数学建模贷款月还款问题

数学建模一周论文 论文题目:贷款月还款问题 队长1：
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专 业：土地资源管理 班 级：
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2012年 X月 X日 摘要 本文根据银行住房贷款和我们的日常常识， 首先对题目中的条件 进行合理的分析，推导出月均还款总额的公式，建立数学模型。

其次根据给出的银行利率，利用 Matlab 数学软件和已求出的公 式，计算出 20 年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表并借 以分析贷款的期限与月还款之间的关系。

最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。

这些天来我们对贷 款买房的研究，使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这 些实用知识对我们的未来发展一定有很大的帮助。

如今，有一套自己的住房是大家追求的目标之一，而对年轻人说，买房几乎 都要贷款，月供就自然是大家最关心的事情，月供怎样算？供多少？ 都要贷款，月供就自然是大家最关心的事情，月供怎样算？供多少？哪种贷法 最实惠？这些问题也许还有些人没有搞清楚吧， 最实惠？这些问题也许还有些人没有搞清楚吧，下面就借助 WPS 表格来算 算按揭贷款月供明细账。

算按揭贷款月供明细账。

银行贷款的还款的利息计算方式：银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法 和等额本金还款法。

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法 和等额本金还款法。

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

关键词：贷款，利率，月均还款总额 ，贷款，保险，养老 金和信用卡；
个人住房抵押贷款 目录 1.摘要------------------------------------------- 2.提出问题------------------------------------- 3.问题的分析---------------------------------- 4.符号的规定---------------------------------- 5建立基本模型-------------------------------- 6.模型的求解--------------------------------- 7.模型的评价,分析与总结------------------------ 8.参考文献----------------------------------- 正文：
一、提出问题 贷款月还款多少 随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；
贷款，保险，养老 金和信用卡；
个人住房抵押贷款是其中重要的一项。2005年12月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列 种类 , 期限 1年以下(含1年) 1-3年 (含3年)  3-5 年(含5年)  5-10 年(含10年) 10-15年(含15年) 15-20年(含20年) 个人住房按揭贷款 5.31 5.31 5.31 5.58 5.58 5.58 以人民币10万元为例计算贷款的月还款数（计算到20年）
1、根据Excel表中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出个人住房贷款的增长规律。

2、掌握国家政策调控下贷款利率的变化水平，计算每年的应还款额的大小，从而细算每个月的应还款额。

3、根据还款规律计算每个月的还款额，并依次列出每个季度的还款数额及变化规律。

4、最后分析一年之中的还款总额以及每个月的还款规律，理出每个月的还款数据表并绘制出每个月的数据变化表。

5、总结一份还款分析表以及分析的具体过程。

二、问题分析 如今，有一套自己的住房是大家追求的目标之一，而对年轻人说， 如今， 有一套自己的住房是大家追求的目标之一，而对年轻人说，买房几乎 都要贷款，月供就自然是大家最关心的事情，月供怎样算？供多少？ 都要贷款，月供就自然是大家最关心的事情，月供怎样算？供多少？哪种贷法 最实惠？这些问题也许还有些人没有搞清楚吧， 最实惠？这些问题也许还有些人没有搞清楚吧，下面就借助 WPS2010 表格来算 算按揭贷款月供明细账。

算按揭贷款月供明细账。

银行贷款的还款的利息计算方式：银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法 和等额本金还款法。

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法 和等额本金还款法。

银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

等额本息还款法：
利息和=本金 年利率*期限 本金*年利率 利息和 本金 年利率 期限 月供=本息和 总期数=本金 本息和/总期数 本金*（ 年利率 期限）
期限 年利率*期限 期限/12 个月 月供 本息和 总期数 本金 （1+年利率 期限）/期限 等额本金还款法：
利息和=本金 总期数+1）
年利率 本金*（ 年利率/12 个月 利息和 本金 （总期数 ）/2*年利率 月供=固定每期应还本金 当期利息=本金 总期数+（本金-固定每期应还本金 固定每期应还本金+当期利息 本金/总期数 固定每期应还本金* 月供 固定每期应还本金 当期利息 本金 总期数 （本金 固定每期应还本金 已还期数）
年利率 年利率/12 个月 已还期数）*年利率 以上两类还款法计算公式都为绝对公式， 以上两类还款法计算公式都为绝对公式，是在利率不变的前提条件下来计算 总利息和月供的，所以假设银行在贷款期利率不变 银行在贷款期利率不变。

