第24讲-等差数列及其前n项和（讲义版）

　 第 24 讲-等差数列及其前 n 项和

　 一、 考情分析 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.体会等差数列与一次函数的关系. 二、 知识梳理 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋ 1 －a n ＝d(n∈N + ，d 为常数). (2)如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且 A＝ x＋y2. 2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是 a 1 ，公差是 d，则其通项公式为 a n ＝a 1 ＋(n－1)d. (2)前 n 项和公式：S n ＝na 1 ＋ n（n－1）d2＝ n（a1 ＋a n ）2. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n－m)d(n，m∈N + ). (2)若{a n }为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N + )，则 a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为 d，则 a k ，a k ＋ m ，a k ＋ 2m ，„(k，m∈N + )是公差为 md 的等差数列. (4)若 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，则数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，„也是等差数列. (5)若 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，则数列   S nn也为等差数列. [微点提醒] 1.已知数列{a n }的通项公式是 a n ＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为 p. 2.在等差数列{a n }中，a 1 ＞0，d＜0，则 S n 存在最大值；若 a 1 ＜0，d＞0，则 S n 存在最小值. 3.等差数列{a n }的单调性：当 d＞0 时，{a n }是递增数列；当 d＜0 时，{a n }是递减数列；当 d＝0时，{a n }是常数列.

　 4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2 ＋Bn(A，B 为常数). 三、 经典例题 考点一 等差数列基本量的运算 【例 1-1】

　（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知 { }na 是公差为 1 的等差数列，nS 为 { }na 的前 n 项和，若8 44 S S  ，则10a  （

　 ）

　A．172 B．192 C． 10

　D． 12

　【答案】B 【解析】由8 44 S S  得  1 18 28 4 4 6 a d a d    ，解得1 10 11 19, 92 2a a a     . 【例 1-2】

　（2012·辽宁省高考真题（理））在等差数列{a n }中，已知 a 4 ＋a 8 ＝16，则该数列前 11 项和 S 11 ＝（ ）

　A．58 B．88 C．143 D．176 【答案】B 【解析】等差数列前 n 项和公式1( )2nnn a as ，4 8 1 111111( ) 11( ) 11 16882 2 2a a a as      ． 【例 1-3】

　（2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（文））（2017 新课标全国 I理科）记nS 为等差数列 { }na 的前 n 项和．若4 524 a a   ，648 S  ，则 { }na 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】

　设公差为 d ，4 5 1 1 13 4 2 7 24 a a a d a d a d        ，6 1 16 56 6 15 482S a d a d     ，联立112 7 24,6 15 48a da d   解得4 d ，故选 C. 【例 1-4】

　（2008·陕西省高考真题（文））

　 na 是等差数列，1 24 a a   ，7 828 a a   ，则该数列前 10 项和10S 等于（）

　A．64 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为 d ，由 a 1 +a 2 =4，a 7 +a 8 =28，可得：1 11 146 7 28a a da d a d      

　 解方程组可得1a 1,d 2 = =10 110 910 1002S a d    . 故选：B 【例 1-5】

　（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

　A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块 【答案】C 【解析】设第 n 环天石心块数为na ，第一层共有 n 环， 则 { }na 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， 9 ( 1) 9 9na n n      ， 设nS 为 { }na 的前 n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为2 3 2, ,n n n n nS S S S S   ，因为下层比中层多 729 块， 所以3 2 2729n n n nS S S S     ， 即3 (9 27 ) 2 (9 18 ) 2 (9 18 ) (9 9 )7292 2 2 2n n n n n n n n       

　即29 729 n ，解得 9 n   ， 所以3 2727(9 9 27)34022nS S    . 故选：C

　 规律方法 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 ，a n ，d，n，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 考点二 等差数列的判定与证明 【例 2】

