高等数学讲义-,无穷级数（数学一和数学三）

高等数学讲义-- 无穷级数(数学一和数学三) 第八章 无穷级数（数学一和数学三）
引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：
ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。

1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数 （甲）
内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。

∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。

S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）
2． 基本性质 （1）
如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2）
在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3）
收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4）
级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。）
3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数）
∑∞ =0n n ar ()0≠a 当1∑∞ =0n n ar r a -= 1收敛 当1≥r 时， ∑∞ =0 n n ar 发散 （2）p 一级数 ∑∞ =11n p n 当p>1时，∑∞ =11n p n 收敛， 当p ≤1时∑∞ =11 n p n 发散 （注：p>1时，∑∞=11 n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞ =1n 6122 π=n ）
二、正项级数敛散性的判别法 ()Λ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞ =1 n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以Λ,3,2,11=≥+是单调 加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此 ∑ ∞ =1 n n n S u ?收敛有上界，这是正项级数 比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

1. 比较判别法 如果皆成立时当设，u ，cv N n c n n 0,0>≥≥>∑∞=1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；
如果∑∞ =1 n n u 发散， 则 ∑∞ =1 n n v 发散。

2. 比较判别法的极限形式 设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n v u n n 若∞ →n lim A v u n n = 1) 当0∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 同时收敛或同时发散。

2) 当A=0时，若 ∑∞ =1 n n v 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 收敛。

3) 当A=+∞时，若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n v 收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔）
设n u >0，而∞ →n lim ρ=+n n u u 1 1）
当ρ∑∞ =1 n n u 收敛 2）
当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则 ∑∞ =1 n n u 发散 3）
当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞ →n lim n n u u 1 +不存在时，此判别法也无法用）
4．根值判别法（柯西）
设n u ≥0，而∞ →n lim ρ=n n u 1）
当ρ∑∞ =1 n n u 收敛 2）
当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞ =1 n n u 发散 3）
当ρ=1时，此判别法无效 事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。

三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 若n u >0, ∑ ∞ =1 n n n u 1)1(+-称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法 设交错级数 ∑ ∞ =1 n n n u 1)1(+-满足：
1）≤+1n u n u ),3,2,1(Λ=n 2) ∞ →n lim n u =0 ，则 ∑ ∞ =1 n n n u 1 ) 1(+-收敛，且0=1 n n n u 1)1(+-四、绝对收敛与条件收敛 1．定理 若 ∑ ∞ =1 n n u 收敛，则∑∞ =1 n n u 一定收敛；
反之不然。

2．定义 若 ∑ ∞ =1n n u 收敛，则称∑∞ =1 n n u 为绝对收敛；

若 ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而∑∞=1 n n u 发散，则称∑∞ =1 n n u 为条件收敛。

3．有关性质 1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。

2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑ ∞ =1 n 21（n u +n u ）或∑∞ =1 n 21（n u —n u ）一定是发散的。

4．一类重要的级数 设 ∑ ∞ =1 n ρ n n 1 )1(+- 1）
当ρ>1时， ∑ ∞ =1 n ρ n n 1 )1(+-是绝对收敛的 2）
当0∑ ∞ =1 n ρ n n 1 )1(+-是条件收敛的 3）
当ρ≤0时， ∑ ∞ =1 n ρ n n 1 )1(+-是发散的 （乙）
典型例题 一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性 例1． 判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。

