2020年福建省中考数学试题（含答案解析）

2020年福建省中考数学试卷 （满分：150分，共25题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．的相反数是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5 2．如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）
A． B． C． D． 3．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）
A．1 B． C． D． 4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D． 5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3 6．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3 7．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）
B．3 C．3x﹣1 D．3 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70° 10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．|﹣8|＝　 　． 12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　 　． 13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　 　．（结果保留π）
14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为　 　米． 15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　 　度． 16．设A，B，C，D是反比例函数y图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形． 其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）解不等式组：
18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF． 19．（8分）先化简，再求值：（1），其中x1． 20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；
乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA． （1）求∠BED的大小；

（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切． 22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图． （1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；

（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；

（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元． 已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫． 23．（10分）如图，C为线段AB外一点． （1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上． 24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC． ①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：． 25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． （1）求二次函数的表达式；

（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；

（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值． 2020年福建省中考数学试卷答案解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．的相反数是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5 【解答】解：的相反数是， 故选：B． 2．如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）
A． B． C． D． 【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆． 故选：B． 3．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）
A．1 B． C． D． 【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DEAC，DFBC，EFAB， ∴， ∴△DEF∽△ABC， ∴（）2＝（）2， ∵等边三角形ABC的面积为1， ∴△DEF的面积是， 故选：D． 4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D． 【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；

C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；

D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：C． 5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）
A．10 B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5， ∴CD＝5． 故选：B． 6．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n， ∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1， ∴m﹣n的结果可能是2． 故选：C． 7．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）
【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；

B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；

C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；

D、原式＝a1，故本选项符合题意；

故选：D． 8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）
B．3 C．3x﹣1 D．3 【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）． 故选：A． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：∵A为中点， ∴═， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∵圆周角∠BDC＝60°， ∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°， ∴的度数是（360°﹣120°）＝80°， ∴对的圆周角∠ADB的度数是， 故选：A． 10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1， 当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；

当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；

若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；

若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；

故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．|﹣8|＝　8　． 【解答】解：∵﹣8＜0， ∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8． 故答案为：8． 12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　　． 【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果， ∴甲被选到的概率为， 故答案为：． 13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为　4π　．（结果保留π）
【解答】解：S扇形4π， 故答案为4π． 14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为　﹣10907　米． 【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数， ∴低于海平面的高度记为负数， ∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处， ∴该处的高度可记为﹣10907米． 故答案为：﹣10907． 15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　30　度． 【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：120°， 所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°， 故答案为：30． 16．设A，B，C，D是反比例函数y图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形． 其中正确的是　①④　．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD． 由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形． ∵反比例函数的图象在一，三象限， ∴直线AC与直线BD不可能垂直， ∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形， 故选项①④正确， 故答案为①④， 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）解不等式组：
【解答】解：解不等式①，得：x≤2， 解不等式②，得：x＞﹣3， 则不等式组的解集为﹣3＜x≤2． 18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF． 【解答】证明：四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF． 19．（8分）先化简，再求值：（1），其中x1． 【解答】解：原式• ， 当时，原式． 20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；
乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨， 10x+（100﹣x）×1＝235， 解得，x＝15， ∴100﹣x＝85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；

（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨， w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20， ∵0≤a≤20， ∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元． 21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA． （1）求∠BED的大小；

（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切． 【解答】解：（1）连接OB，如图1， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°， ∵sinA， ∴∠A＝30°， ∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°， ∴∠BED∠BOD＝60°；

（2）连接OF，OB，如图2， ∵AB是切线， ∴∠OBF＝90°， ∵BF＝3，OB＝3， ∴， ∴∠BOF＝60°， ∵∠BOD＝120°， ∴∠BOF＝∠DOF＝60°， 在△BOF和△DOF中， ， ∴△BOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OBF＝∠ODF＝90°， ∴DF与⊙O相切． 22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图． （1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；

（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；

（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元． 已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫． 【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：
1000120；

（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：
（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）
＝2.4（千元）；

（3）根据题意，得， 2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：
500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470 ＞960+1130+1300+1470＞4000． 所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫． 23．（10分）如图，C为线段AB外一点． （1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上． 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；

（2）如图， ∵CD∥AB， ∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP， ∴△ABP∽△CDP， ∴， ∵AB，CD的中点分别为M，N， ∴AB＝2AM，CD＝2CN， ∴， 连接MP，NP， ∵∠BAP＝∠DCP， ∴△APM∽△CPN， ∴∠APM＝∠CPN， ∵点P在AC上， ∴∠APM+∠CPM＝180°， ∴∠CPN+∠CPM＝180°， ∴M，P，N三点在同一条直线上． 24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC． ①判断DF和PF的数量关系，并证明；

②求证：． 【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）①DF＝PF． 证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． ②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H， ∴∠HPF＝∠DEP，， ∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP， ∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC， ∴∠DEP＝∠DAC， 又∵∠CDF＝∠DAC， ∴∠DEP＝∠CDF， ∴∠HPF＝∠CDF， 又∵FD＝FP，∠F＝∠F， ∴△HPF≌△CDF（ASA）， ∴HF＝CF， ∴DH＝PC， 又∵， ∴． 25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． （1）求二次函数的表达式；

（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；

（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A（0，10），点B（5，0）， ∵BC＝4， ∴点C（9，0）或点C（1，0）， ∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． ∴当x≥5时，y随x的增大而增大， 当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意， ∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10）， ∴10＝5a， ∴a＝2， ∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；

（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）， ∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP）， ∴ 解得：n＝10， ∵n＝10与已知n≠10矛盾， ∴l1与l2不相交， ∴l2∥l1；

（3）如图， 、 ∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C， ∴0＝﹣2×1+q， ∴q＝2， ∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2， ∴l3∥l1， ∴CF∥AB， ∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴（）2， 设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t， ∴S△ABEt×10＝5t， ∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t， ∴S△ABE+S△CEF＝5t10t40＝10（）2+4040， ∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为4040．