　（2020·江苏省高三专题练习）已知各项均为正数的两个数列  na 和  nb 满足：

　，， （1）设 ， ，求证：数列2nnba          是等差数列； （2）设 ， ，且  na 是等比数列，求1a 和1b 的值．

　【解析】（1）∵ ，∴112 2 2=1n n nnn nnna b baa bba   ． ∴2111n nn nb ba a    ． ∴ 22 2 2 2111 1 *n n n nn n n nb b b bn Na a a a                              ． ∴数列2nnba          是以 1 为公差的等差数列． （2）∵ 0 0n na b   ， ，∴  222 22n nn n n na ba b a b   ． ∴ 12 21 2n nnn na baa b  ．（﹡）

　设等比数列  na 的公比为 q ，由 0na  知 0 q  ，下面用反证法证明 =1 q

　若 1, q  则21 2= 2aa aq ，∴当12log q na 时，1 12nna aq  ，与（﹡）矛盾．

　 若 0 1, q   则21 2= 1aa aq ，∴当11log q na时，1 11nna aq  ，与（﹡）矛盾． ∴综上所述， =1 q ．∴  1*na a n N   ，∴11 2 a   ． 又∵1122? = ?nn nnbb ba a   * n N  ，∴  nb 是公比是12a的等比数列． 若12 a  ，则121a ，于是1 2 3b b b   ． 又由 即 ，得2 21 1 1212=1na a aba ． ∴1 2 3b b b ， ， 中至少有两项相同，与1 2 3b b b   矛盾．∴1 = 2a ． ∴    2 222 2 2 2= = 22 1nb ． ∴1 1= = 2 a b

　规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：

　(1)定义法：对于 n≥2 的任意自然数，验证 a n －a n － 1 为同一常数. (2)等差中项法：验证 2a n － 1 ＝a n ＋a n － 2 (n≥3，n∈N + )都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：

　(1)通项公式：a n ＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (2)前 n 项和公式：S n ＝An 2 ＋Bn(A，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 考点三 等差数列的性质及应用 【例 3-1】

　（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前 n 项和 S n ，公差 d≠0，11ad ．记 b 1 =S 2 ，b n+1 =S 2n+2 –S 2n ，nN ，下列等式不可能．．．成立的是（

　）

　A．2a 4 =a 2 +a 6

　B．2b 4 =b 2 +b 6

　C．24 2 8a a a 

　D．24 2 8b b b 

　【答案】D 【解析】对于 A，因为数列  na 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6    可得，4 2 62a a a   ，A 正确；

　 对于 B，由题意可知，2 1 2 1 2 2 2 2 n n n n nb S a a S       ，1 2 1 2b S a a    ， ∴2 3 4b a a   ，4 7 8b a a   ，6 11 12b a a   ，8 15 16b a a   ． ∴  4 7 82 2 b a a   ，2 6 3 4 11 12b b a a a a      ． 根据等差数列的下标和性质，由 3 11 7 7,4 12 8 8       可得 2 6 3 4 11 12 7 8 4=2 =2 b b a a a a a a b       ，B 正确； 对于 C，       22 24 2 8 1 1 1 1 13 7 2 2 2 a a a a d a d a d d a d d d a           ， 当1a d  时，24 2 8a a a  ，C 正确； 对于 D，    2 22 2 24 7 8 1 1 12 13 4 52 169 b a a a d a a d d        ，     2 22 8 3 4 15 16 1 1 1 12 5 2 29 4 68 145 bb a a a a a d a d a ad d          ，  2 24 2 8 1 124 16 8 3 2 b bb d ad d d a      ． 当 0 d  时，1a d  ，∴  1 13 2 2 0 d a d d a      即24 2 80 b b b   ； 当 0 d  时，1a d  ，∴  1 13 2 2 0 d a d d a      即24 2 80 b b b   ，所以24 2 80 b b b   ，D 不正确． 【例 3-2】

　（2020·梅河口市第五中学高三零模（理））已知  na 为等差数列，nS 为其前 n 项和，若16 a  ，3 50 a a   ，则6 =S _______. 【答案】6 【解析】因为  na 是等差数列，所以3 5 42 0 a a a    ，即40 a  ，又4 13 6 a a d    ，所以 2 d   ， 所以6 16 15 6 6 15 ( 2) 6 S a d         ．故答案为 6． 【例 3-3】

