【高分复习笔记】-魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

来源:程序员 发布时间:2021-02-27 点击:

 目录 内容简介 目 录 第 1 章 事件与概率 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解 第 2 章 离散型随机变量 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解 第 3 章 连续型随机变量 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解 第 4 章 大数定律与中心极限定理 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 考研真题详解 第 5 章 数理统计的基本概念 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解

 5.3 考研真题详解 第 6 章 点估计 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 考研真题详解 第 7 章 假设检验 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 考研真题详解 第 8 章 方差分析和回归分析 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 考研真题详解 第 9 章 Excel 在统计分析中的应用 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 9.3 考研真题详解

 第 1 章 事件与概率 1.1 复习笔记 一、随机事件和样本空间 1.基本概念 (1)随机试验 若试验满足以下条件:

 ①试验可以在相同的情形下重复进行; ②试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个; ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

 就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验。

 (2)基本事件 随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件。

 (3)样本空间 随机试验的所有的基本事件的集合,称作样本空间,通常用字母 Ω 表示,集合 Ω 中的元素,即基本事件,有时也称作样本点,常用字母 ω 表示。

 2.事件间的基本规律 若样本空间 Ω 已经给定,并且还给定了其中一些事件,如 A、B、A i (i=1,2,……)等等,则有:

 (1)如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,事件 A 的样本点都是事件 B 的样本点,则称事件 B 包含事件 A,并记作 、 ; 注意:因为不可能事件 不含有任何 ω,所以对任一事件 A,约定 。

 (2)如果有 同时成立,则称事件 A 与 B 相等,记作 A=B; (3)“事件 A 与 B 中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的并(或和),并记作 ;

 (4)“事件 A 与 B 同时发生”,这样的事件称作事件 A 与 B 的交(或积),记作 (或AB); (5)“事件 A 发生而 B 不发生”,这样的事件称为事件 A 与 B 的差,记作 A-B; (6)若事件 A 与 B 不能同时发生,也就是说 AB 是一个不可能事件,即 ,则称事件 A 与 B 互不相容; (7)若 A 是一个事件,令 ,称 是 A 的对立事件或逆事件。在一次试验中, A与 二者只能发生其中之一,因而有

 ; (8)若有 n 个事件:

 ,则“ 中至少发生其中的一个”这样的事件称作的并,并记作 或 ;若“ 同时发生”,这样的事件称作 的交,记作 或 。

 3.事件的运算满足下述规则:

 (1)交换律:

 ; (2)结合律:

 ; (3)分配律:

 ; (4)德摩根(DeMorgan)定理(对偶原则):

 。

 4.事件域

 构成一个域,我们称为事件域,记作 。显然,事件域关于交、并、补、差运算是封闭的,事件域应满足下述要求:

 (1)

 ; (2)若 则 ; (3)若 ,则 。

 显然 是一个布尔代数。

 二、概率和频率 1.基本概念 (1)概率 随机事件 A 发生可能性大小的度量(数值),称为 A 发生的概率,记作 。

 (2)频率 如果随机事件 A 在 n 次反复试验中发生了 次,称为 A 的频率。

 2.频率的性质 (1)非负性:即 ; (2)规范性:即若 Ω 是必然事件,则 ; (3)有限可加性:即若 A、B 互不相容(即 ),则 ; (4)不可能事件的频率为零,即 ; (5)若 ,则 ,由此还可推得对任一事件 A,有 ; (6)对有限个两两互不相容的事件,频率具有可加性,即若 ,则

 。

 3.布尔代数 的性质 (1)非负生:

 ; (2)规范性:

 ; (3)有限可加性:若 且 则 。

 三、古典概型 1.古典概型的定义 (1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个,不妨设为 n 个,并记它们为; (2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有 。

 称这种数学模型为古典概型。

 2.古典概型的相关结论 对上述的古典概型,它的样本空间 ,事件域 为 Ω 的所有子集的全体,连同 在内, 中含有 个事件,并且由概率的有限可加性知:

 于是

 对任意一个随机事件 如果 A 是 k 个基本事件的和,即

  则

 四、概率的公理化定义及概率的性质 1.概率的公理化定义 在随机试验中,设 为一个样本空间, 为 的子集组成的一个事件域.对任一事件 ,定义一个实数 ,满足以下条件:

 (1)非负性:若 ,则 ; (2)正则性:

 ; (3)可列可加性:若 互不相容,则

 则称 为事件 A 的概率,称三元素 为概率空间。

 2.确定概率的几何方法 (1)如果一个随机现象的样本空间 充满某个区域,其度量(长度、面积或体积等)大小可用 表示。

 (2)任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的,譬如在样本空间 中有一单位正方形 A 和直角边为 1 与 2 的直角三角形 B,而点落在区域 A 和区域 B 是等可能的,因为这两个区域面积相等。

 (3)若事件 A 为 n 中的某个子区域,且其度量大小可用 表示,则事件 A 的概率为

 。

 3.

 (1)

 概念 ① ; ②若 则 ; ③若 则 。

 对满足上述三个性质的集合类,称作是一个 (或 )。所以事件域应该是一个σ-代数,一个 σ-代数必定是一个布尔代数。

 (2)σ-代数 上有定义的概率 P 具有的性质 ①非负性:

 对 ; ②规范性:

 ; ③可列可加性:若 且 ,则 。

 4.概率的其它重要性质 (1)不可能事件的概率为 0,即 ; (2)概率具有有限可加性,即若 ,则

 ; (3)对任一随机事件 A,有 ; (4)若 ,则 ; (5)对任意的两个事件 A、B,有 P(A-B)=P(A)—P(AB); (6)若 A B,则 P(A)≥P(B); (7)对任意的两个事件 A、B,有 P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB); (8)P(A∪B)≤P(A)+P(B)。

 5.概率的连续性 (1)定义:对于 上的集合函数 P,若对 中的任一单调不减的集合序列{A n },有

 则称集合函数 P 在 上是下连续的,其中 。

 (2)定理:若 P 是 上非负的、规范的集函数,则 P 具有可列可加性的充要条件是:

 ①P 是有限可加的; ②P 在 上是下连续的。

 五、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 1.条件概率 (1)定义:若 是一个概率空间, 则对任意的 称

  为在已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的条件概率。

 由此可知,对任意两个事件 A、B,若 P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A|B)。

 (2)条件概率 P(·|B)的三个基本性质:

