中考复习：相似三角形专练（附答案）

中考复习：相似三角形专练 一、单选题 1．若且周长之比1：3，则与的面积比是（ ）
A．1：3 B． C．1：9 D．3：1 2．如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形 C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形 3．如图中，，D为上任意点，且，则值为（ ）
A． B． C．3 D． 4．如图，在中，，若，则长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12 5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、AE交于点F，则S△DEF：S△ACF＝（　　）
A． B． C． D． 6．如图，点为的平分线上一点，的两边分别与射线交于两点，绕点旋转时始终满足，若，则的度数为（ ）
A．153° B．144° C．163° D．162° 7．如图，在中，、为边的三等分点，，点为与的交点．若，则为（ ）
A．1 B．2 C． D．3 8．如图，知形ABCD中，AB＝6，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，CE平分OB，且与AB交于点E．若F为CE中点，则△BEF的周长是（ ）
A．＋2 B．2＋2 C．2＋2 D．6 9．如图，中，，分别是，边上的高，且，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D． 10．已知在中，是边上的一点，，过点作于点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点重合），折痕交边于点，则的长为（ ）
A．或 B． C． D．或 11．△ABC的边长AB＝2，面积为1，直线PQBC，分别交AB、AC于P、Q，设AP＝t，△APQ面积为S，则S关于t的函数图象大致是（　　）
A． B． C． D． 12．如图，已知双曲线和，直线与双曲线交于点，将直线向下平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则的值为（ ）
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 13．如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则的值为（ ）
A． B． C． D． 14．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣ 15．几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形，四边形，四边形均为正方形，交于点交于点K，点在同条直线上，若，，记四边形的面积为，四边形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D． 16．如图，等腰中，于D，的平分线分别交于两点，M为的中点，延长交于点N，连接下列结论：①；
②；
③是等腰三角形；
④，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②③ 17．如图，在等腰中，，．点和点分别是边和边上两点，连接．将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处设与交于点，则（ ）
A． B． C． D． 18．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2=PH·PC；
其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③ 二、填空题 19．如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝_____． 20．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于E，交的延长线于F，于G，，则的长______，为的长为______． 21．如图，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，＝，若S四边形DEBC，则＝_____． 22．如图，在中，，，，D，E分别是边AC，BC上的两动点，将沿着直线DE翻折，点C的对应点为F，若点F落在AB边上，使为直角三角形，则BF的长度为______ ． 23．如图，在矩形中，，，平分，点在线段上，，过点作交边于点，交边于点，则___． 24．如图，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2OA1，连接OA2交A1B于点C；
以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3OA2，连接OA3交A2B1于点C1；
以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4OA3，连接OA4交A3B2于点C2；
…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为____． 三、解答题 25．如图，已知，求证：． 26．如图，在梯形中，，过点A作，垂足为点E，过点E作，垂足为点F，联结，且平分． （1）求证：；

（2）联结，与交于点G，当时，求证． 27．如图，已知中，，，于点，点是线段上的一个动点． （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，则______；

（2）如图2，若点在线段上，且，过点、分别作于点，于点． ①求证：∽；

②求的值；

③求的值． 28．在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．若点E是BC上的一个动点． （1）如图1，若F为DE的中点，求证：CF＝DF；

（2）如图2，连接DE，交AC与点F，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；

（3）如图3，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG． 29．（1）问题探究：如图1，在正方形中，点、、分别是、、上的点，且，求证：；

（2）类比应用：如图2，在矩形中，，，将矩形沿折叠使点落在点处，得到矩形． ①若点为的中点，试探究与的数量关系；

②拓展延伸：连，当时，，，求的长． 30．在中，，点在边上，，分别连接． （1）如图1，三点在同一条直线上． ①若，求的长；

②求证：． （2）如图2，若，分别是的中点，求的值． 参考答案 1．C 解：∵且周长之比1：3， ∴与的相似比=1：3， ∴与的面积比=12：32=1：9， 2．C 解：A. 又平分 故A不符合题意；

B.平分 又 故B不符合题意；

C. 三角形与三角形，仅有一个公共角，不能证明相似，故C错误，符合题意；

D. 故D不符合题意， 3．D 解：∵，∠CAD=∠BAC=90°， ∴△CAD∽△BAC， ∴， 设，则，解得， 4．C 解：∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴即， ∴． 5．D ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 6．A 解：∵OA•OB＝OP2， ∴， ∵∠BOP＝∠AOP， ∴△PBO∽△APO， ∴∠OBP＝∠OPA， ∵∠MON＝54°， ∴∠BOP＝27°， ∴∠OBP+∠BPO＝180°﹣27°＝153° ∴∠APB＝∠BPO+∠APO＝153°；