　（2020·全国高考真题（文））记nS 为等差数列  na 的前 n项和．若1 2 62, 2 a a a    ，则10S  __________． 【答案】

　25

　【解析】

　 na 是等差数列，且12 a   ，2 62 a a  

　设  na 等差数列的公差 d

　根据等差数列通项公式：

　 11na a n d   

　 可得1 15 2 a d a d    

　即：

　  2 2 5 2 d d      

　整理可得：

　6 6 d 

　解得：

　1 d 

　根据等差数列前 n 项和公式：*1( 1),2nn nS na d n N  

　可得：

　 1010 (10 1)10 2 20 45 252S       

　1025 S  . 故答案为：

　25 . 【例 3-4】

　（2020·上海高三专题练习）中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________． 【答案】5. 【解析】设数列的首项为1a ，则12015 2 1010 2020 a     ，所以15 a  ，故该数列的首项为 5 ，所以答案应填：

　5 ． 规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N + )，则 a m ＋a n ＝a p＋a q . 2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前 n 项和，则 (1)S 2n ＝n(a 1 ＋a 2n )＝„＝n(a n ＋a n ＋ 1 )； (2)S 2n － 1 ＝(2n－1)a n . 考点四 等差数列的前 n 项和及其最值 【例 4-1】

　（2020·海原县第一中学高三期末（文））记nS 为等差数列 { }na 的前 n 项和，已知17 a   ，315 S   ．

　 （1）求 { }na 的通项公式；

　 （2）求nS ，并求nS 的最小值． 【解析】（1）设{a n }的公差为 d，由题意得 3a 1 +3d=–15． 由 a 1 =–7 得 d=2． 所以{a n }的通项公式为 a n =2n–9．

　 （2）由（1）得 S n =n 2 –8n=（n–4）

　2 –16． 所以当 n=4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件. 【例 4-2】

　（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1 =–10，且 a 2 +10，a 3 +8，a 4 +6 成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）记{a n }的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值． 【解析】（Ⅰ）设等差数列  na 的公差为 d ， 因为2 3 4+10 +8 +6 a a a ， ， 成等比数列，所以23 2 4( +8) ( +10)( +6) a a a  ， 即2(2 2) (3 4) d d d    ，解得 2 d  ，所以 10 2( 1) 2 12na n n      . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 12na n   , 所以2 210 2 12 11 12111 ( )2 2 4nnS n n n n         ； 当 5 n  或者 6 n  时，nS 取到最小值 30  . 【例 4-3】

　（2020·海原县第一中学高三期末（文））记nS 为等差数列 { }na 的前 n 项和，已知17 a   ，315 S   ．

　 （1）求 { }na 的通项公式；

　 （2）求nS ，并求nS 的最小值． 【解析】（1）设{a n }的公差为 d，由题意得 3a 1 +3d=–15． 由 a 1 =–7 得 d=2． 所以{a n }的通项公式为 a n =2n–9． （2）由（1）得 S n =n 2 –8n=（n–4）

　2 –16． 所以当 n=4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 规律方法 求等差数列前 n 项和 S n 的最值的常用方法：

　(1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n ＝an 2 ＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值. (2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求 S n 的最值.

　 ①当 a 1 >0，d<0 时，满足  am ≥0，a m ＋ 1 ≤0的项数 m 使得 S n 取得最大值为 S m (当 a m ＋ 1 ＝0 时，S m ＋ 1 也为最大值)； ②当 a 1 <0，d>0 时，满足  am ≤0，a m ＋ 1 ≥0的项数 m 使得 S n 取得最小值为 S m (当 a m ＋ 1 ＝0 时，S m ＋ 1 也为最小值). [方法技巧] 1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前 n 项和 S n ＝An 2 ＋Bn 及通项 a n ＝pn＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想 (1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于 a 1 ，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a－d，a，a＋d. 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. (3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. 3.用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 a n ＋ 1 －a n ＝d(n≥2)时，应注意验证 a 2－a 1 是否等于 d，若 a 2 －a 1 ≠d，则数列{a n }不为等差数列. 4.利用二次函数性质求等差数列前 n 项和最值时，一定要注意自变量 n 是正整数. 四、 课时作业 1．（2020·安达市第七中学高三月考（文））设nS 为等差数列 { }na 的前 n 项和，8 34 S a  ，72 a  ，则9a  （