 ①非负性:对任意的 ; ②规范性:P(Ω|B)=1; ③可列可加性:对任意的一列两两互不相容的事件 (i=1,2…),有 。

 2.全概率公式 设 B 1 ,B 2 ,…是一列互不相容的事件,且有

 则对任一事件 A,有 。

 3.贝叶斯公式 若 B 1 ,B 2 ,…为一列互不相容的事件,且

  则对任一事件 A,有 。

 六、独立性 1.两个事件的独立性 对任意的两个事件 A、B,若 P(AB)=P(A)P(B)

 成立,则称事件 A、B 是相互独立的,简称为独立的。

 2.多个事件的独立性 (1)定义:设 A,B,C 是三个事件,如果有

 则称 A,B,C 两两独立。若还有

 则称 A,B,C 相互独立。

 (2)定义:设有 n 个事件 ,对任意的 ,如果以下等式均成立

 则称此 n 个事件 相互独立。

 七、伯努利概型 如果试验 E 只有两个可能的结果:A 及 ,并且 P(A)=p, (其中0<p<1),把 E 独立地重复 n 次的试验就构成了一个试验,这个试验称作 n 重伯努利(Bernoulli)试验,有时简称为伯努利试验或伯努利概型,并记作 B n 。

 一个伯努利试验的结果可以记作:

 ω=(ω 1 ,ω 2 ,…,ω n )

 其中的 ω i (1≤i≤n)的全体就是这个伯努利试验的样本空间 Ω,对于 ω=(ω 1 ,ω 2 ,…,ω n )∈Ω,如果 ω i (1≤i≤n)中有 k 个为 A,则必有 n-k 个为 ,于是由独立性即得:

 如果要求“n 重伯努利试验中事件 B 出现 k 次”这一事件的概率为:

 。

 1.2 课后习题详解 一、习题 1.1

 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合:

 (1)10 件产品中有 1 件是不合格品,从中任取 2 件,得 1 件不合格品. (2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球,从中任取一球, (i)取出白球; (ii)取出红球. (3)甲、乙两人从装有 a 个白球与 b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取、乙后取,每次取后都不放回,直到两人中有一人取到白球时停止,甲先取到白球. 答:(1)记 9 个合格品分别为 ,记不合格为次,则:

 从中任抽取两个产品的所有样本点即样本空间为:

 ; 则任取 2 件 1 件不合格的样本点集合为:

 。

 (2)记 2 个白球分别为 , ,3 个黑球分别为 , , ,4 个红球分别为 , , ,。则:

 任取一个球的所有样本点即样本空间为:

 { , , , , , , , , }。

 (ⅰ)取出白球的样本点集合为:

 ; (ⅱ)取出红球的样本点集合为:

 。

 (3)设 a 个白球分别为 ,b 个黑球分别为 。

 甲先取、乙后取,每次取后都不放回,直到两人中有一人取到白球的所有样本点即样本点空间为:

 ; 则甲先取、乙后取,每次取后都不放回,直到两人中有一人取到白球时停止,甲先取到白球的样本点集合为:

 。其中后面的样本点 中都不包括前面的 。

 1.2

 在数学系的学生中任选一名学生,令事件 A 表示被选学生是男生,事件 B 表示该学生是三年级学生,事件 C 表示该学生是运动员, (1)叙述事件 的意义. (2)在什么条件下 ABC=C 成立? (3)什么时候关系式 C B 是正确的? (4)什么时候 成立? 答:(1)事件 表示该是三年级男生,但不是运动员。

 (2)

 等价于 ,表示全系运动员都是三年级的男生。

 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。

 1.3

 一个工厂生产了 n 个零件,以事件 A i 表示他生产的第 i 个零件是合格品(1≤i≤n).用 A i 表示下列事件:

 (1)没有一个零件是不合格品; (2)至少有一个零件是不合格品; (3)仅仅只有一个零件是不合格品; (4)至少有两个零件是合格品. 答:设 ( )表示第 个零件是合格品,则 表示的是第 个零件是不合格品;

 (1)没有一个零件是不合格品,即 样本点个数为 0,即:

 ; (2)至少有一个零件是不合格的,则 ; (3)仅仅只有一个零件是不合格的,则在 的基础上,有 ; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为 。

 1.4

 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率. 答:样本点总数为 。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、13 中的两个,或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合,所以事件 “所得分数为既约分数”包含 个样本点。于是所得分数为既约分数的概率为:

 。

 1.5

 一个小孩用 13 个字母:A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T 做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的(等可能的),问恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大? 答:显然样本点总数为( )个,事件 “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含了( )个样本点。

 所以

  1.6

 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上 7 位乘客.电梯在每一层都停,从第二层起有乘客离开电梯.假设每位乘客在任意一层离开电梯都是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.

 答:每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯,现有 7 位乘客,所以样本点总数为 。事件 “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层,各有一位乘客离开电梯”。所以包含 个样本点,于是 。

 1.7

 某城市共有 10000 辆自行车,其牌照编号从 00001 到 10000.问事件“偶然遇到的一辆自行车,其牌照号码中有数字 8”的慨率有多大? 答:用 表示“牌照号码中有数字 8”,则 的样本点个数有 个显然 ,所以:

 - 。

 1.8

 有 5 双不同的鞋子,从中任取 4 只,问没有一双配对的概率. 答:设没有一双配对为事件 A,从 5 双不同的鞋子中任选 4 只的总样本个数为 ,设 A={没有一双配对},没有一双配对的样本点总个数为 ,则没有一双配对的慨率为。

 1.9

 袋中有 n 只黑球,b 只白球,把球随机一只一只地摸出来(不放回),求第 k 次(1≤k≤n+b)摸出黑球的概率. 答:设 A={第 k 次摸出黑球},(1≤k≤n+b),将 1……n+b 的任一排列看成一个样本点,则样本点总数是(n+b)!,给第 k 次预留一个黑球,其余的随机取,那么保证第 k 次取到黑球的总的取法是 ,故 。

 1.10

 任取一个正整数,求下列事件的概率:

 (1)该数平方的末位数字是 1;

 (2)该数四次方的末位数字是 1; (3)该数立方的最后两位数字都是 1. 答:(1)平方的末位数字是 1 的数字只要是该数的个位数为 1 或者 9,任何正整数个位上的可能取数为 0,1,2,…,9.从而个位数为 1 或者 9 的数字是所有正数的 ,所以该事件概率为:

 ; (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时,其四次方的末位数是 1,所以所求事件的概率为 ; (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含个样本点。用事件 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”,则该数的最后一位数字必须是 1,设最后第二位数字为 ,则该数的立方的最后两位数字为 1 和 3 ,要使 3 的个位数是 1,则必须 ,因此 所包含的样本点只有 71 这一点,于是该事件概率为:。

 1.11

 一个人把 6 根绳子紧握在手中.仅露出绳子的头和尾.然后请另一个人把 6 个头两两相接。6 个尾也两两相接.求放开手以后,6 根绳子恰巧连成一个环的概率,并把上述结果推广到 2n 根绳子的情形. 答:(1)6 根草的情形。取定一个头,它可以与其它的 5 个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的 3 个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有种接法,同样对尾也有 种接法,所以样本点总数为 。

 用 表示“6 根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有 种连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另 4 根草。再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法共有种。所以 包含的样本点数为 ,于是 ; (2)

 根草的情形和(1)类似得:

 。

 1.12

 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率. 答:乘客候车时间不超过 3 分钟,只需要乘客在下部公交车到达之前的三分钟之内到达,这个事件是候车时间的 ,所以所求概率为 。

 1.13

 在△ ABC 中任取一点 P,证明:△ ABP 与△ ABC 的面积之比大于 的概率为 证明:从 C 点向 AB 边做垂线,垂点为 D,并在 CD 上截取 ,记为 点,过作平行于 AB 边的直线 ,交 AC 和 BC 分别为 和 ,则当且仅当点 落入 之内时 的面积之比大于 ,因此所求概率为。

 1.14

 在线段 AB 上任取三点 x 1 、x 2 、x 3 ,求:

 (1)x 2 位于 x 1 与 x 3 之间的概率; (2)Ax 1 ,Ax 2 ,Ax 3 能构成一个三角形的概率. 答:(1)记 位于 与 之间为事件 A,首先随机地固定 与 的位置,然后线段 会被分为三部分, 可以落于 与 之间的任意位置,所以 ; (2)记 能构成一个三角形为事件 , 表示 不能构成三角形,则,从而:

 。

 1.15

 已知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定是不可能事件?试举例说明之. 答:当样本空间是离散有限集合时概率为 0 的事件一定是不可能事件。但对于样本空间是无限的集合时,概率为零的事件不一定是不可能事件。

 例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件 =“该点命中线段的中点”的概率等于零,但命中中点是有可能发生的事情,即 不是不可能事件。

 1.16

 设 A1,A2 为两个随机事件.证明:

 (1)

 (2)

 证明:(1)

 =

 = ; (2)由(1)和 得第一个不等式,因为 ,由概率的单调性可得第二个不等式,又因为 ,即由半可加性得第三个不等式。

 1.17

 对任意的随机事件 A,B,C,证明:P(AB)+P(AC)-P(BC)≤P(A)

 证明:因为 , 并且 ,所以 。

 1.18

 设 A,B,C 是三个随机事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(AC)=1/8,P(BC)=0.求 P(A∪B∪C)

 答:

 ,因为 。所以 。

 1.19

 在某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙,在这个城市的居民中,订甲报的有 45%,订乙报的有 35%,订丙报的有 30%,同时订甲、乙两报10%,同时订甲、丙两报的有 8%,同时订乙、丙两报的有 5%,同时订三种报纸的有 3%,求下述百分比:

 (1)只订甲报的; (2)只订甲、乙两报的; (3)只订一种报纸的; (4)正好订两种报纸的; (5)至少订一种报纸的; (6)不订任何报纸的. 答:设 A 表示订甲报,B 表示订乙报,C 表示订丙报。

 (1)只订甲报是事件为 ,

 =45%-10%-8%+3%=30% (2)只订甲乙两报的事件为 ,

 (3)只订一种报纸的事件为

  (4)正好订两种报纸概率为

 (5)至少订一种报纸的概率为

 (6)不订任何报纸的概率为

  1.20

 设 A 1 ,A 2 ,…,A n 为 n 个随机事件,证明:

 (1)

 (2)

 证明:(1)用数学归纳法:当 时即为 这显然是成立的; 假设对于 是大于 2 的正整数)成立; 即 ; 则当 时

  由归纳法可知对于任意的正整数 n 等式都成立。

 (2)同样用数学归纳法:当 时即为 显然是成立的; 假设对于 是大于 2 的正整数)成立; 即

  则当 时,

 =

 即正得当 n=m+1 也成立。

 由归纳法可知对于任意的正整数 n 等式都成立。

 1.21

 某班有 n 个学生参加口试,考签共 N 张,每人抽到考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考签没有被抽到的概率是多少? 答:用 表示“第 张考签没有被抽到”, 。则至少有一张考签没有被抽到的事件为为 ,即要求 , , ,……, ,

 ……, 所以所求概率为 。

 1.22

 从 n 阶行列式的一般展开式中任取一项.问这项包含主对角线元素的概率为多少? 答:

 阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为 ,当且仅当的排列 中存在 使 时这一项包含主对角线元素。用 表示事件“排列中 ”即第 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

  ,……, 所以所取项包含主对角线元素的概率为

 。

 1.23

 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率(假设一个小孩是男孩或女孩是等可能的). 答:这是条件概率,用 分别表示男孩和女孩。则样本空间为:

 其中样本点依年龄大小的性别排列。

 表示“有女孩”, 表示“有男孩”,则

 。

 1.24

 设 M 件产品中 m 件是不合格品,从中任取两件, (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率; (2)在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件是不合格品的概率.