7．C 解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC， ∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF， ∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线， ∴DHEF， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴，即， 解得：EF＝3， ∴DHEF3＝， 8．C 解：∵四边形是矩形，设与交于点，如图， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 在矩形中， ∵CE平分OB， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∵为CE中点， ∴ ∴的周长等于 9．B 解：∵，，为公共角， ∴∽， ∴， ∴∽， ∴， ∴， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， 10．A 解：∵， ∴， ∵DH⊥AC， ∴DH∥BC， ∴△ADH∽△ABC， ∴， ∵AD=7， ∴， ∴， 将∠B沿过点D的直线折叠， 情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图1中， ∵AB=12， ∴DP1=DB=AB-AD=5， ∴， ∴；

情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2中， 同法可得， ， 综上所述，满足条件的AP的值为或． 11．B 解：∵PQ∥BC， ∴ ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴S＝（）2， ∴（）2＝S， ∴S＝，0≤t≤2， 结合二次函数的图象，可得其图象为B． 12．C 解：连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F． ∵OA//BC， ∴S△OBC＝S△ABC＝10， ∵， ∴S△OPB＝，S△OPC＝， ∵S△OBE＝， ∴S△PBE＝， ∵△BEP∽△CFP， ∴S△CFP＝4×＝， ∴S△OCF＝S△OCP －S△CFP＝， ∴k＝−8． 13．D 解：∵∠OBA＝90°，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB， ∴∠DOA+∠OAC=45°， ∴∠OEA=135°， ∴∠OEC=45°， 过C作CF⊥OE于点F，过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥OA于点H， 在Rt△CEF中，∠OEC=45°，， ∴CF=EF， 设CF=EF=x，则有，即有：， 解得：x=1或-1(舍)， ∴CF=EF=1， 在Rt△OCF中，OC=， ∴OF=， ∵∠COF=∠EOG，∠OFC=∠OGE=90°， ∴△OFC∽△OGE， ∴，即， ∴， ∵OD平分∠AOB， ∴GE=EH=， 在Rt△OEH中，， ∴E()， ∵E在上， ∴， ∴k=， 14．A 作点F作FG⊥BC于G， ∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；

∴∠BDE＝∠FEG， 在△DBE与△EGF中， ， ∴△DBE≌△EGF（AAS）， ∴EG＝DB，FG＝BE＝x， ∴EG＝DB＝2BE＝2x， ∴GC＝y﹣3x， ∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， ∴△FGC∽△ABC， ∴CG：BC＝FG：AB， 即＝， ∴y＝﹣． 15．B 解：， ， 又， ， 又， ， ， ， 设，则， 由已知：，，， ， ， 又， ， 解得，检验是方程的解， ，， 作，，四边形、、、是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 16．B 解：，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确；

， 与显然不全等，故②错误， 在和△中， ， ， ， ， ，故④正确， ，， ， ， ， ， ，故③错误． 17．C 解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2， ∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°， 如图，过B′作B′H⊥AB与H， ∴△AHB′是等腰直角三角形， ∴AH=B′H=AB′， ∵AB′=， ∴AH=B′H=1， ∴BH=3， ∴BB′=， ∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE， ∴BF=，DE⊥BB′， ∴∠BHB′=∠BFE=90°， ∵∠EBF=∠B′BH， ∴△BFE∽△BHB′， ∴， ∴， ∴EF=， 故答案为：
18．C 解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC， ∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45° ∵△BPC是等边三角形 ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， ∴DC=PC ，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30° ∴BE=2AE，故①正确；

∵AD∥BC ∴∠PFD=∠BCF=60° ∴∠PFD=∠BPC 同①得：∠DCF=30° ∴∠CPD=∠CDP=75° ∴∠PDF=15° 又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°， ∴∠PDF=∠PBD ∴△DFP∽△BPH，故②正确；

∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60° ∠BPD=135°，∠DPF=105° ∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF ∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；

∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC ∴△DPH∽△CDP ∴ ∴PD2=PH·CD，故④正确． 19． 解：∵DC为∠ACB的平分线 ∴∠BCD=∠ECD ∵DE∥BC ∴∠EDC=∠BCD ∴∠EDC=∠ECD ∴EC=DE ∵AD=8，BD=10 ∴AB=18 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴， ∵AD=8，AB=18，BC=15 ∴， ∴ ∴ 20．3 6 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， ∴， ∴AB=BE， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∵， ∴△ABE∽△FCE， ∴， ∴, ∴AF=6；