　 ）

　A．-6 B．-4 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】由已知得 1 118 78 4 2 ,{ 26 2.a d a da d     解得110,{2.ad 9 18 10 8 2 6 a a d        ． 2．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知等差数列  na 中，22 a  ，前 5 项的和5S 满足515 25 S   ，

　 则公差 d 取值范围为（

　）

　A．1 3,2 2    B．   1,4

　C．   1,3

　D．1,12    【答案】C 【解析】由题可知：

　 5 15 4 5 45 5 2 5 102 2S a d d d d        ， 又515 25 S   ，所以 15 5 10 25 d    ， 解得 1 3 d   . 3．（2020·吉林省实验高一期中）已知等差数列  na 的前 n 项和为nS ，且2 44, 2 a a   ，则5S ＝（

　）

　A．0 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【解析】由等差数列性质可知：1 5 2 44 2 6 a a a a      

　 1 555 5 6152 2a aS    

　4．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列  na 的首项为 1，公差不为 0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列  na 的前 8 项的和8S 为（

　）

　A．64 B．22 C．-48 D．-6 【答案】C 【解析】等差数列  na 的首项为 1 ，设公差 d （ 0 d  ）． 若2a ，3a ，6a 成等比数列，

　所以23 2 6a a a  ，即     21 2 1 1 5 d d d     ， 解得 2 d   ，

　所以  na 的前 8项和为  88 78 1 2 482S       ．

　5．（2020·全国高三其他（文））已知  na 是等差数列，411 a  ，720 a  .若 299na  ，则 n （

　）

　A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】C 【解析】设等差数列  na 的公差为 d ，

　 则113 116 20a da d   ，解得123ad ， 所以1( 1) 2 ( 1) 3 3 1na a n d n n          ， 由 3 1 299 n  ，解得 100 n  . 6．（2020·全国高三其他（理））《张丘建算经》卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布.此问题中若记该女子一月中的第 n 天所织布的尺数为na ，则14 17a a  的值为（

　）

　A．56 B．52 C．28 D．26 【答案】D 【解析】等差数列的首项15 a  ，设公差为 d ，故30 130 2930 3902S a d   ，解得1629d  ，故14 17 12 29 26 a a a d     .故选 D. 7．（2020·四川省阆中中学高三其他（文））已知等差数列  na 的前 n 项和为nS ，且2 5 89 a a a    ，则9S （

　）

　A．21 B．27 C．30 D．36 【答案】B 【解析】由题知：2 5 8 53 9 a a a a     ，所以53 a  . 1 9 59 59( ) 9 29 272 2a a aS a     . 8．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））等差数列 x ， 3 3 x ， 6 6 x ，  的第四项等于（

　）

　A． 0

　B． 9

　C． 12

　D． 18

　【答案】B 【解析】由题得 2(3 3) +(6 6), 0 x x x x      . 所以等差数列的前三项为 0,3,6,公差为 3， 所以等差数列的第四项为 9.

　 9．（2020·全国高三（文））在等差数列  na 中，5 72 a a   ，则  na 的前 11 项的和为（

　）

　A． 11

　B． 11 

　C． 22

　D． 33 

　【答案】A 【解析】由等差数列的性质可得1 11 5 72 a a a a     ，由等差数列的前 n 项和公式可知，等差数列  na 的前11 项和为 1 1111 11 2112 2a a    ，故选：A. 10．（2020·河南省高三三模（文））已知 S n 为等差数列  na 的前 n项和，若5 24 S a  ，则7a ＝（

　）

　A．﹣2 B．0 C．2 D．10 【答案】B 【解析】设等差数列  na 的公差为 d，由5 24 S a  ， 所以1 1 15 10 4 4 , 6 0, a d a d a d      

　则70 a  ． 11． （2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））数列21na   是等差数列，且11 a  ，313a   ，那么5a  （

