指数函数知识点总结

指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*． 负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）· ；

（2）
；

（3）
． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或 （2）若，则；
取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

指数函数·例题解析   【例1】求下列函数的定义域与值域：
解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， 练习：（1）；
　 （2）；

（3）；

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)， 则得b＜a＜1＜d＜c． 练习：指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).
　　 【例3】比较大小：
(3)4.54.1________3.73.6 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 练习：
（1）1.72.5 与 1.73　　　　　　　　　　　( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）和 【例5】作出下列函数的图像：
(3) y＝2|x-1| 　(4)y＝|1－3x| 解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的． 解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)． 解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7) (1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的值域；
(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R．</PGN0095A.TXT/PGN> ∴函数f(x)为奇函数． 即f(x)的值域为(－1，1)． (3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2) 单元测试题 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、化简，结果是（ ）
A、 B、 C、 D、 2、等于（ ）
A、 B、 C、 D、 3、若,且,则的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、2 4、函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、 5、下列函数式中，满足的是( ) A、 B、 C、 D、 6、下列是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 7、已知，下列不等式（1）；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)中恒成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、函数是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 9、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、 10、已知,则函数的图像必定不经过（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 11、是偶函数，且不恒等于零，则( ) A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数 12、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）
A、 B、 C、 D、 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
13、若，则 。

14、函数的值域是 。

15、函数的单调递减区间是 。

16、若，则 。

三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、设，解关于的不等式。

18、已知，求的最小值与最大值。

19、设，，试确定的值，使为奇函数。

20、已知函数，求其单调区间及值域。

21、若函数的值域为，试确定的取值范围。

22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性；

(2)求该函数的值域；
(3)证明是上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、 14、，令，∵ ,又∵为减函数，∴。

15、，令， ∵为增函数，∴的单调递减区间为。

16、 0， 三、17、∵,∴ 在上为减函数，∵ , ∴ 18、, ∵, ∴. 则当,即时,有最小值；
当,即时，有最大值57。

19、要使为奇函数，∵ ,∴需, ∴,由,得,。

20、令,，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵, ∴的值域为。

21、，依题意有 即，∴ 由函数的单调性可得。

22、（1）∵定义域为,且是奇函数；

（2）即的值域为；

（3）设,且， (∵分母大于零，且) ∴是上的增函数。