总利息和月供的，所以假设银行在贷款期利率不变。

假设在这段期间内不考虑经济波动的影响 若有经济波动则不能准确计算。

在这段期间内不考虑经济波动的影响， 假设在这段期间内不考虑经济波动的影响，若有经济波动则不能准确计算。

假设银行利息按复利计算 假设银行利息按复利计算 为利息. （1）
S＝P（1＋i）^n ，i 为利息，n 为期数 ）
＝ （ ＋）
为利息 （2）
年金现值公式，P=A{[1-(1+i)^-n]/i}，A 为期末额，i 为利息，n 为期数 ）年金现值公式， 为期末额 假设客户在还款期内还款能力不变. （3）
假设客户在还款期内还款能力不变。

客户在还款期内还款能力不变 现在不少人都办理过住房按揭贷款，偿还贷款本息有多种方式，由借款人按照银行提供的还贷方式选定，并在借款合同中载明。一般而言，贷款期限在一年以内（含1年）的，实行按季付息即3月、6月、9月、12月的21日支付当季贷款应付利息，到期一次还本；
贷款期限在一年以上的，按月归还贷款本息，即分期还款。目前最常见的分期还款方式主要有两种：
　　一种是等额本金还款法，即在贷款期限内每月等额偿还贷款本金，每月需支付的贷款利息随本金逐月递减。另一种是等额本息还款法，即在贷款期限内每月以相等的数额平均偿还贷款本息，直至期满还清，遇利率调整及提前还款时，应根据未偿还贷款余额和剩余还款期数对每期还款额进行调整。

　　每家银行在贷款时都会向客户提供一份个人住房贷款月均还款金额表（见附表），表中提供了每贷1万元，在选择的贷款期限内每月应贷款本息数额，但是这个数额是何计算出来的，银行一般没有向客户说明，有的客户认为最终还款本息数额和自己计算的不一样，觉得吃了亏。

　　其实这是不了解还贷本息计算方法而产生的误解。事实上，相同贷款数额、相同期限、相同还款方式下每家银行的月均还款额是相同的。下面我们就来看月均还款额到底是如何计算出来的，还大家一个明白. 一、等额本金还款法的计算: 这种还款方式下贷款期限内每个月的所还贷款本金是相同的，由于未偿还的贷款本金随着还款期限减少而减少，每月需要偿还的利息也会逐渐减少，所以每个月的还贷本息额是逐渐减少的。我们就以贷款1万元、期限20年、月利率0.0042为例来计算每个月的还款本息数额。

　　一是计算每个月应偿还的本金。还款期共有20*12＝240（个月），月还贷款本金10000÷240＝41.67元。

　　二是计算每个月应偿还的利息。

　　第一个月应计算利息的贷款本金为10000元，应付利息10000*0.0042＝42元，合计应还本息41.67+42=83.67元；

　　第二个月应计算利息的贷款本金为10000－41.67＝9958.33元，应付利息（10000－41.67）*0.0042＝41.82元，合计应还本息41.67+41.82=83.49元；

　　第三个月应计算利息的贷款本金为10000－2*41.67＝9916.66元，应付利息（10000－2*41.67）*0.0042＝41.65元，合计应还本息41.67+41.65=83.32元；

　　第四个月应计算利息的贷款本金为10000－3*41.67＝9874.99元，应付利息（10000－3*41.67）*0.0042＝41.47元，合计应还本息41.67+41.47=83.14元；
…；

　　第200个月应计算利息的贷款本金为10000－199*41.67＝1707.67元，应付利息（10000－199*41.67）*0.0042＝7.17元，合!
计应还本息41.67+7.17=48.84元；
第240个月应计算利息的贷款本金为10000－239*41.67＝40.87元，应付利息（10000－239*41.67）*0.0042＝0.17元，合计应还本息40.87+0.17=41.04元。累计偿还贷款利息为10000*0.0042+（10000－1*41.67）*0.0042+（10000－2*41.67）*0.0042+（10000－3*41.67）*0.0042+…+（10000－239*41.67）*0.0042=240*10000*0.0042-（41.67+2*41.67+3*41.67+…+239*41.67）*0.0042=10080-41.67*0.0042*[239*(1+239)÷2]=5060.6元。