　）

　A．35 B．35-

　C．5 D．-5 【答案】B 【解析】由于数列21na   是等差数列，所以1 5 32 2 221 1 1 a a a    ， 又11 a  ，313a   ，∴52 2 2211 1 113a    ，解得535a = - ，故选：B. 12．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））在等差数列{a n }中，已知 a 4 ＋a 8 ＝16，则该数列前 11 项和 S 11 ＝（ ）

　A．58 B．88 C．143 D．176 【答案】B 【解析】等差数列前 n 项和公式1( )2nnn a as ，4 8 1 111111( ) 11( ) 11 16882 2 2a a a as      ．

　 13．（2020·湖北省高三期末（文））设 S n 是等差数列{a n }的前 n项和，若361=3SS，则612SS为（

　 ）

　A．310 B．13 C．18 D．19 【答案】A 【解析】设 ,根据3 6 3 9 6 12 9, , , S S S S S S S    是一个首项为 a,公差为 a 的等差数列，各项分别为 a,2a,3a,4a.6123 32 3 4 10S aS a a a a   . 14．（2020·甘肃省兰州一中高三一模（理））已知正项等比数列  na 中，3 54 a a  ，且4 6 7, 1, a a a  成等差数列，则该数列公比 q 为（

　）

　A．14 B．12 C． 2

　D． 4

　【答案】C 【解析】由于4 6 7, 1, a a a  成等差数列，所以  6 4 72 1 a a a    ，所以 6 4 73 52 14a a aa a   ，即 5 3 61 1 12 41 12 14a q a q a qa q a q    ，解得11, 24a q   . 15．（2020·江西省新余一中高一月考）《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同，晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于 10 尺，一尺等于 10 寸），则秋分节气的晷长是（

　）

　 A．七尺五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸 【答案】A 【解析】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为 { }na . 则115 a  ，13135 a  ,则公差13 1135 151013 1 12a ad   . 秋分晷长为7 16 15 60 75 a a d      . 所以秋分节气的晷长是七尺五寸 16．（2020·湖北省高三期末（理））已知  na 是等差数列，若11 a  ，33 a  ，55 a  成等比数列，且公比为 q ，则 q ＝（

　）

　A． 3

　B． 3 

　C． 1

　D． 1 

　【答案】C 【解析】设 { }na 是公差为 d 的等差数列， 若11 a  ，33 a  ，55 a  成等比数列，可得23 1 5( 3) ( 1)( 5) a a a     ， 即21 1 1( 2 3) ( 1)( 4 5) a d a a d       ， 化为22 1 0 d d    ，解得 1 d   ，则1( 1)na a n    ， 则公比为3 11 13 2 311 1a aqa a     ，故选：C． 17．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）已知数列 { }na 的前 n 项和2 *3 8 ( )nS n n n N    ，则 { }na 的通项公式为（ ）

　A． 68na n  

　B． 6 5na n  

　C． 38na n  

　D． 3 5na n  

　【答案】B 【解析】当 2 n  时，13(2 1) 8 6 5n n na S S n n       ；当 1 n  时，1 111 6 1 5 a S      ；因此 { }na的通项公式为 6 5na n   ，选 B. 18．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列  na 中， 0na  ，且7a 、6a 、53a  成等差数列，则公比 q （

　）

　A． 1

　B． 1 或 3 

　C． 3

　D． 3 或 1 

　 【答案】C 【解析】在等比数列  na 中， 0na  ，则其公比 0 q  ， 由题意可得6 7 52 3 a a a   ，即7 6 52 3 0 a a a    ， 则6 5 41 1 12 3 0 aq aq aq    ，即22 3 0 q q    ，解得3 q  或 1 q   （舍去）. 19．（2020·全国高三其他（理））等差数列  na 满足1 316 a a   ，72 a a  4，则7a  （

　）

　A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】B 【解析】设数列  na 的公差为 d， 则由1 316 a a   ，72 a a  4可得1 11 12 163 6 2a a da d a d        ，解得1102ad  ， 所以7 16 10 12 2 a a d      . 20．（2020·湖北省沙市中学高三三模（文））设等差数列  na 前 n 项和为nS ，若23 a  ，535 S  ，则6a  （

