04普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学试题及答案

2004年普通高等学校招生广东卷数学试题 一. 选择题（共12小题，每题5分，计60分）
1．已知平面向量=（3，1），=（x，–3），且，则x= （ ）
A. –3 B. –1 C. 1 D . 3 2.已知则 ( ) A. B. C. D. 3.设函数 在x=2处连续,则a= ( ) A. B. C. D. 4. 的值为 ( ) A. –1 B.0 C. D.1 5.函数是 ( ) A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数 C. 周期为2的偶函数 D..周期为2的奇函数 6.一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 ( ) A.0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728 7.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( ) A. B. C. D. 8. 若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）
A. 6 B. 8 C. 1 D. 4 9.当时,函数的最小值是 ( ) A. 4 B. C.2 D. 10. 变量x、y满足下列条件：
则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 A. ( 4.5 ,3 ) B. ( 3,6 ) C. ( 9, 2 ) D. ( 6, 4 ) 11. 若则 A. B. C. D. 12. 如右下图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0与直线 x–y+1=0的交点在( ) A. 第四象限 B. 第三象限 C.第二象限 D. 第一象限 二.填空题(共4小题，每题4分，计16分）
13. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答) 14. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . 15. 由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: 16. 函数的反函数 三.解答题(共6小题,74分) 17. (12分)已知成公比为2的等比数列(也成等比数列. 求的值. 18. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 19. (12分)设函数 (1) 证明: 当0< a < b ,且时,ab >1; (2) 点P (x0, y0 ) (0< x0 <1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达). 20 (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 21. (12分)设函数 其中常数m为整数. (1) 当m为何值时, (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0, 在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根. 22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB. 求直线的方程. 2004年普通高等学校招生广东卷数学试题 标准答案 一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C A B D D A A B D B 二、 填空题：
（13）
（14）－2i (15) (16) 三、 解答题 17．∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列 当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去， 18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是， 设向量与平面C1DE垂直，则有 （II）设EC1与FD1所成角为β，则 19.证明：（I）
故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和 故 （II）0<x<1时， 曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：
∴切线与x轴、y轴正向的交点为 故所求三角形面积听表达式为：
20．解：如图， 以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处. 21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0 (II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数. 由所给定理知，存在唯一的 而当整数m>1时， 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的 故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根 22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为 y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有，由 若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 由 故l的方程为 (ii)当b=0时，由(1)得 由 故l的方程为 再讨论l与x轴垂直的情况. 设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 综上所述， 故l的方程为、和