　　从上面计算中我们可以看出，每月偿还的利息也是有有规律可循的，是个等差数列，那就是当月支付的利息比上月少“月还款本金“*利率=41.67*0.0042=0.175元 二、等额本息还款法的计算:
在这种还款方式下每个月偿还的本金都不相同，每个月偿还的利息也不相同，但是每个月偿还的本金与利息之和是相同的。这种还款方式最终累计偿还本息数额大于“等额本金还款法“累计偿还本息数额，因为利息要按月偿还，而每个月还款本息相等，所以初期每次偿还的款款额中本金较少，累计占用贷款本金积数较多，累计支付利息也多。

　　中国人民银行《关于统一个人住房贷款分期还款额计算公式的通知》(银贷政发[1998]149号)中提供的等额本息还款法的计算公式为：贷款本金*贷款月利率*（1+贷款月利率）还款月数/[（1+贷款月利率）还款月数-1]。文件中没有说明这个公式是怎么计算出来的，下面我们就尝试计算一下。仍以上例数据，贷款1万元、期限20年、月利率0.0042为例来计算每个月的还款本息数额，我们假定每个月还款本息额为a元，
第一月偿还利息为10000*0.0042＝42元，偿还本金为（a-42），为了能让大家看出规律，我们把本金公式写为（a-42）*(1+0.0042)0元；
第二月偿还利息为[10000-（a-42）] *0.0042=42-（a-42）*0.0042元，偿还本金为a-[10000-（a-42）] *0.0042元=（a-42）+（a-42）*0.0042=（a-42）*(1+0.0042)1元；

　　第三月偿还利息为{10000- ╝-42）-[42-（a-42）*0.0042]} *0.0042=42-2*（a-42）*0.0042-（a-42）*0.00422,偿还本金为a-[42-2*（a-42）*0.0042-（a-42）*0.00422]= (a-42)+2*（a-42）*0.0042+（a-42）*0.00422=（a-42）*(1+0.0042)2……；
依次类推，第240月偿还本金为（a-42）*(1+0.0042)239，累计偿还本金：（a-42）*(1+0.0042)0+（a-42）*(1+0.0042)1+（a-42）*(1+0.0042)2+…+（a-42）*(1+0.0042)239=10000，计算上式a=10000*0.0042*（1+0.0042）240/[（1+0.0042）240-1]。

　　最后计算结果为66.2167元，总计还款=66.2167*240=15892.01元，其中本金10000元，利息5892.01元。

　　可以看出，不同的还款方式，每月的支付款是不一样的，最终负但的利息也不相同，从上面计算可以看出，两种还款方式，利息相差832.01元，各人可根据自己的经济状况，选择适合自己的还款方式。