　）

　A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【解析】因为23 a  ，535 S  ，所以2 15 134 55 352a a dS a d      ， 即1132 7a da d   ，解得 4 d  ，所以6 24 19 a a d    . 21．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））已知数列 { }na 的各项均为正数，其前 n 项和nS 满足2 *4 2

　( )n n nS a a n N    ，设1( 1) nn n nb a a    ，nT 为数列 { }nb 的前 n 项和，则20T   （

　）

　A． 110

　B． 220

　C． 440

　D． 880

　【答案】D 【解析】由24 2

　n n nS a a   得21 1 14 2

　( 2)n n nS a a n    … ，作差可得：

　1

　2 n na a   ，又1 =2 a 得 2na n  ， 则 ( 1) 2 2( 1) 4( 1) ( 1)n nnb n n n n          所以1 2+ b b   4[( 1) 1 2 2 3] 8 2        ，

　 3 4+ 4[( 1) 3 4 4 5] 8 4, b b        5 6+ 4[( 1) 5 6 6 7] 8 6, b b         …，19 20+ 4[( 1) 19 20 20 21] 8 20, b b         所以20(2 20) 108 8802T    . 22．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））已知数列  na ，2sin2nna n   ，则数列  na 的前 100 项和为（

　）

　A． 5000

　B． 5000 

　C． 5050

　D． 5050 

　【答案】B 【解析】由题意知， 当 2 , n k k N    时，  222 sin 0ka k k    ； 当 2 1, n k k N     时，  22 12 12 1 sin2kka k   ，所以数列  na 的前 100 项和 2 2 2 2 2100 1 2 3 100 1 3 5 99... ... 1 3 5 7 ... 97 99 S a a a a a a a a                 

　            1 3 1 3 5 7 5 7 ... 97 99 97 99             

　  50 492 1 3 5 7 ... 97 99 2 50 2 50002                   . 23．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三二模（理））等差数列 { }na 的前 n 项和为nS ，2 63 12 a a    ，1020 S  ，则nS 取最小值时， n 的值为（

　）

　A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设等差数列 { }na 的首项为1a ，公差为 d ， 由于2 63 12 a a    ，1020 S  ， 则114 8 1210 910 202a dda     ， 解得：172ad  ， 7 2( 1) 2 9na n n       ． 由 2 9 0na n    ，得92n  ， nN ，

　  数列 { }na 自第 5项起大于 0，则nS 取最小值时， n 的值为 4. 24．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（文））（2017 新课标全国 I理科）记nS 为等差数列 { }na 的前 n 项和．若4 524 a a   ，648 S  ，则 { }na 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】

　设公差为 d ，4 5 1 1 13 4 2 7 24 a a a d a d a d        ，6 1 16 56 6 15 482S a d a d     ，联立112 7 24,6 15 48a da d   解得4 d ，故选 C. 25．（2020·河北省高三二模（文））已知正项等比数列  na 的公比为 q，若11 a q   ，且1 2 3 10 ma aa a a  ，则 m （

　）

　A．19 B．45 C．55 D．100 【答案】C 【解析】由题意，正项等比数列  na 的公比为 q，且11 a q   ， 可得11m mma aq q  ，1011 2 9 10 45 50 1 1 1 253a q q aa a q a a     ， 因为1 2 3 10 ma aa a a  ，即55 mq q  ，所以 55 m  . 26．（2020·绥化市第一中学高一期中）

　的内角 所对的边分别为 ，若角 依次成等差数列，且 ，则 的面积 (

　 ) A．

　B．

　C．

　D．2 【答案】C 【解析】

　依次成等差数列， ， 因为 ， 由余弦定理得 ，得 ，

　 ，故选 C. 27．（2020·全国高三月考（理））我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）

　A．6 斤 B．7 斤 C．8 斤 D．9 斤 【答案】D 【解析】原问题等价于等差数列中，已知1 54, 2 a a   ，求2 3 4a a a   的值. 由等差数列的性质可知：1 52 4 1 5 36, 32a aa a a a a      ， 则2 3 49 a a a    ，即中间三尺共重 9 斤. 28．（2020·全国高三其他（文））在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（

