《二次函数》学案

　函数知识复习

　一、平面直角坐标系与函数的概念 【 考点链接】

　1. 坐标平面内的点与______________一一对应． 2． 写出各点的坐标：

　A________，B_______，C_______，D______ 3、 在图中描出下列各点：

　 E（4,-2），F（–1,–3），G（0,3），H（–2,0）

　4. x 轴上的点_____坐标为 0,

　y 轴上的点 __坐标为 0. 5. P(x,y)关于 x 轴对称的点坐标为______，关于 y

　轴对称的点坐标为____，关于原点对称的点坐标为_____. 6、点 P（2,–3）关于 x 轴对称的点坐标是______，

　点 P（2,–3）关于 y 轴对称的点坐标是________， 点 P（2,–3）关于原点对称的点坐标是______ _， 【 中考演练 】

　7．已知点 P 在第二象限，且到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，则点 P

　的坐标为

　8.点 P（－2，3）关于 x 轴的对称点的坐标是________． 9．在平面直角坐标系中，点 P（－4，2）的位置在 （

　）

　A.第一象限

　B.第二象限

　 C.第三象限

　D.第四象限 10．点 A （—3，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（

　）

　A.（－3，－2）

　B.（3，2）

　 C.（3，－2）

　D.（2，－3）

　二、一次函数 点在函数图象上：

　点在函数的图象上，是指把点的坐标代入函数关系式中能使等式成立。

　如点 P（2，3）在函数 y＝2x－1 的图象上，则当 x=

　 时，y=

　1、 函数112y x  

　的图象必经过点（

　）

　 (A) (0,0)

　(B) (0,1)

　 (C) (0,--1)

　 (D) (1,0)

　2、函数 y=x+b 的图象经过点（2，－3），也经过点（ ）

　(A)（－3，2）

　(B)（－3，－2）

　(C)（3，2）

　(D)（3，－2）

　5.如果点 M 在直线 1 y x   上，则 M 点的坐标可以是（

　）

　A．（－1，0）

　B．（0，1）

　C．（1，0）

　 D．（1，－1）

　四、函数图象与坐标轴交点：

　1、函数 3 6 y x   与 x 轴、 y 轴的交点坐标。

　解：函数 3 6 y x   与 x 轴的交点坐标（x，0），， 即当 0  y ，x=

　 ∴函数 3 6 y x   与 x 轴的交点坐标是

　 函数 3 6 y x   与 y 轴的交点坐标（0，y）

　即当 0  x ，y=

　∴函数 3 6 y x   与 y 轴的交点坐标是

　 2、函数 2 4 y x   与 x 轴的交点坐标（

　 ，

　），与 y 轴的交点坐标（

　 ，

　 ）。

　【 考点链接】

　1．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是________ 练习 A 组：

　1、直线 y＝kx（k≠0）经过点（－2， －1），（即：当 x＝－2 时，y＝－1）， 求出函数的关系式。

　解：∵直线 y＝kx 经过点（－2， －1）， （即把 x＝－2 时，y＝－1 代入 y＝kx）

　得方程

　 ∴k=

　∴所求函数的关系式是

　 。

　1.若正比例函数 kx y  （ k ≠ 0 ）经过点（ 1  ， 2 ），则该正比例函数的解析式为 y ___________. 4.一次函数 y kx b   的图象与性质

　例1、 已知一次函数的关系式 y ＝ kx ＋ b （k≠0），当 x＝1 时，y＝3； 当 x ＝－1 时， y ＝7，求出函数的关系式。

　解：

　把 x ＝

　， y ＝

　 ； 当 x ＝

　 ， y ＝

　 ， 代入 y ＝ kx ＋ b ，得方程组  解这个方程组，得 bk

　 ∴所求函数的关系式是

　 。

　2、已知一次函数 y = kx + b （k≠0）的图象经过点（-1，1）和点（1，-5）， 求函数的关系式，并求当 x =5 时，函数 y 的值. 解：图象经过点（-1，1）和点（1，-5）， 即：当 x ＝