三、模型的假设 1.银行在贷款期利率不变 2.在这段期间内不考虑经济波动的影响 3. .银行利息按复利计算 4.客户在还款期内还款能力不变 四、符号的约定 B: 客户向银行贷款的本金 Y: 客户平均每期应还的本金 a: 客户向银行贷款的月利率 b: 客户向银行贷款的年利率 n : 客户总的还款期数 五、建立基本模型 因为一年的年利率是β 那么平均到一个月就是（ 也就是月利率 因为一年的年利率是β，那么平均到一个月就是（β/12）
也就是月利率α， ）
也就是月利率α ， 即有关系式：
即有关系式：
β = 12α 设：
a i （i=1…n）是客户在第 i 期 1 号还款前还欠银行的金额 bi (i=1…n) 是客户在第 i 期 1 号还钱后欠银行的金额. 所以可得：
第 1 期还款前欠银行的金额：
a1 = A(1 + α ) 期还款后欠银行的金额：
第 1 期还款后欠银行的金额：
b1 = a1 ? x = A(1 + α ) ? x …… 第 i 期还款前欠银行的金额：
期还款前欠银行的金额：
ai = bi ?1 (1 + α ) = ( A(1 + α ) i ?1 ? x(1 + α ) i ?2 ? ? ? x)(1 + α ) = A(1 + α ) i ? x(1 + α ) i ?1 ? x(1 + α ) i ? 2 ? ? ? x(1 + α ) 第 i 期还款后欠银行的金额：
期还款后欠银行的金额：
bi = ai ? x = A(1 + α ) i ? x(1 + α ) i ?1 ? ? ? x(1 + α ) ? x …… 期还款前欠银行的金额：
第 n 期还款前欠银行的金额：
a n = bn ?1 (1 + α ) = ( A(1 + α ) n ?1 ? x(1 + α ) n ? 2 ? x(1 + α ) n ?3 ? ? ? x)(1 + α ) = A(1 + α ) n ? x(1 + α ) n?1 ? x(1 + α ) n ? 2 ? ? ? x(1 + α ) 期还款后欠银行的金额 后欠银行的金额：
第 n 期还款后欠银行的金额：
bn = a n ? x = A(1 + α ) n ? x(1＋α ) n?1 ? ? ? x(1 + α ) ? x 期还款后， 也就是说：
因为第 n 期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：
bn = 0 ， n n ?1 即：
A(1 + α ) ? x(1＋α ) ? ? ? x(1 + α ) ? x = 0 六、模型的求解及列表总结 解方程得：
Aα (1 + α ) n (1 + α ) n ? 1 x= 这就是月均还款总额的公式。

是月均还款总额的公式 5 模型的求解根据上面求 出的月均还款总额的公式， 根据上面求出的月均还款总额的公式，利用 Matlab 我们求出 20 年期的月均 6 还款额和本息总和。

如下表：
单位：元 年份 月数 月利率 年利率 月还款数 本息总额 总利息 1 12 4.425 5.31 8775.83 105310 5310 2 24 4.425 5.31 4401.04 105624.85 5624.85 3 36 4.425 5.31 3011.03 108397 8397 4 48 4.425 5.31 2317 111215.93 11215.93 5 60 4.425 5.31 1901.36 114081.53 14081.53 6 72 4.425 5.31 1637.53 117902.52 17902.52 7 84 4.425 5.31 1440.8 121027.58 21027.58 8 96 4.425 5.31 1293.79 124203.63 24203.63 9 108 4.425 5.31 1179.91 127430.43 27430.43 10 120 4.425 5.31 1089.23 130707.73 30707.73 11 132 4.425 5.31 1015.42 134035.23 34035.23 12 144 4.425 5.31 954.25 137412.59 37412.59 13 156 4.425 5.31 902.82 140839.48 40839.48 14 168 4.425 5.31 859.02 144315.51 44315.51 15 180 4.425 5.31 821.33 147840.27 47840.27 16 192 4.425 5.31 788.61 151413.35 51413.35 17 204 4.425 5.31 759.97 155034.27 55034.27 18 216 4.425 5.31 734.73 158702.57 58702.57 19 228 4.425 5.31 712.36 162417.73 62417.73 20 240 4.425 5.31 692.41 166129.24 66129.24 各年份利息、总金统计图表 各月的利息、各月应还款数统计表 由上表可见贷款额一定时 期限越短，损失（付银行总利息）越少。

由上表可见贷款额一定时，期限越短，损失（付银行总利息）越少。因此在 贷款额一定 选择还款期限 期限时 应据自身的实际月收入而定，首期应付越多越好， 自身的实际月收入而定 选择还款期限时，应据自身的实际月收入而定，首期付越多越好，尽量减少 贷款额和期限。

贷款额和期限。

建模过程总结：
1. 按揭贷款等额本息还款计算公式: 每月还本付息金额=[本金×月利率×（1+月利率）还款数]/[（1+月利率）
每月还本付息金额 =本金×月利率× 月利率）还款数（ 月利率）+ 本金+ 月利率* 月利率 款月数-1] 款月数 其中：
每月利息=剩余本金 贷款月利率；

剩余本金× 每月本金=每月月供 每月利息 每月月供额 每月利息。

其中：
每月利息 剩余本金×贷款月利率；

每月本金 每月月供额-每月利息。

计算原则：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；

计算原则：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；
利息在月 供款中的比例中虽剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因而升高， 供款中的比例中虽剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因而升高， 但月供总额保持不变。

