中考数学学业质量检测试卷（含答案解析）

中考数学学业质量检测试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．|﹣2|＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．1 2．计算（﹣p）8•（﹣p2）3•[（﹣p）3]2的结果是（　　）
A．﹣p20 B．p20 C．﹣p18 D．p18 3．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013 4．从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）
B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2 C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
6．一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（　　）
A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，0 7．如图是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数条形统计图和扇形统计图，则该班共有学生人数是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．40 8．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．13 D．14 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．60°或120° B．30°或150° C．30°或120° D．60° 10．如图，一次函数y1＝ax+b图象和反比例函数y2＝图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．已知a为实数，那么等于　 　． 12．化简：＝　 　． 13．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为　 　（结果保留π）． 14．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是　 　． 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
15．计算：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）
16．桑植县为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，保护生态环境，某村计划在荒山上植树1200棵，实际每天植树的数量是原计划的1.5倍，结果比原计划提前了5天完成任务，求原计划每天植树多少棵？ 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；

（2）在图2、图3中各作一格点D，使得△ACD∽△DCB，并请连结AD、CD、BD． 18．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为　 　m． （2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；
动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？ （2）当t为何值时，PQ＝CD？ 20．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（6，8），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
21．钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，在此次调查中，甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报，若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动，请用列表法或画树状图的方法，求所抽取的2人来自不同班级的概率． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
22．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第x天）
1 3 6 10 … 日销售量（m件）
198 194 188 180 … ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天）
1≤x＜50 50≤x≤90 销售价格（元/件）
x+60 100 （1）求m关于x的一次函数表达式；

（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；

（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【分析】根据绝对值的定义进行填空即可． 【解答】解：|﹣2|＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：（﹣p）8•（﹣p2）3•[（﹣p）3]2 ＝p8•（﹣p6）•p6 ＝﹣p20． 故选：A． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看是， 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 5．【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【解答】解：A、x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；

B、a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2，正确；

C、x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；

D、ax2﹣9，无法分解因式，故此选项错误；

故选：B． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 6．【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案． 【解答】解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得：x＝， 设a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根， ∴a＝， ∵1＜＜2， ∴2＜1+＜3，即1＜a＜． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 7．【分析】此题首先根据乘车人数和所占总数的比例，求出总人数． 【解答】解：该班的学生总人数为20÷50%＝40（人）， 故选：D． 【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比． 8．【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案． 【解答】解：连接PE、PF、PG，AP， 由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°， ∴S△PBC＝BC•PE＝×4×2＝4， ∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4， ∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13， ∴由切线长定理可知：S△APG＝S四边形AFPG＝， ∴＝×AG•PG， ∴AG＝， 由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG， ∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE ＝AC+AB+CF+BG ＝AF+AG ＝2AG ＝13， 故选：C． 【点评】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型． 9．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；

当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°． 故选：A． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 10．【分析】当y1＜y2时，存在不等式ax+b＜，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时，所对应的自变量x的取值范围． 【解答】解：∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）， ∴由图可得，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，从函数的角度看，就是寻求使一次函数值大于（或小于）反比例函数值的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．【分析】根据非负数的性质，只有a＝0时，有意义，可求根式的值． 【解答】解：根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，﹣a2≥0， 故只有a＝0时，有意义， 所以，＝0． 故填：0． 【点评】本题考查了算术平方根．注意：平方数和算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键． 12．【分析】先计算括号内的加法、将除法转化为乘法，继而约分即可得． 【解答】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝• ＝x﹣1， 故答案为：x﹣1． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 13．【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝120°，根据弧长公式计算即可． 【解答】解：连接OB， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠OBA＝90°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠C＝∠B＝30°， ∴∠BOC＝120°， ∴弧BC的长＝＝2π， 故答案为：2π． 【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键． 14．【分析】由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后根据“两角法”证得△CDE∽△CAD，所以由该相似三角形的对应边成比例求得答案． 【解答】解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6， ∴AD⊥BC，CD＝BD＝3． 又DE⊥AC， ∴∠CED＝∠CDA＝90°． ∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAD． ∴＝，即AC•EC＝CD2＝9． 故答案是：9． 【点评】考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
15．【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值． 【解答】解：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）
＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣9）
＝x2﹣4x+4﹣x2+9 ＝﹣4x+13． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 16．【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树1.5x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前了5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树1.5x棵， 根据题意得：﹣＝5， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天植树80棵． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．【分析】（1）利用相似三角形的性质得出答案；

（2）利用相似三角形的性质得出D点位置． 【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：△ACD∽△DCB． 【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 18．【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；

（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝64°，AC＝5m， ∴AB＝（m）；

故答案为：11.4；

（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E， 在Rt△ADE中， ∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m， ∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m）， 即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m）， 答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m． 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；

（2）根据PQ＝CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，即3t＝（24﹣t）+4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t， （1）∵AD∥BC，即PD∥CQ， ∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形， ∴PQ∥CD， 即24﹣t＝3t， 解得：t＝6， 即当t＝6时，PQ∥CD；

（2）若要PQ＝CD，分为两种情况：
①当四边形PQCD为平行四边形时， 即PD＝CQ 24﹣t＝3t， 解得：t＝6， ②当四边形PQCD为等腰梯形时， 即CQ＝PD+2（BC﹣AD）
3t＝24﹣t+4 解得：t＝7， 即当t＝6或t＝7时，PQ＝CD． 【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 20．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题． 【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（3，0），A（6，0）， ∴H（9，0）， ∴直线CH解析式为y＝﹣x+8， ∴x＝6时，y＝， ∴点E坐标（6，）． 【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
21．【分析】根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2， 树状图如图所示：
由树状图知共有12种等可能结果，其中抽取的2人来自不同班级的有8种结果， 所以抽取的2人来自不同班级的概率为＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
22．【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；

（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+160x+4000；
当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；

（3）根据1≤x＜50和50≤x≤90时，由y≥5400求得x的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数． 【解答】解：（1）∵m与x成一次函数， ∴设m＝kx+b，将x＝1，m＝198，x＝3，m＝194代入，得：
， 解得：． 所以m关于x的一次函数表达式为m＝﹣2x+200；

（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：
y＝， 当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+160x+4000＝﹣2（x﹣40）2+7200， ∵﹣2＜0， ∴当x＝40时，y有最大值，最大值是7200；

当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000， ∵﹣120＜0， ∴y随x增大而减小，即当x＝50时，y的值最大，最大值是6000；

综上所述，当x＝40时，y的值最大，最大值是7200， 即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；

（3）当1≤x＜50时，由y≥5400可得﹣2x2+160x+4000≥5400， 解得：10≤x≤70， ∵1≤x＜50， ∴10≤x＜50；

当50≤x≤90时，由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400， 解得：x≤55， ∵50≤x≤90， ∴50≤x≤55， 综上，10≤x≤55， 故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合x的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；

（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN＝BD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM＝CE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形． 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形， ∴MN最大时，△PMN的面积最大， ∴DE∥BC且DE在顶点A上面， ∴MN最大＝AM+AN， 连接AM，AN， 在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2， 在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5， ∴MN最大＝2+5＝7， ∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝． 方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD＝AB+AD＝14， ∴PM＝7， ∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；
解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．