　）

　A．1125 里 B．920 里 C．820 里 D．540 里 【答案】D 【解析】设良马每天所行路程为  na ，则  na 是以 103 为首项，以 13 为公差的等差数列，其前 n 项和为nA ，弩马每天所行路程为  nb ，则  nb 是以 97 为首项，以12 为公差的等差数列，其前 n 项和为nB ， 设共用 n 天二马相逢， 则 2 1125n nA B    ， 所以    1 1 1103 13 97 22502 2 2n n n nn n         ， 化简得231n 360 0 n    ，解得 9 n  ， 109 8103 9 13 13952A     ， 102250 1395 855 B    ， 10 101395 855 540 A B     ，故选 D． 29．（多选题）（2020·山东省高三三模）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：

　 “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知 1 匹 4  丈， 1 丈 10  尺，若这一个月有30 天，记该女子这一个月中的第 n 天所织布的尺数为na ， 2nanb  ，对于数列  na 、  nb ，下列选项中正确的为（

　）

　A．10 58 b b 

　B．  nb 是等比数列 C．1 30105 ab 

　D．3 5 72 4 6209193a a aa a a   【答案】BD 【解析】由题意可知，数列  na 为等差数列，设数列  na 的公差为 d ，15 a  ， 由题意可得130 2930 3902da  ，解得1629d  ，  116 129129nna a n d     ， 2nanb  Q ，11122 22nn nnaa a dnanbb     （非零常数），则数列  nb 是等比数列，B 选项正确； 16 805 5 329 29d     ，  55 31052 2 2d dbb  ，10 58 b b   ，A选项错误； 30 129 5 16 21 a a d      ，211 305 2 105 ab     ，C 选项错误； 4 116 1933 5 329 29a a d       ，5 116 2094 5 429 29a a d       ， 所以，3 5 7 5 52 4 6 4 43 2093 193a a a a aa a a a a    ，D选项正确. 30．（多选题）（2020·山东省济宁一中高三月考）等差数列  na 是递增数列，满足7 53 a a  ，前 n 项和为nS ，下列选择项正确的是（

　）

　A．

　0 d 

　B．10 a 

　C．当 5 n  时nS 最小 D．

　0nS  时 n 的最小值为 8

　【答案】ABD 【解析】由题意，设等差数列  na 的公差为 d ， 因为7 53 a a  ，可得  1 16 3 4 a d a d    ，解得13 a d  ， 又由等差数列  na 是递增数列，可知 0 d  ，则10 a  ，故 , A B 正确；

　 因为2 2172 2 2 2nd d d dS n a n n n       ， 由7722dnnd  可知，当 3 n  或 4 时nS 最小，故 C 错误， 令2702 2nd dS n n    ，解得 0 n  或 7 n  ，即 0nS  时 n 的最小值为 8 ，故 D 正确. 31．（多选题）（2020·山东省烟台三中高二期中）已知  na 为等差数列，其前 n 项和为nS ，且1 3 62 3 a a S   ，则以下结论正确的是（

　）. A．100 a 

　B．10S 最小 C．7 12S S 

　D．190 S 

　【答案】ACD 【解析】1 3 6 1 1 1 12 3 2 3 6 6 15 9 0 a a S a a d a d a d           即100 a  ， A 正确； 当 0 d  时，nS 没有最小值， B 错误； 12 7 8 9 10 11 12 10 12 75 0 S S a a a a a a S S           ， C 正确； 1 1919 10( ) 1919 02a aS a    ， D 正确. 32．（多选题）（2020·山东省实验中学高三月考）记数列  na 的前 n 项和为nS ，若存在实数 H，使得对任意的n+N ，都有nS H  ，则称数列  na 为“和有界数列”.下列说法正确的是（

　）

　A．若  na 是等差数列，且公差 0 d  ，则  na 是“和有界数列” B．若  na 是等差数列，且  na 是“和有界数列”，则公差 0 d 

　C．若  na 是等比数列，且公比 1 q  ，则  na 是“和有界数列” D．若  na 是等比数列，且  na 是“和有界数列”，则  na 的公比 1 q 

　【答案】BC 【解析】对于 AB 选项分析如下：若  na 是等差数列，则 21 112 2 2nn n d d dS na n a n       . 对于 A选项，当 0 d  时，1 nS na  ，若10 a  ，根据一次函数的性质可知，此时不存在符合题意的 H .所以A选项错误.