 答:(1)设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”, 表示“所取产品都是不合格品”,则有 :

 , ,所以:

 ; (2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品”, 表示“所取产品中有一件合格品,一件不合格品”。则有 :

 , ,所以:

 。

 1.25

 设 0<P(A)<1,0<P(B)<1,已知 .证明:

 证明:

 ,因为 0<P(A)<1,0<P(B)<1,所以有,即 ,展开有,即 P(AB)>P(A)P(B)。要证 ,即证 ,展开有,即 P(AB)>P(A)P(B)。而由已知条件可推出此式是成立的,故得证。

 1.26

 设 P(A)=0.6,P(B)=0.8,试证:

 ,且当 =0.5 时,试求

 答:

 , , 故有 。

 当 =0.5 时,P(AB)=0.6, 则 。

 1.27

 举例说明:对任意两个事件 A,B,无条件概率 P(A)与条件概率 P(A|B)之间没有固定的大小关系. 答:例:两个事件 A,B,相互独立时,条件概率 P(A|B)=P(A); 而当 时,设 , , ,则 P(A|B)= , 显然 P(A|B)

 P(A)。

 1.28

 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求:

 (1)已知前 k-1(k≤n)个人都没有摸到,求第 k 个人摸到的概率; (2)第 k(k≤n)个人摸到的概率. 答:设 表示“第 个人摸到”, 。

 (1)只有当前 k-1 人没有摸到,第 k 人才可能摸到, 则第 k 个人摸到的概率为 ; (2)第 k(k≤n)个人摸到的概率为

 。

 1.29

 袋中装有 1 个黑球和 n﹣1 个白球,每次从中随机摸出一球,并放入白球,连续进行,问第 k 次摸到白球的概率是多少? 答:考虑对立事件,假设第 k 次摸到的是黑球,那么前 k-1 次必须摸的是白球,否则黑球就被换掉。

 前 k-1 次摸的是白球,第 k 次摸的是黑球的概率为 , 所以第k 次摸球摸到黑球的概率为 。

 1.30

 已知一个母鸡生 k 个蛋的概率为 (A>0),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 p,证明:一个母鸡恰有 r 个下一代(即小鸡)的概率为

 证明:用 表示“母鸡生 个蛋”, 表示“母鸡恰有 个下一代”,则

 。

 1.31

 某射击小组共有 20 名射手,其中一级射手 4 名,二级射手 8 名,三级射手 7 名,四级射手 1 名,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2,求在小组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率. 答:用 表示“任选一名射手为 级”, , 表示“任选一名射手能进入决赛”,则该选手能进入决赛的概率为

 。

 1.32

 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1,它们在一定时问内需要修理的概率之比为 1:2:3:1.当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少? 答:用 表示“任一机床坏是车床”

 表示“任一机床坏是钻床”

  表示“任一机床坏是磨床”

  表示“任一机床坏是刨床”。

 表示 “任一机床坏需要修理” 由题可得:

 , , ,

 , , ,

 由贝叶斯公式得:

 。

 1.33

 设 P(A|B)=0.5,P(B|A)=0.4,P(A)=0.6.求 P(A∪B),并问事件 A 与 B是否相互独立,为什么? 解:

 =0.6+0.48-0.24=0.84

 所以事件 A 与事件 B 不相互独立

 1.34

 若 A,B 相互独立,证明:

 中任何一个事件与 中任何一个事件是相互独立的. 答:空集和全集与任何事件都是相互独立的,它们本身也是相互独立的。又 A 与 B 相互独立, , 则 ,故 与 相互独立,同理可得与 相互独立, 与 相互独立。因此,两个集合中的事件都是相互独立的。

 1.35

 证明:若三个事件 A,B,C 相互独立,则 A∪B、AB 及 A-B 都与 C 相互独立. 答:(1)

 = ; (2)

 ;

 (3)

 = 。

 由上,可以得到 、 及 都与 独立。

 1.36

 设 A,B 为两个相互独立的随机事件,P(A)+P(B)=1,证明:

 证明:

 ,又由题意有,A,B 相互独立,则 且P(A)+P(B)=1,故

 = 。

 1.37

 已知事件 A,B 相互独立且互不相容,求 min{P(A),P(B)}(注:min{x,y}表示取 x 与 y 中更小的一个数). 答:一方面 P(A),P(B)

 0,另一方面 P(A)P(B)=P(AB)=0,即 P(A),P(B)中至少有一个等于 0,所以 min(P(A),P(B))=0。

 1.38

 试举例说明:由 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出 P(AB)=P(A)P(B)一定成立. 答:设 ,同时有:

 , , ; 记 , , ,则

 ,

  , 但是 。

 1.39

 设两两相互独立的三个事件 A,B 和 C 满足条件:ABC=∅,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知 P(A∪B∪C)=9/16,求 P(A)· 答:因为三个事件 A,B 和 C 两两相互独立,且 ABC=∅,故

 ,解得 P(A)= ,又 P(A)< ,所以 P(A)= 。

 1.40

 一个人的血型为 O、A、B、AB 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率:

 (1)两个人为 O 型,其他三个人分别为其他三种血型; (2)三个人为 O 型,两个人为 A 型; (3)没有一个人为 AB 型. 答:(1)从 5 个人任选 2 人为 型,共有 种可能,在其余 3 人中任选一人为 型,共有三种可能,在余下的 2 人中任选一人为 型,共有 2 种可能,另一人为 型,因此所求概率为:

 ;

 (2)从 5 人中任选 3 人为 型,共有 种可能,剩余两人都是 A 型,因此,所求概率为:

 ; (3)没有一个人为 AB 型的概率为:

 。

 1.41(司法证明问题)

 某银行发生一起抢劫案,现有两个相互独立的证据,每个证据均以 0.7 的证明力可以证明为某一犯罪团伙所为,求这一起抢劫案为这一犯罪团伙所为的概率.若要以 99%以上的概率确定这起抢劫案为这一犯罪团伙所为,问至少需要多少相互独立的证据. 答:记 ={第 i 个人的证据可以证明为某一犯罪团伙所为},A={确定这起抢劫案为某一犯罪团伙所为}。

 设至少需要 n 个相互独立的证据才能以 99%以上的概率确定这起抢劫案为这一犯罪团伙所为。

 则这一起抢劫案为这一犯罪团伙所为的概率为 ,解得 。因此只需 4 个相互独立的证据就可以确定这起抢劫案有 99%的可能是这一犯罪团伙所为。

 1.42 求下列系统的可靠性.设第 i 个元件正常工作的概率为 P i (i=1,2,…,n). (Ⅰ)

 图 1-1

  (Ⅱ)

  图 1-2 (Ⅲ)

 图 1-3 答:(Ⅰ)只有当 n 个元件都正常工作时该系统才正常,因此该系统正常工作的概率为:。

 (Ⅱ)n 个元件只要有一个正常工作该系统就能正常工作,因此该系统正常工作的概率为:

 (Ⅲ)

