高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册第四章4.2.2第2课时等差数列前n项和性质及应用同步练习（含答案）

2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 一、选择题 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2　　 B．－1　　　　C．0　　　　D．1 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　) A．110 B．150 C．210 D．280 3．在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于(　　) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　　) A． B． C． D． 5.＋＋＋＋…＋等于(　　) A． B． C． D． 6．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　) A．S13＝0 B．a7＝0 C．{an}为递增数列 D．a13＝0 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 8．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________. 9．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a2 019的值为________． 10．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________. 11．(一题两空)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________． 12．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________． 三、解答题 13．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值． 14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn. 参考答案 一、选择题 1．答案：B　 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1. 2． 答案：D　 解析：∵等差数列{an}前n项和为Sn， ∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列， 故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150. 又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故选D. 3． 答案：A　 解析：由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S2 018＝－2 018. 4． 答案：D　 解析：因为等差数列{an}和{bn}，所以＝＝，又S21＝21a11，T21＝21b11， 故令n＝21有＝＝，即＝，所以＝，故选D. 5． 答案：C　 解析：通项an＝＝， ∴原式＝ ＝＝. 6． 答案：AB　 解析：对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确． 对A，S13＝＝13a7＝0.故A正确． 对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误． 对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6.故D错误． 故AB正确． 7． 答案：B　 解析：Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14. 二、填空题 8．答案：5　 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 9.答案：1　 解析：因为an＋1＝an＋(n∈N*)，所以an＋1－an＝＝－， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， … a2 019－a2 018＝－， 各式相加，可得a2 019－a1＝1－，a2 019－＝1－， 所以a2 019＝1，故答案为1. 10． 答案：820　 解析：因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3， a3－a2＝4， a4－a3＝5， …， an－an－1＝n＋1(n≥2)， 上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝， 即an＝，所以a39＝＝820. 11． 答案：11　7　 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， 所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 12． 答案：5　 解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇， 偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d. 由已知条件，得 解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.] 三、解答题 13．解：法一：＝＝＝＝＝＝＝. 法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列， ∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n. 又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)， Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R. ∴an＝Sn－Sn－1＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1) ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1) ＝t(4n－1)(n≥2)， bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5) ＝t(6n－5)(n≥2)． ∴＝＝(n≥2)， ∴＝＝＝. 14．解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数． 因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0. 解得－≤d≤－，因此d＝－3. 所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n. (2)bn＝＝. 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋＋…＋ ＝ ＝. 15解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得　 ∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19. (2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n， ∴Tn＝－n2＋18n－10. 当n＝1时，b1＝T1＝7；

当n≥2且n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19. 经验证b1≠17，∴bn＝ 当1≤n≤9时，bn＞0；
当n≥10时，bn＜0. ∴当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；

当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn| ＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn) ＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn) ＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152， 综上所述：Rn＝