教辅：高考数学复习练习之压轴题1

第二部分/三、压轴题 压轴题(一) 8．(2020·山东德州一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0有且只有两个不同实数根，则m的取值范围是(　　) A. B．(－∞，0)∪ C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪ D．(－∞，0)∪∪(1,2) 答案　C 解析　当x>0时，f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)>0，得0<x<e，令f′(x)<0，得x>e.函数f(x)在(0，e)上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减，又f(e)＝，画出函数图象，如图所示．f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0，即(f(x)－m)(f(x)＋1)＝0，当f(x)＝－1时，根据图象知有1个解，故f(x)＝m有1个解，根据图象知m∈(－∞，－1)∪(－1,0)∪.故选C. 12．(多选)(2020·山东大学附属中学6月模拟检测)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是(　　) A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为 B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知N为DD1的中点，当AM＋MN的和最小时，M为CC1的中点 答案　AC 解析　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则点A(2，0,0)，B(2,2,0)，设点M(0,2，a)(0≤a≤2)，∵AM⊥平面α，则为平面α的一个法向量，且＝(－2,2，a)，＝(0,2,0)，|cos〈，〉|＝＝＝∈，∴直线AB与平面α所成角的正弦值范围为，A正确；
当M与C1重合时，连接A1D，BD，A1B，AC，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理可证AC1⊥A1D，∵A1D∩BD＝D，∴AC1⊥平面A1BD， 易知△A1BD是边长为2的等边三角形，其面积为S△A1BD＝×(2)2＝2，周长为2×3＝6.设E，F，Q，N，G，H分别为棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面EFQNGH∥平面A1BD，正六边形EFQNGH的周长为6，面积为6××()2＝3， 则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B错误；
设平面α交棱A1D1于点E(b,0,2)，点M(0,2,1)，＝(－2,2,1)， ∵AM⊥平面α，DE⊂平面α， ∴AM⊥DE，即·＝－2b＋2＝0，得b＝1， ∴E(1,0,2)， ∴点E为棱A1D1的中点，同理可知，平面α与棱A1B1的交点F为棱A1B1的中点，则F(2,1,2)，＝(1,1,0)，而＝(2,2,0)，∴＝，∴EF∥DB且EF≠DB， 由空间中两点间的距离公式可得DE＝＝，BF＝＝，∴DE＝BF，∴四边形BDEF为等腰梯形，C正确；
将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D展开到一个平面内，如下图所示：
若AM＋MN最短，则A，M，N三点共线，∵CC1∥DD1，∴＝＝＝2－，∵DN＝1，∴MC＝2－≠CC1，∴点M不是棱CC1的中点，D错误．故选AC. 16．(2020·新高考卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________ cm2. 答案　4＋ 解析　设OB＝OA＝r，如图，过点A作直线DE和EF的垂线，垂足分别为M，N，AN交CG于点P.由题意知AM＝AN＝7，EF＝12，所以EN＝AM＝7，NF＝EF－EN＝5，又因为DE＝2，PN＝2，所以AP＝AN－PN＝5，又PG＝NF＝5，所以AP＝PG，所以∠AGP＝45°，因为BH∥DG，所以∠AHO＝45°，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形．在Rt△OQD中，OQ＝5－r，DQ＝7－r，因为tan∠ODC＝＝，所以21－r＝25－r，解得r＝2，所以等腰直角三角形OAH的面积为S1＝×2×2＝4，扇形AOB的面积为S2＝××(2)2＝3π，所以阴影部分的面积为S1＋S2－π×12＝4＋. 21．已知函数f(x)＝(x2＋2aln x)． (1)讨论f(x)＝(x2＋2aln x)，x∈(1，e)的单调性；

(2)若存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0成立，求a的取值范围． 解　(1)由f(x)＝(x2＋2aln x)，得 f′(x)＝x＋＝(x>0)， 当a≥0时，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在(1，e)上单调递增；

当a<0时，f′(x)＝0的解为x＝(舍去负值)， 若≤1，即a∈[－1,0)，则f(x)在(1，e)上单调递增；

若≥e，即a∈(－∞，－e2]， 则f(x)在(1，e)上单调递减；

若a∈(－e2，－1)，则f(x)在(1，)上单调递减，在[，e)上单调递增． (2)由(1)可知，当a≤－e2或a≥－1时，函数f(x)在(1，e)上为单调函数，此时不存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0. 当a∈(－e2，－1)时，f(x)在(1，)上单调递减，在[，e)上单调递增，所以f(x)在x＝处取得极小值， f(x)极小值＝f()＝(－a＋2aln )＝－a＋aln (－a)，其中a∈(－e2，－1)， 令g(a)＝－a＋aln (－a)，a∈(－e2，－1)， 则g′(a)＝－＋ln (－a)＋＝ln (－a)，a∈(－e2，－1)， 易得g′(a)>0，所以g(a)在(－e2，－1)上单调递增， 且g(－e)＝0， 所以当a∈(－e2，－e)时，f(x)极小值<0， 此时存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)， 使得f(x1)＝f(x2)<0. 所以a的取值范围为(－e2，－e)． 22．(2020·河北衡水中学高三质量检测一)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A，B两点，与直线x＝－4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足＝＋(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；
若不存在，请说明理由． 解　(1)抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)， 由题意可知a＝2，且e＝＝， 所以c＝1，则b＝＝， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0， 得m2<4k2＋3. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， 则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， 因为＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝， 所以点P， 由于点P在椭圆E上，则2·＋2·＝1，化简，得4m2＝4k2＋3，则m≠0，且满足Δ>0. 联立得则点Q(－4，m－4k)， 设在x轴上存在一点T(t,0)，使得·为定值， 则＝(－4－t，m－4k)，· ＝＝ ＝＋为定值，要使·为定值，只需2＝＝为定值，则t＋1＝0，解得t＝－1， 因此，在x轴上存在定点T(－1,0)，使得·为定值．