  1.43

 做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为 p.求在成功 n 次之前已经失败了m 次的概率. 答:用 A 表示“在成功 n 次之前已经失败了 m 次”,B 表示“在前 n+m-1 次实验中失败了 m 次”,C 表示“第 n+m 次试验成功”。

 则所求概率为:P(A)=P(BC)=P(B)P(C)

 。

 二、提高题 1.44

 对任意事件 A,B,证明:

  证明:根据概率的性质可知:

 , ,因此有,带入欲证明的不等式左边则有:

  (1)

 若能证明上述不等式(1)右边项小于等 1/4,即 (2)则结论得证。

 设 P(AB)=x,根据概率知识可知 ,可得不等式

 (3)

 , ,

 (4)

 当 时,上述不等式(4)成立,因此表达式(2)(3)次成立,故由(1)(2)式得 ,即不等式得证。

 1.45

 袋中有 a 只黑球,b 只白球,把球随机地一只只摸出来(不放回),直至袋中剩下的球的颜色都相同为止.求最后剩下的全是黑球的概率. 解:A={最后剩下的球全是黑球}B={前 b 次摸出来的是白球}

  1.46

 把 n 个完全相同的球随机地放入 N 个盒子中(即球放入盒子后.只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入这个盒子,这时也称球是不可辨的).如果每一种放法都是等可能的. 证明:(1)某一个指定的盒子中恰好有 k 个球的概率为

 (2)恰好有 m 个空盒的概率为

 (3)指定的 m 个盒中正好有 j 个球的概率为

 证明:(1)记 A 为事件“指定的某个盒子中恰有 k 个球”,不失一般性,可以认为第一个盒子中有 k 个球,则余下的 n-k 个球放入另外 N-1 个盒子中,类似于样本总点数的计算,此样本点共有 ,考虑到球不可辨,故有

 (2)记 为事件“恰有 个空盒”,它的发生可分为两步描述:

 第一步:从 N 个盒子中任取 m 个空盒子,共有 种描述; 第二步:将 n 个球放入余下的 N-m 个空盒子中,且这 N-m 个空盒子都要有球。当然要求 ,否则第二步发生的概率为零。为了使第二步能够发生,我们设想把 n 个球排成一行,随机抽取球与球之间的 n-1 个间隔中的 N-m-1 个间隔放置火柴棒,共有 种可能,综合上述两步,所求概率为:

 (3)若事件 C 表示“指定的 m 个盒中正好有 j 个球的概率”,这意为着另外 N-m 个盒子中放置 n-j 个球。由类似样本点总数的计算知:j 个球放入 m 个盒子中共有

 种放法,而另外 n-j 个球放入余下的 N-m 个盒子中共有 种做法,于是所求的概率为

  1.47

 在平面上画有间隔为 d 的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为 a、b、c(均小于 d),求三角形与平行线相交的概率. 答:三角形与平行线相交有三种情形:

 (1)一个顶点在平行线上;(2)一条边与平行线重合;(3)两条边与平行线相交。前两种情况出现的概率为零,所以只要考虑第三种情况。

 设 分别为边 ab,ac,bc,a,b,c 与平行线相交的概率。则所求概率为

 ,由蒲丰投针问题知:

 ,因为 ,所以

 ,由此得:

 。

 1.48

 一个袋中有红、黄、黑、白球各 3 个,从中任取 5 个,求至少有一种颜色未取到的概率. 答:设 A 表示“任取 5 个,至少有一个颜色未取”。B 表示“任取 5 个,所有颜色均取”。

 则事件 A 与事件 B 互为对立事件。

 则 。

 1.49

 有 n 个人各填写一份登记表并交一张照片,现在把登记表及照片任意地装入 n 个有姓名的档案袋中(每袋只允许装一份登记表及一张照片),求:

 (1)没有一袋的登记表及照片都装对的概率 P 0 (n);

 (2)恰有 r 袋(1≤r≤n)的登记表及照片都装对的概率 P r (n),并证明:

 解:(1)每袋装对的概率为 1/n,则每袋装错的概率为(1-1/n)。记没有一袋装对为事件 A,则

 (2)恰有 r 袋(1≤r≤n)的登记表及照片都装对的概率

 证明:

  即原式得证。

 1.50

 设 0<P(A)<1,0<P(B)<1,试证:A 与 B 独立的充要条件是

 证明:必要性:

 若 A 与 B 独立,则 P(AB)=P(A)P(B);

  所以 与 独立 , , 故

 充分性:若 , 则 ,整理得:

 =

 即有 P(AB)=P(A)P(B)。

 故 A 与 B 相互独立。

 综上所述:A 与 B 独立的充要条件是

  1.51

 设 A 和 B 为两个随机事件,试证明下述命题:若对任意正概率随机事件 C 有 P(AB|C)=P(A|C)·P(B|C),则 A 与 B 相互独立.该命题的逆命题是否成立? 证明:因为对任意正概率随机事件 C 有 P(AB|C)=P(A|C)·P(B|C),假设事件 C 与事件 A 相互独立,与事件 B 相互独立,与事件 AB 相互独立。

  即若对任意正概率随机事件 C 有 P(AB|C)=P(A|C)·P(B|C),则 A 与 B 相互独立. 逆命题为:若 A 与 B 相互独立,则对任意正概率随机事件 C 有 P(AB|C)=P(A|C)·P(B|C)。即由 P(AB)=P(A)P(B)证

 当且仅当事件 C 与事件 A 相互独立,与事件 B 相互独立,与事件 AB 相互独立时,上式成立。故对任意的正概率事件 C 推不出 ,故逆命题不成立。

 1.52

 甲口袋有 1 个黑球,2 个白球,乙口袋有 3 个白球,每次从两个口袋中各任取一球,交换后,放入另一个口袋,求交换 n 次后,黑球仍在甲口袋中的概率. 解:设 ={交换 n 次后黑球仍在甲袋中},

 又

 所以

  1.53

 r 个人相互传球,从甲开始,每次传球时,传球者等可能地把球传给其余(r-1)个人中的任何一个,求第 n 次传球时仍由甲传出的概率. 解:设 ={第 i 次传球由甲传出}, , 显然 ,且

 所以由全概率公式

 得递推公式

 将 代入以上递推公式可得

 特别当 n 无穷大时,有 。

 1.54

 甲乙两人比赛射击,每次射击胜者得 1 分,每次射击中甲胜的概率为 α,乙胜的概率为 β(α+β=1),比赛进行到有一人比对方多 2 分为止,多 2 分者最终获胜,求甲最终获胜的概率.