1）
∑ ∞ =1 n ) 1()1(1 +++n n n n 2）
∑ ∞ =1 n n n 21 2- 1）解：
∑ ∞ =1 n ) 1()1(1 +++n n n n 的= n S ∑ =n k 1 ) 1()1(1 +++k k k k = n S ∑ =n k 1 ()() ?? ? ?? ?-++-+2 2 1)1() 1(k k k k k k = ∑ =n k 1 1 1 1)111( +-=+-n k k Θ∞→n lim =n S 1 ∴∑ ∞ =1 n 1) 1()1(1 =+++n n n n ，收敛 2）解：= n S n n 21 225232132-++++Λ ① 21=n S 14322 12232252321+-+-++++n n n n Λ ② ①-②得21=n S 1322 1 2)212121(221+--++++n n n Λ =1112 3 223212)211(21++-+-=---+n n n n n Θ∞ →n lim =n S 3 ∴∑ ∞ =1 n n n 21 2-=3，收敛 例2 设数列{} ∑∞ =--1 1)(n n n n ，a a n ，na 证明收敛级数收敛∑∞ =0 n n a 收敛 证：由题意可知∞ →n lim 存在A na n = ∞ →n lim =n S ∞ →n lim ∑=-=-n k k k S a a k 1 1)(存在 而=n S )()(3)(2)(1231201--++-+-+-n n a a n a a a a a a Λ =∑-=- 1 n k k n a na 因此， =∑-=1 0n k k a n n S na - ∞ →n lim =∑-=1 n k k a ∞ →n lim -n na ∞ →n lim =n S S A - 于是级数 ∑∞ =0 n n a =S A -是收敛的 二、主要用判别法讨论级数的敛散性 例1． 设级数 ∑ ∞ =1 n )0(≥n n a a 收敛，则∑ ∞ =1 n n a n 收敛 解：
n a n )1(212 2n a n a n n +≤=（几何平均值≤算术平均值）
已知 ∑ ∞ =1 n 收敛故收敛收敛)1 (2112 1 12n a ，n ，a n n n n +∑∑∞ =∞ = 再用比较判别法，可知 ∑ ∞ =1 n n a n 收敛 例2． 正项数列{}n a 单调减少，且 ∑ ∞ =1 n n n a )1(-发散，问∑∞ =1 n n n a )1 1( +是否收敛？并说明理由。

解：知根据莱布尼兹判别法可如果存在又单调减少,0lim ,0==∴≥∞ →a ，a a ，a n n n Θ ∑ ∞ =1 n (1)0,n n a a -∴>收敛,与假设矛盾,这样， n n n n a a a a )1 1()11(,11111+≤+∑ ∞ =1 n n a )11(+收敛和比较判别法可知∑∞ =1 n n n a )11( +收敛。

例3． 设? =4 tan π xdx a n n （1）求 ∑ ∞ =1 n n a a n n 2++的值。

（2）证明：对任意正常数,0>λ∑∞ =1 n λ n a n 收敛。

证明：（1）n a a n n 2++n 1 = ? +40 2)tan 1(tan π dx x x n n 1=? 40 tan tan π x xd n ) 1(1 += n n ∑ ∞ =1 n n a a n n 2++=∑∞ =1n ) 1(1+n n =1 （2）?=40tan π xdx a n n 1 20 1n t dt t =+? +≤ 1 1 1 n dt t n λn a n 1)1(1+∴>+,11λΘ∑ ∞ =1 n 1 1+λn 收敛，由比较判别法可知 ∑ ∞ =1 n λ n a n 收敛。

例4． 设有方程并证明证明方程有唯一正实根正整数其中,,01n n x ，n nx x =-+ 当α>1时，级数 ∑ ∞ =1 n αn x 收敛。

:()1n n f x x nx =+-证记 10()0n x f x nx n α-＇>=+>当时, [)()0,.n f x +∞故在上单调增加 (0)10,(1)0,n n f f n =-100n n n n x nx x +-=>由与知 11 0,n n n x x n n -11 ()n n α∞ =∑而正项级数收敛, 所以当α>1时，级数 ∑ ∞ =1 n αn x 收敛。

§ 8.2 幂级数 （甲）内容要点 一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）
1． 函数项级数的概念 设)(x u n ),3,2,1(Λ=n 皆定义在区间I 上，则∑ ∞ =1 n )(x u n 称为区间I 上的函数项级数。

