中考冲刺:几何综合问题(基础)

来源:考研 发布时间:2020-07-25 点击:

冲刺:几何综合问题(基础)
一、选择题
1.(2016•天水)如图,边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′,它们的边B′C′,BC位于同一条直线l上,开始时,点C′与B重合,△ABC固定不动,然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移,移出△ABC外(点B′与C重合)停止,设△A′B′C′平移的距离为x,两个三角形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是(  )
               
A.    B.  C.  D.
2. 如图,将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置(A、D、C、F四点在同一条直线上).直角边DE交BC于点G.如果BG=4,EF=12,△BEG的面积等于4,那么梯形ABGD的面积是(  )
                
A. 16   B. 20   C. 24    D. 28
二、填空题
3.(2016•海淀区二模)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图所示,木杆EF的长为2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,则金字塔的高度BO为______ m.
            
4. 如图,线段AB=8cm,点C是AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形(△AMC和△CNB),则当BC=_____________cm时,两个等腰直角三角形的面积和最小.
                
三、解答题
5. 有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长12cm.如图①,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合;
 将直尺沿AB方向平移(如图②),设平移的长度为xcm( 0≤x≤10 ),直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2.
(1)当x=0时(如图①),S=________;

  (2)当0<x≤4时(如图②),求S关于x的函数关系式;

  (3)当4<x<6时,求S关于x的函数关系式;

  (4)直接写出S的最大值.
        
6. 问题情境:如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:△ABD≌△CAE.(不需要证明)
  特例探究:如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:△ABD≌△CAE.
归纳证明:如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?如果全等,请证明;
如果不全等,请说明理由.
拓展应用:如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.
     
7. 如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm,当圆心O从点A出发,沿着线路AB-BC-CA运动,回到点A时,⊙O随着点O的运动而移动.
⑴若r=cm,求⊙O首次与BC边相切时,AO的长;

  ⑵在⊙O移动过程中,从切点的个数来考虑,相切有几种不同的情况?写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数;

  ⑶设⊙O在整个移动过程中,在△ABC内部,⊙O未经过的部分面积为S,在S>0时,求关于r的函数解析式,并写出自变量r的取值范围.  
              
8. (2015•德州)(1)问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD•BC=AP•BP.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
  如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出了,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.
      
9. 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=12 cm,BC=9 cm,DC=13 cm,点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm,△PCD的面积为y cm2.
(1)求AD 的长;

  (2)求y与x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
(3)在线段AB上是否存在点P,使得△PCD是直角三角形?若存在,求出x的值;
若不存在,请说明理由.    
               
10. 如图,平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,∠A=60°,点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动,当P与C重合时停下运动,过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒,直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.  
                 答案与解析 【答案与解析】  一、选择题
1.【答案】B.
 【解析】如图1所示:当0<x≤1时,过点D作DE⊥BC′.
     ∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形,
     ∴△DBC′为等边三角形.
     ∴DE=BC′=x.
     ∴y=BC′•DE=x2.
     当x=1时,y=,且抛物线的开口向上.
     如图2所示:1<x≤2时,过点A′作A′E⊥B′C′,垂足为E.
     ∵y=B′C′•A′E=×1×=.
     ∴函数图象是一条平行与x轴的线段.
     如图3所示:2<x≤3时,过点D作DE⊥B′C,垂足为E.
     y=B′C•DE=(x﹣3)2,
     函数图象为抛物线的一部分,且抛物线开口向上.
     故选:B.
2.【答案】B.
二、填空题
3.【答案】134.
4.【答案】4.
三、解答题
5.【答案与解析】
(1)由题意可知:
     当x=0时,
   ∵△ABC是等腰直角三角形,
   ∴AE=EF=2,
   则阴影部分的面积为:S=×2×2=2;

     故答案为:2;

  (2)在Rt△ADG中,∠A=45°,
   ∴DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,
   ∴S梯形DEFG=(x+x+2)×2=2x+2.
   ∴S=2x+2;

  (3)①当4<x<6时(图1),
                  
   GD=AD=x,EF=EB=12-(x+2)=10-x,
   则S△ADG=AD.DG=x2,
   S△BEF=(10-x)2,
   而S△ABC=×12×6=36,
   S△BEF=(10-x)2,
   ∴S=36-x2-(10-x)2=-x2+10x-14,
   S=-x2+10x-14=-(x-5)2+11,
   ∴当x=5,(4<x<6)时,S最大值=11.
(4)S最大值=11.
6.【答案与解析】
特例探究:
  证明:∵△ABC是等边三角形,
   ∴AB=AC,∠DBA=∠EAC=60°,
   在△ABD与△CAE中,
   ,
   ∴△ABD≌△CAE(SAS);

     归纳证明:△ABD与△CAE全等.理由如下:
     ∵在等边△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠BAC=60°,
   ∴∠DBA=∠EAC=120°.
   在△ABD与△CAE中,
   ,
   ∴△ABD≌△CAE(SAS);