　 对于 B 选项，  na 是“和有界数列”，而212 2nd dS n a n     ，若 0 d  ，根据二次函数的性质可知，此时不存在符合题意的 H ，故 0 d  .所以 B 选项正确. 对于 CD选项分析如下：若  na 是等比数列，则 11 111 1 1nnna qa aq Sq q q      . 对于 C 选项，若 1 q  ，则当 n 时，11naSq，故存在实数 H，使得对任意的 n+N ，都有nS H  ，即  na 是“和有界数列”.所以 C 选项正确. 对于 D选项，若  na 是等比数列，且  na 是“和有界数列”， q 的取值可能为 1  ，此时1 nS a  ，所以存在实数 H，使得对任意的 n+N ，都有nS H  .所以 D选项错误. 33．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（理））已知等差数列 { }na 满足3 23 a a   ，2 414 a a   . （Ⅰ）求 { }na 的通项公式； （Ⅱ）设nS 是等比数列 { }nb 的前 n 项和，若2 2b a  ，4 6b a  ，求7S ． 【解析】(I)设等差数列  na 的公差为 d ，∵3 2 2 43, 14 a a a a     ．∴ 3 d  ，12 4 14 a d   ， 解得11 a  ， 3 d  ，

　∴   1 3 1 3 2na n n      ． (Ⅱ)设等比数列  nb 的公比为 q ，2 2 14 b a bq    ，34 6 116 b a bq    ，联立解得12 b q   ，12 b q   ， ∴ 772 2 12542 1S  ，或  772 1 2861 2S        ． 34．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（文））已知等差数列  na 满足  11 4 1n nn a na n    ， nN . （1）求数列  na 的通项公式； （2）若2 nnb a ，求数列  nb 的前 n 项和nS . 【解析】（1）设等差数列  na 的公差为 d . 因为  11 4 1n nn a na n    ，所以2 13 22 53 2 9a aa a   ，所以112 54 9a da d   ，解得112ad . 所以   1 1 2 2 1na n n       .

　 检验：当 2 1na n   时，  12 1 1 2 1na n n     ， 则           2 211 1 2 1 2 1 2 3 1 2 4 1n nn a na n n n n n n n n n              ，合乎题意. 因此，数列  na 的通项公式为 2 1na n   ； （2）由（1）知122 2 1 2 1nn nnb a      . 所以 22 3 1 22 1 22 2 2 2 41 2nn nnS n n n         . 所以数列  nb 的前 n 项和22 4nnS n   . 35．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））设等差数列  na 的首项1a 及公差 d 都为整数，前 n 项和为nS ． （1）若110 a  ，1498 S  ，求数列  na 的通项公式； （2）若16 a  ，110 a  ，1477 S  ，求所有可能的数列  na 的通项公式． 【解析】（1）由14 114 91 98 S a d    ，得12 13 14 a d   ． 又11 110 0 a a d    ，则112 13 1410 0a da d   ，解得1202ad  ， 因此，  na 的通项公式是    *11 22 2na a n d n n N      ； （2）由141117706Saa ，得1112 13 1110 06a da da   ，即1112 13 112 20 02 12a da da      ①②③， 由①  ②得 7 11 d   ，即117d   ． 由①  ③得 13 1 d   ，即113d   ． 于是11 17 13d     ，又 d Z  ，故 1 d   ．④ 将④代入①②得110 12 a   ．又1a Z  ，故111 a  或112 a  ． 当111 a  ， 1 d   时，    11 11 1 12na a n d n n         ； 当当112 a  ， 1 d   时，    11 12 1 13na a n d n n         .

　 综上，所有可能的数列  na 的通项公式是 12na n   和  *13na n n N    .