2 =2 2 +（3﹣2r）

　2 ， 解得 r= ． 方案三：

　设半径为 r， 在△AOM 和△OFN 中， ， ∴△AOM∽△OFN， ∴ ， ∴ ， 解得 r= ． 比较知，方案三半径较大． （3）方案四：

　①∵EC=x，

　∴新拼图形水平方向跨度为 3﹣x，竖直方向跨度为 2+x． 类似（1），所截出圆的直径最大为 3﹣x 或 2+x 较小的． 1．当 3﹣x＜2+x 时，即当 x＞ 时，r= （3﹣x）； 2．当 3﹣x=2+x 时，即当 x= 时，r= （3﹣ ）= ； 3．当 3﹣x＞2+x 时，即当 x＜ 时，r= （2+x）． ②当 x＞ 时，r= （3﹣x）＜ （3﹣ ）= ； 当 x= 时，r= （3﹣ ）= ； 当 x＜ 时，r= （2+x）＜ （2+ ）= ， ∴方案四，当 x= 时，r 最大为 ． ∵1＜ ＜ ＜ ， ∴方案四时可取的圆桌面积最大． 【点评】：

　本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习． 【考点】：

　圆的综合题． 【分析】：

　（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案； （2）首先得出，∠C 1 A 1 D 1 =60°，再利用 A 1 E=AA 1 ﹣OO 1 ﹣2=t﹣2，求出 t 的值，进而得出 OO 1 =3t 得出答案即可； （3）①当直线 AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为 t 1 ，②当直线 AC 与⊙O第二次相切时，设移动时间为 t 2 ，分别求出即可． 【解答】：

　解：（1）∵l 1 ⊥l 2 ，⊙O 与 l 1 ，l 2 都相切， ∴∠OAD=45°， ∵AB=4 cm，AD=4cm， ∴CD=4 cm，AD=4cm，

　∴tan∠DAC= = = ， ∴∠DAC=60°，[来源:学科网 ZXXK] ∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；

　（2）如图位置二，当 O 1 ，A 1 ，C 1 恰好在同一直线上时，设⊙O 1 与 l 1 的切点为E， 连接 O 1 E，可得 O 1 E=2，O 1 E⊥l 1 ， 在 Rt△A 1 D 1 C 1 中，∵A 1 D 1 =4，C 1 D 1 =4 ， ∴tan∠C 1 A 1 D 1 = ，∴∠C 1 A 1 D 1 =60°， 在 Rt△A 1 O 1 E 中，∠O 1 A 1 E=∠C 1 A 1 D 1 =60°， ∴A 1 E= = ， ∵A 1 E=AA 1 ﹣OO 1 ﹣2=t﹣2， ∴t﹣2= ， ∴t= +2， ∴OO 1 =3t=2 +6； （3）①当直线 AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为 t 1 ， 如图，此时⊙O 移动到⊙O 2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A 2 B 2 C 2 D 2 的位置， 设⊙O 2 与直线 l 1 ，A 2 C 2 分别相切于点 F，G，连接 O 2 F，O 2 G，O 2 A 2 ， ∴O 2 F⊥l 1 ，O 2 G⊥A 2 G 2 ， 由（2）得，∠C 2 A 2 D 2 =60°，∴∠GA 2 F=120°， ∴∠O 2 A 2 F=60°，

　在 Rt△A 2 O 2 F 中，O 2 F=2，∴A 2 F= ， ∵OO 2 =3t，AF=AA 2 +A 2 F=4t 1 + ， ∴4t 1 + ﹣3t 1 =2， ∴t 1 =2﹣ ， ②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t 2 ， 记第一次相切时为位置一，点 O 1 ，A 1 ，C 1 共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t 2 ﹣（ +2）， 解得：t 2 =2+2 ， 综上所述，当 d＜2 时，t 的取值范围是：2﹣ ＜t＜2+2 ． 【点评】：

　此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合 t 的值是解题关键． 【考点】：

　圆的综合题 【分析】：

　（1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°， （2）作 OM⊥AB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点 M 的坐标，利用勾股定理求出 FM 2 ，再求出 FG 2 ，再根据式子写出 b 的范围， （3）当 b=5 时，直线与圆相切，存在点 P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点 P 的坐标， 【解答】：

　解：（1）连接 CD，EA，

　∵DE 是直径，

　∴∠DCE=90°， ∵CO⊥DE，且 DO=EO， ∴∠ODC=OEC=45°， ∴∠CFE=∠ODC=45°， （2）①如图，作 OM⊥AB 点 M，连接 OF，

　∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣ x+b， ∴OM 所在的直线函数式为：y= x， ∴交点 M（ b， b）

　∴OM 2 =（ b）

　2 +（ b）

　2 ， ∵OF=4， ∴FM 2 =OF 2 ﹣OM 2 =4 2 ﹣（ b）

　2 ﹣（ b）

　2 ， ∵FM= FG， ∴FG 2 =4FM 2 =4×[4 2 ﹣（ b）

　2 ﹣（ b）

　2 ]=64﹣ b 2 =64×（1﹣ b 2 ）， ∵直线 AB 与 有两个交点 F、G． ∴4≤b＜5， （3）如图，

　 当 b=5 时，直线与圆相切， ∵DE 是直径，[来源:学科网] ∴∠DCE=90°， ∵CO⊥DE，且 DO=EO， ∴∠ODC=OEC=45°， ∴∠CFE=∠ODC=45°， ∴存在点 P，使∠CPE=45°， 连接 OP， ∵P 是切点， ∴OP⊥AB， ∴OP 所在的直线为：y= x， 又∵AB 所在的直线为：y=﹣ x+5， ∴P（ ， ）． 【点评】：

　本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时 K 的关系．