2． 收敛域 设I ∈0x ，如果常数项级数 ∑ ∞ =1n )(0x u n 收敛，则称0x 是函数项级数∑∞ =1 n )(x u n 的收敛点，如果 ∑ ∞ =1 n )(0x u n 发散，则称0x 是∑∞ =1 n )(x u n 的发散点。函数项级数∑∞ =1 n )(x u n 的所有收敛点构成的集 合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。

3． 和函数 在 ∑ ∞ =1 n )(x u n 的收敛域的每一点都有和，它与x 有关，因此=)(x S ∑∞ =1 n )(x u n ，∈x 收敛域 称)(x S 为函数项级数 ∑ ∞ =1 n )(x u n 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。

二、幂级数及其收敛域 1． 幂级数概念 ∑∞ =0 n n a n x x )(0-称为)(0x x -的幂级数，),2,1,0(Λ=n a n 称为幂级数的系数，是常数，当0 0=x 时， ∑∞ =0 n n a n x 称为x 的幂级数。一般讨论∑∞ =0 n n a n x 有关问题，作平移替换就可以得出有关 ∑∞ =0 n n a n x x )(0-的有关结论。

2．幂级数的收敛域 幂级数 ∑∞ =0 n n a n x 的收敛域分三种情形：
（1）
收敛域为),(+∞-∞，亦即 ∑∞ =0 n n a n x 对每一个x 皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R （2）
收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞ =0 n n a n x 皆发散，我们称它的收敛半径0=R 。

（3）
收敛域为 (][)[]R ，R R R R R R R R 我们称它的收敛半径为中的一种或或或,,,),(---- )0(+∞所以求幂级数的收敛半径R 非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论R ±两点上的敛散性。

11 lim ()(),(,n n n n n n a l a l R l a l +→∞ =+∞=+∞==+∞如果包括或包括则收敛半径若 0,0),R l R ===+∞则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛 .半径,后面有所讨论 三、幂级数的性质 1． 四则运算 设 ∑∞ =0 n n a n x ∑∞ =21),(;),(n n n R x x g x b R x x f ) ,min() ()()())(() ,min(), ()()(210 000 210R R x x g x f x b a b a b a x b x a R R x x g x f x b a n n n k n k n n n n n n n n n n n =-∞ =∞ =∞ =ΛΛ则2. 分析性质 设幂级数 ∑∞ =0 n n a n x 的收敛半径R > 0，S(x ) = ∑∞ =0 n n a n x 为和函数，则有下列重要性质。

（1）且有逐项求导公式内可导在，R R x S ),()(- =＇)(x S ∑∑∑∞=∞ =-∞==＇=＇0 1 10 )()(n n n n n n n n n x na x a x a 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出 公式为内有任意阶导数在，R R x S ),()(- ),3,2,1(, )1()1()() (ΛΛ==-k R x x a k n n n x S k n k n n k （2）内有逐项积分公式在),()(R R x S - ∑?∑ ?∞=∞ =++==00 01 1 )(n x n n n n n x x n a dt t a dt t S 且这个幂级数的收敛半径也不变。

（3）若 ∑∞ =0 n n a n x :)()(则有下列性质成立在，R R x x S -== (i) () lim ()(lim ()())n n n n x R x R n n S x a R S x a R -+∞ ∞ →→-====-∑∑成立成立 (ii) ))(1)((1)(0 01001?∑?∑-∞ =+∞ =+-+-=+=R n n n R n n n R n a dx x S R n a dx x S 成立成立 (iii) ∑∞ =--=11 )(n n n R R x x na 不一定收敛在 11 (). (())n n n na x S R S R ∞ -- + =＇＇=-∑也即不一定成立 ()n n n a x x R R ∞ ==-∑如果在发散,那么逐项求导后的级数 1 1()n n n na x x R R ∞ -==-∑在一定发散,而逐项积分后的级数 1 ().1n n n a x x R R n ∞ +==-+∑在有可能收敛 四、幂级数求和函数的基本方法 1．把已知函数的幂级数展开式（§ 8.3将讨论）反过来用。

