2021年广东省广州市中考,三轮冲刺复习:相似三角形及其应用

来源:公共英语 发布时间:2021-05-06 点击:

 2021 广州中考 三轮冲刺复习:相似三角形及其应用 一、选择题 1. 如图,将图形用放大镜放大,应该属于 (

  )

 A.平移变换

 B.相似变换 C.旋转变换

 D.对称变换

  2. (2020·河南)如图,在△ ABC中,∠ACB=90°,边BC在 x 轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿 x 轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐标为(

  )

 A. (32,2)

 B. (2,2)

 C. (114,2)

 D. (4,2)

 3. (2020·哈尔滨)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,连接 AD,点 E在 AC 边上,过点 E 作 EF∥BC,交 AD 于点 F,过点 E 作 EG∥AB,交 BC 于点 G,则下列式子一定正确的是(

  )

 A.CDEFECAE

 B. .ABEGCDEF

  C. .GCBGFDAF

 D. .ADAFBCCG

 4. (2019•沈阳)已知△ ABC∽△A"B"C",AD 和 A"D"是它们的对应中线,若 AD=10,A"D"=6,则△ ABC 与△ A"B"C"的周长比是 A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9

 5. (2020·营口)如图,在△ ABC 中,DE∥AB,且CDBD=32,则CECA的值为(

 )

 AEC DB A.35

 B.23

 C.45

  D.32

 6. 如图,弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB,垂足为 H,且 CD=2 2,BD= 3,则AB 的长为(

 )

 A. 2

 B. 3

 C. 4

 D. 5

  7. (2020·河北)

 在图5所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是 A.四边形NPMQ

  B.四边形NPMR

  C.四边形NHMQ

  D.四边形NHMR

 8. (2020·威海)如图,矩形 ABCD 的四个顶点分别在直线 l 3 ,l 4 ,l 2 ,l 1 上.若直线 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ∥l 4 且间距相等,AB=4,BC=3,则 tanα 的值为(

 )

 A. B. C.

 D.

  二、填空题 9. 如图,在△ ABC 中,DE∥BC,BF 平分∠ABC,交 DE 的延长线于点 F,若AD=1,BD=2,BC=4,则 EF=

  .

  10. (2020·南通)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上,设△ABC 的周长为 C 1 ,△ DEF 的周长为C 2 ,则12CC的值等于

 ▲

 . AB CD EF

 11. (2019•百色)如图, ABC △ 与 A"B"C" △ 是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形,若点   2 2 A , ,   3 4 B , ,   6 1 C , ,   6 8 B" , ,则 A"B"C" △ 的面积为__________.

  12. (2019•烟台)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系, ABO △ 与 " A"B"O △ 是以点 P 为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点 P 的坐标为__________.

 13. (2019•永州)如图,已知点 F 是△ ABC 的重心,连接 BF 并延长,交 AC 于点 E,连接 CF 并延长,交 AB 于点 D,过点 F 作 FG∥BC,交 AC 于点 G.设三角形EFG,四边形 FBCG 的面积分别为 S 1 ,S 2 ,则 S 1 :S 2 =__________.

  14.

 (2020·苏州)如图,在平面直角坐标系中,点 A 、 B 的坐标分别为   4,0  、  0,4 ,点   3, C n 在第一象限内,连接 AC 、 BC .已知 2 BCA CAO    ,则n  _________.

  15. (2019•泸州)如图,在等腰 Rt ABC △ 中, 90 C   ∠ , 15 AC  ,点 E 在边 CB 上,2 CE EB  ,点 D 在边 AB 上, CD AE  ,垂足为 F ,则 AD 长为__________.

  16. 如图,在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点 D 在边 AC 上,AD=5,DE⊥BC 于点 E,连接 AE,则△ ABE 的面积等于________.

  三、解答题 17. (2019•广东)如图,在 ABC △ 中,点 D 是边 AB 上的一点.

 (1)请用尺规作图法,在 ABC △ 内,求作 ADE  ,使 ADE B   , DE 交 AC 于 E ;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 2ADDB ,求AEEC的值.

 18. 如图,在锐角三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,AG⊥BC 于点G,AF⊥DE 于点 F,∠EAF=∠GAC. (1)求证:△ ADE∽△ABC; (2)若 AD=3,AB=5,求 AFAG 的值.

  19. 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E,求 DE 的长.

  20. (2020·杭州)如图,在 ABC △ 中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上, DE AC ∥ ,EF AB ∥ . FEDC BA (1)求证:

 E BDE FC ∽△ △ . (2)设12AFFC , ①若BC=12,求线段BE的长; ②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.