　 时， y ＝

　； 当 x ＝

　 时， y ＝

　 ， 代入 y ＝ kx ＋ b ，得方程组  解这个方程组，得bk

　 ∴所求函数的关系式是

　 。

　当 x =5 时,

　y ＝

　1、已知一次函数的图象如下图，求它的关系式. 解：图象经过点（

　 ，

　 ）和点（

　 ，

　）， 即：当 x ＝

　时， y ＝

　；

　当 x ＝

　 时， y ＝

　 ， 代入 y ＝ kx ＋ b ，得  解这个方程组，得 bk

　 ∴所求函数的关系式是

　 。

　2、已知一次函数 y=kx+b 的图象如图的示，求其函数解析式。

　分析：由图可知直线经过两点（

　 ，

　 ）、（

　 ，

　 ）

　解：

　三、反比例函数 1．反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y＝

　或

　 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数． 2．已知反比例函数kyx 的图象经过点 ( 3 6) A   ， ，则这个反比例函数的解析式是

　． 3．已知点 (1 2)  ， 在反比例函数kyx 的图象上，则 k 

　． 作业

　1．一次函数中，当 1  x 时， 3  y ；当 1   x 时， 7  y ，求出相应的函数关系式。

　解：设所求一次函数为

　 ，则依题意得 ∴解方程组得bk

　 ∴所求一次函数为

　.

　2、已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式。

　分析：由图可知直线经过两点（

　 ，

　 ）、（

　 ，

　 ）

　解：

　 3、已知一次函数 y= kx+b 的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求 （1）函数的解析式

　 （2）当 x=5 时，函数 y 的值。

　 4（B 层）、已知一次函数的图象经过点 A(－3，－2)和点 B(1,6)．

　 ①求此一次函数的解析式，并画出图象； ②求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．

　（3）（C 层）求原点到直线的距离。

　 小测

　1．下列函数中,正比例函数是

　.

　A. y=-8x

　B.y=-8x+1

　 C.y=8x 2 +1

　 D.y=x8

　2．下列函数中,反比例函数是

　 . A. y=8x 2

　B.y=8x+1

　C.y=-8x

　D.y=-x8 3．下列函数：① y= 8 x 2 ；② y=8x+1；③ y=-8x；④

　y=-x8.

　 其中一次函数有

　个 . A.1 个

　B.2 个

　C.3 个

　 D.4 个 4. 若反比例函数 ) 0 (   kxky 的图象经过点（-1，2），则 k 的值为 A．-2

　 B．21

　C．2

　 D．21 5．若反比例函数的图象过点（－1，2），则它的解析式为__________． 6．已知点 P（－2，3），则点 P 关于 x 轴对称的点坐标是（

　）。

　7、已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求函数的解析式

　 8、.已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式。

　分析：由图可知直线经过两点（

　 ，

　 ）、（

　 ，

　 ）

　解：

　（附加题）．甲、乙两个蓄水池蓄满水后的水量都为 120 m3 ，已知甲池有水 48 m 3 ，乙池装满了水，现甲开始进水，每小时进水 8 m3 ，同时，乙池每小时放水 10 m 3 .

　 （1）甲池内的水量 y甲 （m3 ）与进水时间 t(h)之间的函数关系式是什么？乙池内的水量 y乙（m3 ）与放水时间 t(h)之间的函数关系式是什么？

　 （2）经过多少时间，两个池内的水一样多？

　《二次函数》

　 姓名：

　 学号：

　一：复习：

　1.函数的概念：设在某变化过程中有两个变量 x 、 y ，对于 x 的每一个值， y都有唯一的值与之对应，那么就说 x 是自变量， y 是因变量，此时，也称 y 是 x 的函数。