下列基本公式应熟背：
01(1) 11n n x x x ∞ == 0(2)! n x n x e x n ∞ ==21 0(3)(1)sin ,(21)!n n n x x x n +∞ =-=20 (4)(1)cos ,(2)!n n n x x x n ∞ =-=1 (5)(1)ln(1),(11)1n n n x x x n +∞ =-=+-1 (1)(1) (6)1(1), 11()! n n n x x x n ααααα∞ =--++=+-L 为实常数 2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式 3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。

五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 （乙）典型例题 例1 求下列幂级数的和函数。

（1）
∑∞ =+0 )12(n n n x （2）∑∞ =+-0 21)1(n n n n x 解：（1）可求出收敛半径R=1, 收敛域为（-1，1）
()(21)2n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞ ====+=+∑∑∑ 1101 21x n n x nt dt x ∞-=＇ ??=+??-?? ∑? 11122111n n x x x x x x x ∞=＇＇ ???? =+=+????---????∑ 22 211(1,1)(1)1(1)x x x x x x += += ∈---- （2）可以从求出和函数后，看出其收敛域 []2 200 (1)2(1)()11n n n n n n S x x x n n ∞ ∞==+--==++∑∑ 1(1)441n n n n n n n x x x n ∞∞ ∞ ====+-++∑∑∑ 120 4 ()(1),()41,1n n n n S x n x S x x x x ∞ ∞ ===+== 30 1()41n n S x x n ∞ ==+∑ 1 100 ()(1)11x x n n n n x S t dt n t dt x x x ∞∞ +===+==12 1 ()()11(1)x S x x x x ＇∴== 11301 1(1)()()441n n n n n x xS x x n n -∞ ∞ +==--==-+∑∑ 4ln(1) (11)x x =---≤11 (1)ln(1) (11)n n n t t t n -∞ =-=+--l l dx x g x f g f ，x l n x l n x l x l x l x l l l l Λ Λπππππ π 1cos 1sin 0(1,2,)l l l l n n dx xdx n l l ππ--?=?==??L sin cos 0,(,1,2,)l l m n x xdx m n l l ππ -==?L cos cos sin sin 0(,1,2,,)l l l l m n m n x xdx x xdx m n m n l l l l ππππ--===≠??L 且 .故称这个三角函数系是正交的 二、傅里叶系数与傅里叶级数 []()2(0),,f x l l l l >-设以为周期或只定义在上的可积函数 1()cos , 0,1,2,l n l n a f x xdx n l l π-==?L 令 1()sin , 0,1,2,l n l n b f x xdx n l l π-==?L ,().n n a b f x 则称为的傅里叶系数 01(cos sin )2n n n a n n a x b x l l ππ ∞=++∑三角级数 []()(2,,)f x l l l -称为的傅里叶级数关于周期为或只在 01()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x l l ππ ∞=++∑记以 (),f x 值得注意在现在假设条件下有傅里叶系数和傅里叶级数的相关概念但并 ,()f x 不知道傅里叶级数是否收敛更不知道傅里叶级数是否收敛于 三、狄利克雷收敛定理 [](),,f x l l -设在上定义且满足 [](1)(),f x l l -在上连续或只有有限个第一类间断点 [](2)(),f x l l -在上只有有限个极值点 []01(),(cos sin )(),2n n n a n n f x l l a x b x S x l l ππ ∞=-++=∑则在上的傅里叶级数收敛且 [][](),(,)()1 ()(0)(0), (,)()21 (0)(0),2 f x x l l f x S x f x f x x l l f x f l f l x l ? ?