     拓展应用:∵点O在AB的垂直平分线上,
   ∴OA=OB,
   ∴∠OBA=∠BAC=50°,
   ∴∠EAC=∠DBC.
   在△ABD与△CAE中,,
   ∴△ABD≌△CAE(SAS),
   ∴∠BDA=∠AEC=32°,
   ∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°.
7.【答案与解析】
(1)设⊙O首次与BC相切于点D,则有OD⊥BC.
   且OD=r=.
   在直角三角形BDO中,
   ∵∠OBD=60°,
   ∴OB==2.
   ∴AO=AB-OB=6-2=4(厘米);

  (2)由正三角形的边长为6厘米.可得出它的一边上的高为3厘米.
   ①当⊙O的半径r=3厘米时,⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次,即切点个数为3;

     ②当0<r<3时,⊙O在移动中与△ABC的边相切六次,即切点个数为6;

     ③当r>3时,⊙O与△ABC不能相切,即切点个数为0.
(3)如图,易知在S>0时,⊙O在移动中,在△ABC内部为经过的部分为正三角形.  
              
   记作△A′B′C′,这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行,且平行线间的距离等于r.
   连接AA′,并延长AA′,分别交B′C′,BC于E,F两点.
   则AF⊥BC,A′E⊥B′C′,且EF=r.
   又过点A′作A′G⊥AB于G,则A′G=r.
   ∵∠GAA′=30°,
   ∴AA′=2x.
   ∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r,
   B′C′=
   A′E=2(3-r).
   ∴△A′B′C′的面积S=B′C′.A′E=3(3-r)2.
   ∴所求的解析式为S=3(3-r)2(0<r<3).
8.【答案与解析】
解:(1)如图1,
                 

∵∠DPC=∠A=∠B=90°,

∴∠ADP+∠APD=90°,

∠BPC+∠APD=90°,

∴∠ADP=∠BPC,

∴△ADP∽△BPC,

∴=,

∴AD•BC=AP•BP;

  
(2)结论AD•BC=AP•BP仍然成立.

理由:如图2,
                 

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.

∵∠DPC=∠A=∠B=θ,

∴∠BPC=∠ADP,

∴△ADP∽△BPC,

∴=,

∴AD•BC=AP•BP;

  
(3)如图3,
                  

过点D作DE⊥AB于点E.

∵AD=BD=5,AB=6,

∴AE=BE=3.

由勾股定理可得DE=4.

∵以点D为圆心,DC为半径的圆与AB相切,

∴DC=DE=4,

∴BC=5﹣4=1.

又∵AD=BD,

∴∠A=∠B,

∴∠DPC=∠A=∠B.

由(1)、(2)的经验可知AD•BC=AP•BP,

∴5×1=t(6﹣t),

解得:t1=1,t2=5,

∴t的值为1秒或5秒.
9.【答案与解析】 ⊥BC于点E.
                  

据题意知,四边形ABED是矩形,AB=DE,AD=BE.  
 在Rt△DEC中,∠DEC=90°,DE=12,CD=13,

∴ EC=5.    ∴AD=BE=BC-EC=4.
(2)若BP为x,则AP=12-x.  
 S△BPC=BP·BC=x.  S△APD=AP·AD=24-2x.  
 ∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.

即 y=-x+54,0≤x≤12.  
 当x=0时,y取得最大值为54 cm2.
(3)若△PCD是直角三角形,∵∠BCP<90°,∴∠PCD≠90°  
 ∴分两种情况讨论,如图2.
                 

①当∠DPC=90°时

∵∠APD+∠BPC=90°,∠BPC+∠PCB=90°,

∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP.

∴.即.解得x=6.

∠APD=∠BPC=45°的情况不存在,不考虑.

②当∠P1DC=90°时,

在 Rt△P1BC中,P1C2=BP12+BC2=x2+92,

在 Rt△P1AD中,P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42,

∵∠P1DC=90°,CD2+P1D2=P1C2.

即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.

综上,当x=6或,△PCD是直角三角形.
10.【答案与解析】
当Q点与D点重合时,AQ=AD=6,此时AP=AQ=3=t
当P与B点重合时,t=10,
当 P点运动到C时,t=16,
∴分三类情况讨论
(1)当0≤t≤3时,如图:
                  
   AP=t,PQ=t,
   ∴S=AP·PQ=t2
(2)当3<t≤10时,示意图:
                 
   过D作DH⊥AB于H,AD=t,
   则 DH=ADsinA=6·=3,AH=ADcosA=3
   ∴DQ=PH=AP-AH=t-3
   ∴S=(AP+DQ)·DH
     =(t+t-3)·3=3t-
(3)当10<t≤16时,如图:
 
              
   AB+BP=t
   CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t
   ∴CQ=CP=8-
   QP=·CQ=8-t
   ∴S=S□ABCD-S△CPQ
     =AB·h-·CQ·PQ
 
=10·3-·(8-)·(8-)
 
=30-(64-8t+)
 
=
   综上,.

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