  21. 如图,△ABC 中,∠ACB=90°,D 为 AB 上一点,以 CD 为直径的⊙O 交BC 于点 E,连接 AE 交 CD 于点 P,交⊙O 于点 F,连接 DF,∠CAE=∠ADF. (1)判断 AB 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 PF∶PC=1∶2,AF=5,求 CP 的长.

  22. 如图,☉O 是△ ABC 的外接圆,AB 是直径,D 是 AC 中点,直线 OD 与☉O相交于 E,F 两点,P 是☉O 外一点,且 P 在直线 OD 上,连接 PA,PC,AF,满足∠PCA=∠ABC. (1)求证:PA 是☉O 的切线; (2)证明:EF 2 =4OD·OP; (3)若 BC=8,tan∠AFP= ,求 DE 的长.

 23. 如图①,⊙O 是△ ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,OD∥AC,OD 交⊙O于点 E,且∠CBD=∠COD. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)若点 E 为线段 OD 的中点,求证:四边形 OACE 是菱形. (3)如图②,作 CF⊥AB 于点 F,连接 AD 交 CF 于点 G,求 FGFC 的值.

 24. 在矩形 ABCD 中,AD=4,M 是 AD 的中点,点 E 是线段 AB 上一点,连接EM 并延长交线段 CD 的延长线于点 F. (1)如图①,求证:△AEM ≌△DFM; (2)如图②,若 AB=2,过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 于点 G,求证:△GEF 是等腰直角三角形; (3)如图③,若 AB=2 3,过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 的延长线于点 G,若MG=nME,求 n 的值.

 2021 广州中考 三轮冲刺复习:相似三角形及其应用- 答案 一、选择题 1. 【答案】

 B

  2. 【答案】

 B 【解析】∵点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0),∴OC=2,AC=6,OB=7, ∴BC=9,正方形的边长为2.将正方形OCDE沿 x 轴向右平移,当点E落在AB边上时,设正方形与 x 轴的两个交点分别为G、F,∵EF⊥ x 轴,EF=GF=DG=2,∴EF∥AC,D,E两点的纵坐标均为2, ∴EF BFAC BC= ,即26 9BF= ,解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2,∴ D点的横坐标为2,∴点D的坐标为 (2,2).

  3. 【答案】

 C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似,∵EF∥BC,∴ECAEFDAF ,∵EF∥BC,∴ECAEGCBG ,∴GCBGFDAF 因此本题选 C.

 4. 【答案】

 C 【解析】∵△ABC∽△A"B"C",AD 和 A"D"是它们的对应中线,AD=10,A"D"=6, ∴△ABC 与△ A"B"C"的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3.故选 C.

 5. 【答案】

 A 【解析】利用平行截割定理求CECA的值.∵DE∥AB,∴CEAE=CDBD=32,∵CE+AE=AC,∴CECA=35.

 6. 【答案】

 B 【解析】由垂径定理可得 DH= 2,所以 BH= BD 2 -DH 2 =1,又可得△DHB∽△ADB,所以有 BD 2 =BH·BA,( 3) 2 =1×BA,AB=3.

  7. 【答案】

 A 【解析】解析:连接AO并延长AO至点N,连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延

 长CO至点M, 连接DO并延长DO至Q,可知12AO BO CO DONO PO MO QO   ,所以以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ,故答案为A.

 8. 【答案】

 :作 CF⊥l 4 于点 F,交 l 3 于点 E,设 CB 交 l 3 于点 G,由已知可得,GE∥BF,CE=EF, ∴△CEG∽△CFB,∴ ,∵ ,∴ , ∵BC=3,∴GB , ∵l 3 ∥l 4 ,∴∠α=∠GAB, ∵四边形 ABCD 是矩形,AB=4,∴∠ABG=90°,∴tan∠BAG ,∴tanα 的值为 , 故选:A.

  二、填空题 9. 【 【 答案】

 [解析]∵DE∥BC,AD=1,BD=2,BC=4,∴ = ,即 = ,解得:DE= . ∵BF 平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC, 又∵DE∥BC,∴∠FBC=∠F, ∴∠ABF=∠F,∴BD=DF=2, ∵DF=DE+EF,∴EF=2- = . 故答案为: .

  10. 【答案】22 【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似,且相似比为 1: 2 ,所以周长比为1: 2 .故答案为:22.

  11. 【答案】

 18 【解析】∵ ABC △ 与 A"B"C" △ 是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形, 若点   3 4 B , ,   6 8 B" , ,∴位似比为3 1=6 2, ∵   2 2 A , ,   6 1 C , , ∴     4 4 12 2 A" C" , , , , ∴ A"B"C" △ 的面积为:1 1 16 8 2 4 6 6 2 8 182 2 2           , 故答案为:18.