 答:甲胜用 A 表示,乙胜用 B 表示。

 甲最终获胜的情况如下:AA,ABAA,BAAA,ABABAA,ABBAAA,……BAABAA,BABAA;P(甲最终获胜)=

 =

  1.55

 口袋中有 a 只白球、b 只黑球和 n 只红球,从中一只只不放回地取球,试求白球比黑球早取出的概率. 解:设白球比黑球早取出的概率为 Pn。n=1 时,分两种情况:

 (1)先取到红球,则剩下 a 个白球 b 个黑球 则白球比黑球先出现概率为:1/(a+b+1))*(a/(a+b))

 (2)先取到白球,则概率为:a/(a+b+1), 总概率为(1/(a+b+1))*(a/(a+b))+a/(a+b+1)=a/(a+b)即 P1=a/(a+b)。下面利用数学归纳法证明。

 假设 n=k 时,概率为 Pk=a/(a+b),则 n=k+1 时,分两种情况 (1)先取到红球,剩下 k 个红球和 a 个白球 b 个黑球。和 n=k 情况相同 则白球比黑球先出现概率为 ((k+1)/(a+b+k+1)))*Pk (2)先取到白球概率为(a/(a+b+k+1))

 总概率为((k+1)/(a+b+k+1)))*Pk+(a/(a+b+k+1))

 =((k+1)/(a+b+k+1))*(a/(a+b))+(a/(a+b+k+1)))

 =a/(a+b)

 即 p(k+1)=a/(a+b)成立. 故对一切 n,Pn=a/(a+b)成立,即白球比黑球先出现的概率为 a/(a+b)。

 1.56

 口袋中有 a 只白球,b 只黑球,从中有放回地一只一只取球,且每次将球放回时,再加入 c 只与此放回的球颜色相同的球,求第 n 次取到白球的概率.

 解:设事件 为“罐中有 a 只白球,b 只黑球时,第 n 次取到的是白球”,记,则显然有 。下面利用数学归纳法证明。设,则由全概率公式可得:

  把第 k+1 次取球分为两段:第一次取球与后 k 次取球。当第一次取到白球时,罐中增加c 个白球,这时从原罐中第 k+1 次取到白球相当于从新罐(含 a+c 个白球,b 个黑球)中第 k 次取到白球,故有

 同理可得

 故

 由归纳法可知结论成立。

 1.57

 n 对夫妇任意地排成一列,求每位丈夫排在他的妻子后面的概率. 答:总排列是(2n)!,首先把 n 个丈夫进行排列共有 n!种可能。然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍,只有 1 种可能,排在第二的丈夫的妻子插入队伍有 3 种可能,……,

 排在第 n 的丈夫的妻子插入队伍有 2n-1 种可能,因此每位丈夫排在妻子后面的总数为n!(2n-1)!,所求概率为 。

 1.58

 某数学家有两盒火柴,每盒都有 n 根火柴,每次用火柴时,他在两盒中任取一盒,并从中抽出一根,求他用完一盒时另一盒中还有 r 根火柴(1≤r≤n)的概率. 答:用 表示“甲盒中尚余 根火柴”,用 表示“乙盒中尚余 根火柴”, 分别表示“第次在甲盒取”,“第 次在乙盒取”, 表示取了 次火柴,且第 次是从甲盒中取的,即在前 在甲盒中取了 ,其余在乙盒中取。所以:, 由对称性知 ,所求概率为:

 。

 1.59

 一个质点从平面上某点开始,等可能地向上、下、左、右四个方向游动,每次游动的距离为 1,求经过 2n 次游动后,质点回到出发点的概率. 答:质点经过 2n 次游动后回到出发点,则质点向上和向下的次数相等,向左和向右的次数相等。并且向左游动的次数 X 可以取 0,1,2,…,n,所求的概率为 =

 1.3 考研真题详解 一、选择题 1.设事件 A,B 相互独立, 则 (

 ). [数一、数三2014 研] A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【答案】B 【解析】

 ,故, 。

 2.设事件 A 与事件 B 互不相容,则(

 )。[数三 2009 研] A.

 B.

 C.

 D.

 【答案】D 【解析】由题意可知,P(AB)=0 P( )=1,即 。

 二、填空题

 1.设 A,B,C 是随机事件,A 与 C 互不相容,P(AB)= ,P = ,则 P(AB| )=__________.[数一、数三 2012 研] 【答案】

 【解析】由条件概率的定义知,P(AB︱ )= ,其中 P( )=1-P(C)=1- = ,P(AB )=P(AB)-P(ABC)= -P(ABC),由于 A,C 互不相容,即AC=Ø,ABC AC,得 P(ABC)=0,代人得 P(AB )= ,故 P(AB )= . 三、解答题 1.袋中有 1 个红球,2 个黑球与 3 个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一个球.以 X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (Ⅰ)求 P{X=1︱Z=0}; (Ⅱ)求二维随机变量(x,y)的概率分布.[数一、数三 2009 研]

 【分析】(Ⅰ)求条件概率,直接利用 计算; (Ⅱ)先确定 X,y 的可能取值,然后逐个计算 X,y 取每一对值的概率. 解:由于本题是有放回地取球,则基本事件总数为 . (Ⅰ)

 . (Ⅱ)X,Y 的可能取值均为 0,1,2,且

  . 所以二维随机变量 f(x,y)的概率分布为 表 1-1

  【评注】本题为基础题型.古典概型概率计算公式如下:

 .