21． 解：∵S四边形DEBC， ∴S△ADE＝S△ABC， ∵＝，∠DAE＝∠BAC， ∴△DAE∽△BAC， ∴， ∴， 22．或4 解：如图，当时， 将沿着直线DE翻折， ， ，， ， ， 当时， 设，则， ，， ， ∽， ， ， ， ， ． 23． 解：如图，过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，则MN⊥AD，延长GF交AD于点Q，如图所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AD∥BC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠AEB=∠ABE=∠EBC=45°， ∴△NFE、△MBF和△ABE都是等腰直角三角形， ∵， ∴BM=FM=3，， ∴ ∴NF=NE=1， ∵FD⊥FG， ∴∠DFG=90°， ∴∠DFN+∠MFG=90°， ∵MN⊥AD， ∴∠NDF+∠DFN=90°， ∴∠NDF=∠MFG， 在DNF和△FMG中， ， ∴△DNF≌△FMG（AAS）， ∴DN=FM=3，NF=MG=1， 由勾股定理得：
∵QN∥BC， ∴△QFN∽△GFM， ∴，即， ∴， 设GH=x，则， ∵QD∥BG， ∴△QHD∽△GHB ∴ ∴，解得， 即． 24．． 解：在矩形OAA1B中，∵OA=3，AA1=2， ∴∠A=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠OA1A2=∠A=90°， ∴△OA1A2∽△OAA1， ∴∠A1OA2=∠AOA1， ∵A1B//OA， ∴∠CA1O=∠AOA1， ∴∠COA1=∠CA1O， ∴OC=CA1， ∵∠A2OA1+∠OA2A1=90°，∠OA1C+∠A2A1C=90°， ∴∠CA2A1=∠CA1A2， ∴CA1=CA2=OC， 同法可证OC1=A3C1， ∴CC1∥A2A3，CC1=A2A3， ∴S△CC1A3=S△CC1A2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可证， 由题意，， ∵△C2A3C1∽△C1A2C， ∴相似比为：， ∴，…， 由此规律可得，△C2019C2020A2022的面积为． 25．见解析 证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 26．（1）见解析；
（2）见解析 （1）∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在△ABE和△ECF中， ， ∴；

（2）连接BD， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；

27．（1）4；
（2）①见解析；
②；
③ （1）根据题意可知为等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵点M恰好在∠BCD的角平分线上， ∴． ∴，． ∴， ∴． （2）①∵，． ∴． 又∵， ∴． ②∵， ∴，即． ∴． ③∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 28．（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝90°， ∵F为DE的中点， ∴CF＝DE，DF＝DE， ∴CF＝DF；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠ACD＝45°，AD＝OA， ∵DE平分∠CDB， ∴∠BDE＝∠CDE， ∵∠ADF＝∠ADB+∠BDE，∠AFD＝∠ACD+∠CDE， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴AF＝AD， ∴AF＝OA；

（3）证明：设BC＝4x，CG＝y， ∵E为BC的中点， 则CE＝2x，FG＝y， ∵FG⊥BC ∵FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴， 即， 整理得，y＝x，即CG＝x， 则EG＝2x﹣y＝x， ∴BG＝2x+x＝x， ∴CG＝BG． 29．（1）见解析；
（2）①；
② （1）证明：如图，过点作于，则∠AHG＝∠FHG＝90°， ∵在正方形中， ∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB， ∴四边形AHGD为矩形， ∴AD＝HG， ∴AB＝HG， ∵， ∴∠FQA＝90°， ∴∠AFQ＋∠BAE＝90°， ∵∠FHG＝90°， ∴∠AFQ＋∠FGH＝90°， ∴∠BAE＝∠FGH， ∴在与中 ∴（ASA）， ∴；

①∵点为的中点， ∴， ∵折叠， ∴设， ∴， 在RtBFE中，BF2＋BE2＝EF2， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 如图，过点作于，则∠AHG＝∠FHG＝90°， ∵在矩形中， ∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°， ∴四边形AHGD为矩形， ∴BC＝HG， ∵∠FHG＝90°， ∴∠AFQ＋∠FGH＝90°， ∵， ∴∠FQA＝90°， ∴∠AFQ＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FGH， 又∵∠FHG＝∠D＝90°， ∴， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴， ∴；

②如图，过点P作于点， ∵，， ∴由①得， ∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP， ∴∠CGP＝∠OEC， ∵∠FEP＝∠B＝90°， ∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°， ∴∠BFE＝∠OEC， ∴∠BFE＝∠CGP， 又∵， ∴， ∴设，， 则，， ， 解得：， ，，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 30．（1）①；
②见解析；
（2）
解：（1）①∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 解得（负值已舍去），即的长为；

②证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；

（2）如图，连接，由（1）得， ∴， ∵分别是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵D是AC的中点， 设，则， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