 12. 【答案】

 ( 3 2)  ,

 【解析】如图,连接 B"B 并延长, A"A 并延长, B"B 与 A"A 的交点即为位似中心 P点,

 由图可知 B" 、B、P 在一条直线上,则 P 点横坐标为–3, 由图可得 ABO △ 和 " A"B"O △ 的位似比为3 16 2 " "OBO B  , 2 BB , 所以12PB PBPB" PB BB" ,解得 PB=2, 所以 P 点纵坐标为 2,即 P 点坐标为 ( 3 2) , .故答案为:

 ( 3 2)  , .

 13. 【 【 答案】18 【解析】∵点 F 是△ ABC 的重心,∴BF=2EF,∴BE=3EF, ∵FG∥BC,∴△EFG∽△EBC, ∴13EFBE ,1EBCSS△(13) 219 ,

 ∴S 1 ∶S 2 ,故答案为:18.

 14. 【答案】145或2.8 【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,过点C作CD⊥y轴于点D,设AC交y轴于点E,∴CD∥x轴,∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA,∵2 BCA CAO   ,∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x,则OE=4-2x,∴DCAO =DEEO ,即34 =x4-2x ,解得x=1.2.∴OE=4-2x=1.6,∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.

 15. 【答案】

 9 2

 【解析】如图,过 D 作 DH AC  于 H ,则∠AHD=90°,

 ∵在等腰 Rt ABC △ 中, 90 C   ∠ , 15 AC  , ∴ 15 AC BC   , 45 CAD    , ∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD, ∴ AH DH  , ∴CH=AC–AH=15–DH, ∵ CF AE  ,∴ 90 DHA DFA     , 又∵∠ANH=∠DNF,∴ HAF HDF   , ∴ ACE DHC △ ∽△ ,∴DH CHAC CE , ∵ 2 CE EB  ,CE+BE=BC=15,∴ 10 CE  , ∴1515 10DH DH  , ∴ 9 DH  , ∴2 29 2 AD AH DH   ,故答案为:

 9 2 .

 16. 【答案】

 78 【解析】如解图,过 A 作 AH⊥BC,∵AB=15,AC=20,∠BAC=90°,∴由勾股定理得,BC= 15 2 +20 2 =25,∵AD=5,∴DC=20-5=15,∵DE⊥BC,∠BAC=90°,∴△CDE∽△CBA,∴ CECA =CDCB ,∴CE=1525 ×20=12. 法一:BC·AH=AB·AC,AH= AB·ACBC= 15×2025=12,S △ ABE = 12 ×12×13=78. 法二:DE= 15 2 -12 2 =9,由△ CDE∽△CAH 可得, CDCA =EDHA ,∴AH=9×2015=12,S △ ABE = 12 ×12×13=78.

 三、解答题 17. 【答案】

 (1)如图所示:

 (2)∵ ADE B  , ∴ DE BC ∥ . ∴ 2AE ADEC DB  .

 18. 【答案】

 【思维教练】(1)要证△ ADE∽△ABC,现已知∠EAD=∠CAB,故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例.由题干条件易知∠EAF=∠GAC,∠AFE=∠AGC,故△ AEF∽△ACG,∠AEF=∠C,由两角对应相等即可得证;(2)由(1)中的结论,利用相似三角形的性质求解即可. (1)证明:在△ ABC 中,∵AG⊥BC 于点 G,AF⊥DE 于点 F, ∴∠AFE=∠AGC=90°, 在△ AEF 和△ ACG 中, ∵∠AFE=∠AGC,∠EAF=∠GAC, ∴△AEF∽△ACG,∴∠AEF=∠C.(2 分) 在△ ADE 和△ ABC 中,

 ∵∠AED=∠C,∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC;(4 分) (2)解:由(1)知△ ADE∽△ABC, ∴ ADAB =AEAC =35 ,(6 分) 又∵△AEF∽△ACG,∴ AFAG =AEAC =35 .(8 分)

  19. 【答案】

 解:∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD. ∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠CBD=∠D,∴CD=BC=6. 在 Rt△ ABC 中,AC= = =8. ∵AB∥CD,∴△ ABE∽△CDE, ∴ = = = = , ∴CE= AE,DE= BE,即 CE= AC= ×8=3. 在 Rt△ BCE 中,BE= = =3 , ∴DE= BE= ×3 = .

  20. 【答案】

 解:

 (1)∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC. (2)①∵EF∥AB,∴BEEC=AFFC=12.∵BC=12,∴12BEBE =12,∴BE=4. ②∵EF∥AB,∴△EFC△BAC,∴EFCBACSS=2( )ECBC.∵BEEC=12,∴ECBC=23.又∵△EFC的面积是20,∴20BACS =22( )3,∴S△ABC=45,即△ABC的面积是45.