 第 2 章 离散型随机变量 2.1 复习笔记 一、一维随机变量及分布列 1.离散型随机变量 在样本空间 Ω 上,取值于实数域 R,且只取有限个或可列个值的变量 ,称作是一维(实值)离散型随机变量,简称为离散型随机变量。

 2.离散型随机变量的分布列 性质 (1)

 (2)

 。

 3.二项分布 在 n 重伯努利试验中,事件 B 出现 k 次,则有

 通常把二项分布记作 ,一个随机变量 的分布列如果是二项分布,也称该随机变量服从二项分布,记为 。

 在二项分布中,如果 n=1,那么 k 只能取值 0 或 l,这时显然有 也可以表示成:

 表 2-1

 这个分布列称为 0—1 分布或二点分布。

  4.泊松分布 在 n 重伯努利试验中,事件 A 在一次试验中出现的概率为 (与试验总数 n 有关),如果当 时, ( 常数),则有 。

 二、多维随机变量、联合分布列和边际分布列 1.相关概念 (1)多维随机变量 设 是样本空间 上的 n 个离散型随机变量,则称 n 维向量 是 上的一个 n 维离散型随机变量或 n 维随机向量。

 (2)二维联合分布列 设 是一个二维离散型随机变量,他们一切可能取的值为 ,令

 称 是二维离散型随机变量 的联合分布列。

 二维联合分布列具有下面三个性质:

 (1)

 (2)

 (3)

 。

 2.离散型随机变量的相互独立性

 (1)设离散型随机变量 的可能取值为 的可能取值为 ,如果对任意的 ,有

 成立,则称离散型随机变量 和 相互独立。

 (2)设 是 n 个离散型随机量, 的可能取值为 ,如果对任意的一组 恒有

 成立,则称 是相互独立的。

 三、随机变量函数的分布列 1.泊松分布可加性 设 是两个独立的随机变量,它们分别服从参数为 和 的泊松分布,则 服从参数为 的泊松分布。即有:

  四、数学期望的定义和性质 1.相关概念

 (1)离散型随机变量的数学期望 ①在离散型随机变量中,一切可能的取值与对应的概率 之积的和称为该离散型随机变量的数学期望。如果随机变量为 ,则它的数学期望记作 。

 ②若离散型随机变量 可能取值为 其分布列为 ,则当时,称 存在数学期望,并且数学期望为 ;如果,则称 的数学期望不存在。

 (2)若 是一个离散型随机变量,其分布列为

  表 2-2

 又 是实变量 x 的单值函数,如果

 则有 。

 (3)若 是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为 ; 又 是实变量 x,Y 的单值函数,如果

  则有 。

 2.数学期望的性质 (1)若 ,则 存在,且有 特别地,若 是一个常数,则 ; (2)对任一二维离散型随机变量 ,若 存在,则对任意的实数存在且 ; (3)又若 是相互独立的,则 存在且 。

 五、方差的定义及性质 1.方差的定义 设 是一个离散型随机变量,数学期望 存在,如果 存在,则称 为随机变量 的方差,并记作 或 方差的平方根 又称为标准差,常记为 。

 2.方差的常用计算公式

  3.方差的基本性质 (1)若 C 是常数,则 DC=0; (2)若 C 是常数,则

 (3)若 是两个相互独立的随机变量,且 存在,则 . 六、条件分布与条件数学期望

 1.相关概念 (1)条件分布:设二维随机变量为 ,其可能的取值为 则条件分布为:

 ; 由对称性知 。

 (2)条件数学期望:若随机变量 在 条件下的条件分布列为 ,又 , 则称 为 在 条件下的条件数学期望,简称为条件期望,并记作 .

 2.条件期望的性质 (1)若 ,则 存在,且有 特别地,当 C 是一个常数时, (2)若 是两个常数,又 存在,则 存在,且 .

 2.2 课后习题详解 一、习题 2.1

 设随机变量 的分布列为 求:

 (1)C 的值; (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 答:(1)因为 ,所以 . (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 2.2

 设随机变量 只取正整数值,且 与 成反比,求 的分布列。

 答:根据题意知 ,其中常数 待定。由于 ,所以 ,即的分布列为 , 取正整数。

 2.3

 一个口袋中装有 m 个白球,n-m 个黑球,不放回地连续从袋中取球,直到取出黑球时停止,设此时取出 个白球,求 的分布列。

 答:

 可能取值为 如果用 表示第 i 次取到黑球

  所以 的分布列为 。

 2.4

 一个口袋中有 5 只同样大小的球,编号为 l,2,3,4,5,从中同时取出 3 只球,以表示取出球的最大号码,求 的分布列。

 答:因为每次取 3 个球,所以 可能的取值为 3,4,5,且

 所以 的分布列为 表 2-1

  2.5

 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是 2/5,设 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 ξ 的分布列。

 答:由题意知 ,则

  所以 随机变量 的分布列为:

 表 2-2

  2.6

 设某批电子管的合格率为 3/4,不合格率为 1/4,现在对该批电子管进行测试,设第次为首次测到合格品,求 的分布列。

 答:

 的取值为 并且

 即 服从几何分布。

 2.7

 抛掷一枚不均匀的硬币,出现正面的概率为 ,设 为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数,求 的分布列。

 答:设 时,掷到正、反面都出现,而这分为两种情况:

 :第 次之前都为正面,第 次为反面; :第 次之前都为反面,第 次为正面;所以:,其中 。

 2.8

 两名篮球队员轮流投篮,直到某人投中时为止,如果第一名队员投中的概率为 0.4,第二名队员投中的概率为 0.6,求每名队员投篮次数的分布列。

 答:用 表明第一名运动员的投篮次数, 表示第二名运动员的投篮次数。那么{ }={“前 k-1 次两运动员都没有投中,第 k 次第一名运动员投中了} {第一名运动员前 k 次都没有投中,而第二名直到第 k 次才投中}。所以

 事件{ =0}={第一名运动员第一次就投中了}。所以

 当 时, {两名运动员前 k 次都没投中,而第二名直到 k 次才投中},所以

  2.9

 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的泊松分布,问在月初进货时应进多少件此种商品,才能保证当月不脱销的概率为 0.999。

 答:设 为该种商品当月销售数, 为该种商品每月进货数,则 。查泊松分布的数值表,得 。

 2.10

 如果在时间 t(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数量服从参数与 t 成正比的泊松分布,已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2,求在 2 分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

 答:设 为时间 内通过交叉路口的汽车数,则根据题意有:

 ; 当 时, ,所以 ; 当 时, ,因而:

 。

  2.11

 一本 500 页的书共有 500 个错误,每个错误等可能地出现在每一页上(每一页的印刷符号超过 500 个),试求:指定的一页上至少有三个错误的概率。

 答:在指定的一页上出现某一个错误的概率 ,因而,至少出现三个错误的概率为:

 利用泊松定理求近似值,取 ,于是:

 。

 2.12

 某厂产品的不合格率为 0.03,现要把产品装箱,若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 件合格品,那么每箱至少应装多少件产品? 答:设每箱至少装 个产品,其中有 个次品,则要求 ,使得:

 , 利用泊松分布定理求近似值,取 ,于是上式相当于 ,查泊松分布数值表,得 。

 所以每箱至少应装 105 件产品。

 2.13

 设二维随机变量 的联合分布列为:

  求其边际分布列。

 答:注意到 先计算 的分布列

 所以 服从参数为 的泊松分布。

 再来计算 的分布列

 即 。

 2.14

 在一个袋中装有 n 个球,其中有 个红球, 个白球,且 现从中任意地取出r 个球 ,设取出的红球数为 ,取出的白球数为 ,求 的联合分布列及边际分布列。

 答:先求联合分布列。

 对任意的

 再计算 的边际分布列

 最后 的分布列为

  2.15

 在一批产品中,一等品占 50%,二等品占 30%,三等品占 20%,从中任取 4 件,设一、二、三等品的件数分别为 ,求 的联合分布列及边际分布列。

 答:类似于二项分布, 的联合分布列为

 的边际分布列为:

 的边际分布列为:

 的边际分布列为:

 的边际分布列分别为二项分布 。

 2.16

 抛掷一枚均匀的硬币三次,以 表示出现正面的次数,以 表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求 的联合分布列及边际分布列。

 答:

 的取值有 0,1,2,3,并且可知 服从二项分布 。

 的取值为 1,3,并且

 故 的联合分布列为

  的边际分布列为

 的边际分布列为

  2.17

 已知随机变量 同分布,分布列为 表 2-3

 ,且 ,求

 答:

 的联合分布列为 表 2-4

 表 2-5

 那么可知

  2.18

 证明:若随机变量 只取一个值 a,则 与任意的离散型随机变量 相互独立。

 答:设 是任意一个随机变量。由事件的相互独立的定义易知,任给两个事件 A,B,若 那么事件 A,B 相互独立。对任意的 x,因为 ,事件 相互独立,即 ,因此 相互独立。

 实际上 和任意的随机变量都独立。这可以利用第三章随机变量相互独立的定义来证明。设 的联合分布函数为 。

 的分布函数为 。对任意的 x,注意到当 当 因此对于任意的 ,事件

 总是独立的,故

 即 相互独立。

 2.19

 设二维离散型随机变量 的联合分布列为 表 2-6

  问其中的 取什么值时 与 相互独立? 答:由联合分布列的性质 得

  因为 相互独立,所以

 故 所以如果 相互独立,那么 。

 2.20

 设随机变量 与 相互独立,且 ,又 ,定义 问 P 取什么值时 与 相互独立? 答:由题可以知道 的分布列为:

 = ; 。

 而 ,若 与 独立则应该有:

 即 , 解得 ,或者 (舍去),综上,当 时 与 独立。

 2.21

 设随机变量 与 相互独立,且 定义 ,证明 两两独立,但不相互独立。

 答:先计算 的分布列。注意到 只取-1,1 两个值,利用 与 相互独立可得:

 因为 独立,故需要证 两两独立,只需 都与 独立。先证 相互独立,

 的联合分布列为

 观察发现对任意的

  因此 相互独立。

 由对称性知 也相互独立,但是

  所以 不相互独立。

 2.22

 已知离散型随机变量 的分布列为 表 2-7

 求 的分布列。

 答:

 所以 的分布列为:

 2.23

 设随机变量 的分布列为 求 的分布列。

 答:

 只取三个值-1,1,0,并且

  所以 的分布列为:

 表 2-8

  2.24

 设离散型随机变量 与 的分布列为

 且 与 相互独立,求 的分布列。

 答:随机变量 可取值 0,1,2,3,4,且

 所以 的分布列为:

 表 2-9

 2.25

 设独立随机变量 与 分别服从二项分布:

 与 求 的分布列。

 答:显然 可取值 ,且

 即 。

 2.26

 设 与 为独立同分布的离散型随机变量,其分布列为求 的分布列。

 答:令 那么 的取值为 并且对任意的 有:

  2.27

 设随机变量 具有分布:

 求 及

 答:

 2.28

 设 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 的数学期望 为多少? 答:由题意知 服从二项分布 ,所以 ,所以

  2.29

 设离散型随机变量 的分布列为 问 是否有数学期望? 答:因为

 所以 的数学期望不存在。

 2.30

 对三架仪器进行检查,各仪器产生故障是独立的,且概率分别为

 试证:产生故障的仪器数的数学期望为 。

 答:令

  为发生故障的仪器数,则 , 所以 + + 。

 2.31

 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品,从中任意抽取 150 件进行检查,设查得的不合格品数为 ,求 的数学期望。

 答:设 为第 件产品检验的结果, 其值设为 0,1,分别代表不合格、合格,则 的分布列为

 因而

 设 为查得的不合格品数,则

 所以 。

 2.32

 把数字 l,2,…,n 任意地排成一列,如果数字 k 恰好出现在第^个位置上,则称有一个匹配,求匹配数的数学期望。

 答:设 则 的分布列为:

 于是 ; 设匹配数为 ,则 , 因而 。

  2.33

 设 是在 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数,又 ,令 求。

 答:

 令

 则 是匹配数,且 ,所以

  2.34

 从数字 0,1,…,n 中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

 答:设 为所选两个数字之差的绝对值,则

 于是 。

 2.35

 设 为取非负整数值的随机变量,证明:

 (1)

 (2)

 答:

 (1)由于 存在,所以该级数绝对收敛。从而:

 。

 (2)

 存在,所以级数 也绝对收敛,从而

  。

 2.36

 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为 P,试验进行到成功与失败均出现时停止,求平均试验次数。

 答:解法一:设成功与失败均出现时的试验次数为 ,则 , , 利用上题的结论:

 + =1+ 。

 解法二:设成功与失败均出现时的试验次数为 ,则

 2.37

 有 3 只球,4 只盒子,盒子的编号为 l,2,3,4,将球逐个独立地、随机地放入 4只盒子中去,以 表示其中至少有一只球的盒子的最小编号(例如:

 表示第 1 号、第 2号盒子是空的,第 3 号盒子至少有一只球),求

 答:

 =1,2,3,4。P( =1)= ,P( =2)= ,P( =3)= ,P( =4)= ,则 EX= 。

 2.38

 设随机变量 服从参数为 的几何分布,求 及

 答:(1)由 ,知

 下面用倍差法(也称...

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