但月供总额保持不变。

2．按揭贷款等额本金还款计算公式 ． 每月还本付息金额=（本金/还款月数）+（本金－累计已还本金）×月利率 每月还本付息金额 （本金 还款月数）
（本金－累计已还本金）
还款月数 其中：每月本金=总本金 还款月数；
每月利息=（本金-累计已还本金 总本金/还款月数 累计已还本金）
其中：每月本金 总本金 还款月数；
每月利息 （本金 累计已还本金）×月利 率。

计算原则：每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。

计算原则：每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。

本文根据银行住房贷款和我们的日常常识， 本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的 分析，推导出月均还款总额的公式 建立数学模型。

均还款总额的公式， 分析，推导出月均还款总额的公式，建立数学模型。

次根据给出的银行利率， 数学软件和已求出的公式， 其次根据给出的银行利率，利用 Matlab 数学软件和已求出的公式，计算出 20 年内月均还款额和所花费的本息总额， 年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表并借以分析贷款的期限与月还 款之间的关系。

款之间的关系。

最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。

最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。这些天来我们对贷款买房的研 使我们对这个很现实的问题有了较深的了解， 究，使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的 未来发展一定有很大的帮助。

未来发展一定有很大的帮助。

七、数学模型的评价及总结：
在模型的建立过程中我们队发挥了积极合作的精神，每个人都为数学建模做出了努力，是我门整个队努力写作的结果，同时我们的数学模型还有以下几个优点：
1、 模型设计求解过程详细，便于理解，能够很轻松的应用于现实生活中，对我们现在的多卡生活及频繁的借贷、还贷问题有很大的帮助。

2、 整个模型的计算过程大都用数学软件完成，具体详细，且便于理解掌握。计算过程详细可靠。

3、 程序编写较为简单，但很合理的涵盖了整个建模过程，有利于应用者的理解和应用。

尽管我们为这个模型的建立做出了极大的努力，但缺点错误是在所难免的，大概存在的缺点有：
1、 由于我们所研究的问题跟实际情况也许会有些许差别，我们并不可能把每个问题都考虑全面，再者，在现实生活中利率也许是时刻在变换的，并不是我们所假设的那样一成不变的。

2、 模型的建立没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面有缺点的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面有缺点。

3、 由于这个模型是建立在一个理想的基础上，所以这个模型得出的结果可能会与实际情况有一定出入， 在一个理想的基础上，所以这个模型得出的结果会与实际情况有一定出入。

4、 任何数学模型都是有一定缺陷的，由于现实社会中的许多东西都是在时刻变化着的，我们并不能很准确的把握以后的发展。例如，如果过几年银行的政策的改革以及利率，借贷还贷等一些细节的变化会使得我们的这个模型并不适用，因而这个模型具有局限性。

总结：我们还是第一次学习并动手操作数学建模，我们的经验和处理问题的角度并不是很完善，因而，我们还有待于更深入的学习，在以后解决实际问题的过程中积累经验， 我们还有待于更深入的学习，在以后解决实际问题的过程中积累经验。第一次做数学建模，感觉比较有难度，软件的应用，数据的处理都不能得心应手，但我们还是一直坚持下来，发扬着我们团队合作的精神，就像老师说的忙碌三天，受益终身。

在做数学建模的过程中，感觉难度相当的大，但我们相信坚持就是胜利我们最终坚持下来了。在 模型的过程中，我们遇到了很多困难，但再做完之后感觉到自己学到了很多东西，学到了的是一种思想，学会了数学软件这种非常有用的软件，这对我们以后学习应用数学知识都有很大的帮助。同时，建模实习有利于培养人严谨的科学态度，有利于世界观的形成。学到的是一种思想， 有利于培养人严谨的科学态度，有利于世界观的形成。

尽管模型有它的不足之处 但总体来说， 尽管模型有它的不足之处，但总体来说，在实际应用中还是有很好的借鉴意 义和指导价值，还是能处理一些短期的实际问题。

八、参考文献：
1.邬国根 王泽文 数学实验与建模初步 东华理工大学 2..韩中庚 数学建模方法及其应用 北京高等教育出版社 3.MATLAB软件与数学实验 张兴永编著 中国矿业大学出版社