 21. 【答案】

 解:(1)AB 与⊙O 相切.理由如下:

 ∵∠ACB=90°, ∴∠CAE+∠AEC=90°, 又∵∠AEC=∠CDF,∠CAE=∠ADF, ∴∠CDF+∠ADF=90°, ∴∠ADC=90°, 又∵CD 为⊙O 的直径, ∴AB 与⊙O 相切.(3 分)

 (2)如解图,连接 CF,

  解图 ∵CD 为⊙O 的直径, ∴∠CDF+∠DCF=90°, 又∵∠CDF+∠ADF=90°, ∴∠DCF=∠ADF, 又∵∠CAE=∠ADF, ∴∠CAE=∠DCF, 又∵∠CPA=∠FPC, ∴△PCF∽△PAC, ∴ PCPA =PFPC ,(6 分) 又∵PF∶PC=1∶2,AF=5, 故设 PF =a,则 PC=2a, ∴2aa+5 =a2a , 解得 a= 53 , ∴PC=2a=2×53 =103.(8 分)

  22. 【答案】

 解:(1)因为点 D 是 AC 中点,所以 OD⊥AC,所以 PA=PC,所以∠PCA=∠PAC,因为 AB 是☉O 的直径, 所以∠ACB=90°,所以∠ABC+∠BAC=90°, 因为∠PCA=∠ABC,所以∠PAC=∠ABC, 所以∠PAC+∠BAC=90°,所以 PA⊥AB,所以 PA 是☉O 的切线. (2)因为∠PAO=∠ADO=90°,∠AOD=∠POA,所以△ PAO∽△ADO,所以 = , 所以 AO 2 =OD·OP, 所以 EF 2 =AB 2 =(2AO) 2 =4AO 2 =4OD·OP. (3)因为 tan∠AFP= ,所以设 AD=2x, 则 FD=3x, 连接 AE,易证△ ADE∽△FDA, 所以 = = ,

 所以 ED= AD= x, 所以 EF= x,EO= x,DO= x, 在△ ABC 中,DO 为中位线, 所以 DO= BC=4, 所以 x=4,x= ,所以 ED= x= .

  23. 【答案】

 (1) 证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠BCA=90°, ∴∠ABC+∠BAC=90°, ∵OD∥AC,∴∠ACO=∠COD. ∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO, 又∵∠COD=∠CBD, ∴∠CBD=∠BAC, ∴∠ABC+∠CBD=90°, ∴∠ABD=90°, 即 OB⊥BD, 又∵OB 是⊙O 的半径, ∴BD 是⊙O 的切线; (2) 证明:如解图,连接 CE、BE, ∵OE=ED,∠OBD=90°, ∴BE=OE=ED, ∴△OBE 为等边三角形, ∴∠BOE=60°, 又∵AC∥OD, ∴∠OAC=60°, 又∵OA=OC, ∴△OAC 为等边三角形, ∴AC=OA=OE, ∴AC∥OE 且 AC=OE, ∴四边形 OACE 是平行四边形,而 OA=OE, ∴四边形 OACE 是菱形;

  解图 (3) 解:∵CF⊥AB, ∴∠AFC=∠OBD=90°,而 AC∥OD, ∴∠CAF=∠DOB, ∴Rt△ AFC∽Rt△ OBD, ∴ FCBD =AFOB ,即 FC=BD·AFOB, 又∵FG∥BD, ∴△AFG∽△ABD, ∴ FGBD =AFAB ,即 FG=BD·AFAB, ∴ FCFG =ABOB =2, ∴ FGFC =12 .

  24. 【答案】

 (1) 证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠EAM=∠FDM=90°, ∵M 是 AD 的中点, ∴AM=DM, 在△AME 和△DMF 中,  ∠A=∠FDBAM=DM∠AME=∠DMF, ∴△AEM≌△DFM(ASA); (2) 证明:如解图①,过点 G 作 GH⊥AD 于 H,

 解图① ∵∠A=∠B=∠AHG=90°, ∴四边形 ABGH 是矩形, ∴GH=AB=2, ∵M 是 AD 的中点,

 ∴AM= 12 AD=2,∴AM=GH, ∵MG⊥EF,∴∠GME=90° ∴∠AME+∠GMH=90°. ∵∠AME+∠AEM=90°, ∴∠AEM=∠GMH, 在△AEM 和△HMG 中,  AM=GH∠AEM=∠GMH∠A=∠AHG, ∴△AEM ≌△HMG, ∴ME=MG, ∴∠EGM=45°, 由(1)得△AEM≌△DFM, ...

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