　2.一次函数 y kx b   （ 0 k  ），特别地，当 b＝0 时，一次函数 y kx  也叫做正比例函数。图象为一条直线。

　3.反比例函数 ( 0)ky kx  ，它的图象是双曲线。

　二：讲授新课 若两个变量 x 、 y 间的关系式可以表示为2( , , , 0) y ax bx c a b c a     为常数 的形式，则称 y 是 x 的二次函数（ x 为自变量， y 为因变量）。其中，自变量 x 的取值范围是全体实数。数 注意：二次项数 a ≠0 是解题关健。

　练习 1: 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）

　02  x y

　（2）y=（x＋3）

　2 －x 2

　（3）xx y12 

　 （4）

　3 22   x x y

　2. 若函数2( 2) 3 y m x x    是二次函数，常数 m 须满足的条件是_________ 3.已知二次函数2 2( 1) 3 1 y m x x m      的图象经过坐标原点,则 m=________ 例 1． m 取哪些值时，函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是以 x 为自变量的二次函数？

　分析

　 若函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02 m m ．

　解：若函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是二次函数，则

　 ．即

　 ． 解得

　．因此，当

　 ，函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是二次函数．

　回顾与反思

　形如 c bx ax y   2的函数只有在 0  a 的条件下才是二次函数． 练习 2:

　1．若  my m 2 x   是二次函数，求 m 的值。

　解：若函数

　是二次函数，则

　．即

　．

　解得

　 ．因此，当

　，函数

　是二次函数．

　2．(C 层)当 k 为何值时，函数2k ky k 1x 1 ( )   为二次函数？（仿上题格式）

　 3．(C 层) 若函数 ) 1 ( ) (2 2     m mx x m m y 是以 x 为自变量的 一次函数，则 m取哪些值？

　 例 2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积 S（cm 2 ）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系；

　练习 3：

　1．已知正方形的面积为 ) (2cm y ，边长为 x（cm）． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数．

　 2．(B 层)．已知正方形的面积为 ) (2cm y ，周长为 x（cm）． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数．

　3．(C 层).正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S（cm 2 ）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积

　 例 2. 已知二次函数2ax y  的图象经过点 P（3，18）。

　（1）求 a 的值； （2）判断点 A（1，2）、B（-2，4）是否在该函数的图象上； （3）若点 C（x，8）在该函数的图象上，求点 C 的坐标。

　 三：练习与作业 1．已知函数 y=ax 2 ＋bx＋c（其中 a，b，c 是常数），当 a

　时，是二次函数；当 a

　，b

　时，是一次函数；当 a

　，b

　，c

　时，是正比例函数． 2．下列不是二次函数的是（

　）

　A．y=3x 2 ＋4

　 B．y=－31x 2

　C．y=52 x

　 D．y=（x＋1）（x－2）

　3．函数 y=（m－n）x 2 ＋mx＋n 是二次函数的条件是（

　）

　A．m、n 为常数，且 m≠0

　B．m、n 为常数，且 m≠n C．m、n 为常数，且 n≠0

　D．m、n 可以为任何常数 4．已知二次函数 y=x 2 ＋bx＋1 的图象经过点 P（-1，2）， （1）求 b 的值, 并写出此函数解析式。

　（2）判断点 A（1，2），是否在该函数的图象上； （3）若点 C（x，8）在该函数的图象上，求点 C 的坐标。

　5．已知二次函数2ax y  +k 的图象经过点 P（-1，2），Q（0，1）。

　（1）求 a 与 k 的值； （2）判断点 A（1，2）、B（-2，4）是否在该函数的图象上； （3）若点 C（x，8）在该函数的图象上，求点 C 的坐标。

　6．已知圆的面积为 ) (2cm y ，半径为 x（cm）． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数．

