初二数学竞赛试题

2014年秋初二数学竞赛试题 （满分：150分；
考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的.答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分． 1.在实数范围内算术平方根等于它本身的数有（ ）
A.个 B. 个 C.个 D. 个 2.下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D. 3.下列分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D． 4.下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 5.下列命题正确的是( ) A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 三边对应相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 周长相等的两个三角形全等 6.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图所示，则能说明 的依据是(　　) A．ASA B． SSS C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 7.若 ，则的值为（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共40分）：
8. 计算：
． 9. 写出两个不同的无理数，使这两个无理数的积为有理数，那么 这两个无理数可以是 和 ． 10.如果，且，那么　　　　　　　 ． 11. 计算：
． 12. 命题：“如果两个角互余，那么这两个角的和为”的逆命题为 ． 13.如图，已知在中，是的中点，，，垂足分别是、，，则图中有 对 全等三角形． 14.若 则__________． 15..如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________． 16.如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为 ． 17.如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小菁依下列方法作图：
① 作∠A的角平分线交BC于D点． ② 作AD的中垂线交AC于E点，交AD于F点． ③ 连接． (1)根据所画的图形，下列正确的是（填序号）
；

A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD (2)若，则__________． 三、解答题（共89分）：
18.（9分）计算：
19. (9分) 计算：
20. (9分)已知，求代数式的值. 21. (9分)如图，在中，,，点是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与，重合，连接，.试猜 想线段和的数量及位置关系，并加以证明． 22．(9分)若，求代数式的值． 23.（9分）如图，已知于点，于点，且，相交于点． 求证：(1)当时，；

(2)当时，． 24.（9分）如图，在四边形中，，是的平分线， ∥，连接、， 求证：（1）
（2）是的平分线． 25.（13分）如图，把一张边长为厘米的正方形纸片四角均剪去一个边长为 (<)厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒． （1）①用含、的代数式表示纸片（阴影部分）的面积；

②当，时，利用因式分解计算折合后纸盒的表面积；

（2）当，时,求出纸盒的底面积． 26.（13分）已知：如图1，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点. (1)求证：；

(2)求证：为等边三角形；

(3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）. 初二 数 学 试 题 参考答案及评分意见 说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分意见”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；
如属严重的概念性错误，就不给分． 一、选择题（每小题3分，共21分）
1．C　 2．C　 3．D　 4．A　 5．B 6．B 7．A 二、填空题（每小题4分，共40分）
8．　9．不唯一 如：， 10． 　11．　12．如果两个角的和为，那么这两个角互余. 13． 14．　15．α=β+γ 16．4 17．⑴ B ⑵ 三、解答题（共89分）
18. 解原式……………………………………………6分 …………………………………………………………9分 19.解：原式 …………………………3分 ………………………………………6分 ……………………………………………………9分 20．解：∵ …………………………………4分 当 即 ∴……………………………………9分 21．解：BE＝EC，BE⊥EC 证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD. ∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°. 又∵EA＝ED ∴△EAB≌△EDC (SAS) ……………………………………………………5分 ∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC. ∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC. ……………………9分 22．解：由，得：
…………………………………5分 ………………………9分 23．证明：(1)∵∠1＝∠2，CD⊥AB，BE⊥AC， ∴OE＝OD. ∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°， ∴△OEC≌△ODB（AAS）
∴OB＝OC. ………………………………………………………………４分 (2)∵∠3＝∠4，∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∴△OEC≌△ODB(AAS) ∴OE＝OD. ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴△OEA≌△ODA(HL) ∴∠1＝∠2. ………………………………………………………………９分 24．解：（1）∵是的平分线，∴ 又 ∴≌(SAS) ∴． ………………………………………5分 （2）∵≌ ∴ ∴ ∵∥ ∴ ∴ ∴是的平分线……………………９分 25．解：（1）①（）.…………………………………（4分）
② 折合后纸盒的表面积=.…………（6分）
当a=6.4，b=1.8时， 原式=(6.4+2×1.8)(6.4-2×1.8)=28 …………………………（8分）
（注：没有因式分解得出正确结果，扣1分）
(2) 纸盒的底面积=……………………………………（10分）
当a+2b=8，ab=2时, ………………………（13分）
26．证明(1)∵△ACM， △CBN是等边三角形 ∴AC=MC,BC=NC, ∠ACM=60°, ∠NCB=60°…………………2分 ∴△CAN绕着C点顺时针旋转60°会与△MCB重合， ∴△CAN≌△MCB ∴AN=BM ……………………………………………4分 (2) ∵△CAN≌△MCB ∴∠CAN=∠CMB 又∵∠MCF=180°∠ACM∠NCB=180°60°60°=60° ∴∠MCF=∠ACE ∴△CAE绕着C点顺时针旋转60°会与△CMF重合， ∴△CAE≌△CMF……………………………………………………7分 ∴CE=CF ∴△CEF为等腰三角形, 又∵∠ECF=60° ∴△CEF为等边三角形.……………………………………………(9分) (3)画图正确 ………………………………………………(11分) 结论仍然成立. ………………………………………………………(13分)