∈-??=++-∈-???-++-=±??当为的连续点 当为的第一类间断点当 我们把上述两个条件称为狄利克雷条件 四、正弦级数与余弦级数 []1.()2,,.f x l l l -设以为周期或在上定义且满足狄利克雷条件 (1)(),0(0,1,2,)n f x a n ==L 如果是奇函数则 02()sin (1,2,)l n n b f x xdx n l l π==?L 而 ()f x 这时的傅里叶级数为正弦级数 (2)(),0(1,2,3)n f x b n ==L 如果是偶函数则 02()cos (0,1,2,)l n n a f x xdx n l l π==?L 而 ().f x 这时的傅里叶级数为余弦级数 [][]2.()0,,0,,,f x l l 设在上定义且在上连续或只有有限个第一类间断点只有有限个极值点[]()0,f x l 那么在上可以有下列两个傅里叶展开式 01(1) ()~cos 2n n a n f x a l π∞=+∑ 02()cos (0,1,2,)l n n a f x xdx n l l π ==?L 其中 1 (2) ()~sin ,(1,2,3)n n n f x b x n l π ∞ ==∑L 02()sin l n n b f x xdx l l π =?其中 [][)[](1),()0,,0;(2),()0,f x l l f x l -因为在中相当于从按偶函数扩充定义到在中相当于从[)[],0,0,,l l -按奇函数扩充定义到得出傅里叶级数只在上因此为余弦级数或正弦级数 ..都可以至于这些级数收敛的和函数仍按狄利克雷收敛定理的结论 ()乙典型例题 1.()10, 51510f x x x =-≤≤例把展成以为周期的傅里叶级数 15 51:(10)cos 55 n n a x xdx π =-?解 15 15 5 512cos cos 555n n xdx x xdx ππ=-?? 15 15 15 25 5 5 1055sin sin ()cos 5 5 5 n n n x x x x n n n π π π πππ=--? 0= 00,.n a n a =∴推演过程中没有意义要重新求 15 05 1 (10)05a x dx =-=? 15 5110(10)sin (1)(1,2,)55n n n b x xdx n n ππ =-=-=?L 110 (1)()10sin (515)5 n n n f x x x x n π π∞ =-=-= 2.()2(11)2,f x x x =+-≤≤例将函数展成以为周期的傅里叶级数并由此求级数 2 11 .n n ∞ =∑的和 :()2,,f x x =+解为偶函数只能展成余弦级数即 1 00 0, 2(2)5,n b a x dx ==+=? 1 1 2 (2)cos()2cos 1n a x n x dx x n xdx ππ=+=?? 22 2(cos 1) (1,2,)n n n ππ-= =L []1,1,-因为所给函数在上满足狄氏收敛定理故 []22 152(cos 1) 2cos(), 1,12n n x n x n πππ∞=-+=+-∑ 2 2 54cos(21)2(21)k k x k ππ ∞ =+=-+∑ 2 2 22 0054 110,2,2(21)(21)8k k x k k ππ ∞ ∞ ===?=-?=++∑∑当时上式又 222221010 1111111(21)(2)(21)4n k k k n n k k k n ∞ ∞∞∞ ∞======+=+++∑∑∑∑∑ 22 22 1014143(21)386n k n k ππ∞ ∞====?=+∑∑故 []3.(),,,(),:n n f x a b f x ππ-例设在上可积为的傅里叶系数试证 222 2 011()()2N n n n a a b f x dx π ππ - =++≤∑? :N 证明只需证明对任意正整数都有 222 2 011()()2N n n n a a b f x dx π ππ - =++≤∑? 01 ()(cos sin )2N N n n n a S x a nx b nx ==++∑令 ()2 2 0()()N f x S x dx f x dx π π ππ--≤-=??? ??? 2 2()()()N N f x S x dx S x dx π π π π ---+? ? 222 22220211()2()()22N N n n n n n n a a f x dx a b a b π π ππ-==????=-+++++????????∑∑? 2222021()()2N n n n a a b f x dx π π π - =∴++≤∑? 小桥流水人家，古道西风瘦马。夕阳西下，断肠人在天涯。