　 7．(B 层)已知函数72) 3 ( mx m y 是二次函数，求 m 的值．

　 8．(B 层)已知：如图菱形 ABCD 中，∠A=60°，边长为 a，求其面积 S 与边长 a的函数表达式．

　9．(C 层)如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm．点P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时，点 Q 从点 B 开始沿BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动．如果 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动，设运动开始后第 t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为 Scm 2 ，写出 S 与 t 的函数表达式。

　小测 （一）选择题 1．下列各点中，在第一象限内的点是………………………

　（

　）

　（A）（－5，－3）

　 （B）（－5，3）

　 （C）（5，－3）

　 （D）（5，3）

　2．点 P（－3，4）关于原点对称的点的坐标是………………

　 （

　）

　（A）（3，4）

　 （B）（－3，－4）

　 （C）（－4，3）

　 （D）（3，－4）

　3．函数1   x y中，自变量 x 的取值范围是（ ）

　A． x ＜1

　B． x ＞1

　 C． x ≥1

　D． x ≠1 4．若点 A（3，m）是抛物线 y=－x 2 上一点，则 m=

　． 5．正方形的面积为 ) (2cm y ，边长为 x（cm）．则 y 与 x 的函数关系式

　 ，是

　 次函数。

　6.已知二次函数2ax y  的图象经过点 P（3，18）。

　那么这个函数解析式是_________. 7．已知二次函数2ax y  +k 的图象经过点 P（-1，3），Q（0，2）。

　（1）求 a 与 k 的值；

　 （2）判断点 A（1，2）是否在该函数的图象上； （3）若点 C（x，6）在该函数的图象上，求点 C 的坐标。

　附加题：如图，在三角形 ABC 中，AC=12cm，BC=6cm．点 P 从点 A 开始沿 AC方向向点 C 以 1cm/s 的速度移动，同时，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 2cm/s的速度移动．如果 P、Q 两点分别到达 C、B 两点停止移动，设运动开始后第 t秒钟时，三角形 CPQ 的面积为 Scm 2 。（1）写出 S 与 t 的函数表达式。（2）有没有可能三角形 CPQ 的面积是三角形 ABC 面积的一半，如有可能，是第几秒，如没可能，请说明理由。

　二次函数2y a x 的图象与性质

　姓名:

　 学号: 一、复习 1.一次函数 1 2   x y 的图象是

　 ，经过点（ 0 ，

　）和（

　，0 ）。

　2．反比例函数xy3 的图象是经过第___

　 象限双曲线。

　二、讲授新课 例 1．用描点法在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象。

　（1）22x y 

　（2）22x y  

　列表 x …

　… 22x y  

　…

　… 想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？ 当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ ①列表 ②描点，③ 连线 结合图象,可以知道：

　①22x y  的图象开口向上，顶点是抛物线的最

　点，对称轴是

　 轴或（

　），在对称轴的左

　 边，曲线自左向右

　；在对称轴的右边，曲线自左向右

　 。

　②22x y   的图象开口向上，顶点是抛物线的最

　点，对称轴是

　 轴或（

　），在对称轴的左边， 曲线自左向右

　；在对称轴的右边，曲线自左向右

　 。

　回顾与反思

　在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

　三、小结 函数2y ax  （a≠0）的图象是一条抛物线,顶点是

　 ,对称轴

　是

　（或

　 ）。

　① 当 a>0 时，抛物线的开口向______;且当 x≥0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而_______,当x≤0时,函数值y随自变量x的增大而_______;当x=______时,函数值y取得最小值,最小值是_____ ② 当 a<0 时，抛物线的开口向______;且当 x≥0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而_______,当x≤0时,函数值y随自变量x的增大而_______.当x=______时,函数值y取得最大值,最大值是_____ 四、练习 1．在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221x y  ； 2．解：列表：

　x …

　… 221x y 

　…

　… 根据图象填空：（1）抛物线221x y  的对称轴是

　（或

　），顶点坐标是

　，当 x

　 时， y 随 x 的增大而增大，当 x

　时，y 随 x的增大...