专题练习1：函数图象与性质

　培优点一

　函数的图象与性质 1.单调性的判断 例１：（1）函数 的单调递增区间是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　（2）

　的单调递增区间为________． 【答案】（1）D；（2）

　，

　【解析】（1）因为 ， 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间， 即求函数 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为 ． （2）由题意知，当 时， ；当 时，，二次函数的图象如图．

　由图象可知，函数 在 ， 上是增函数．

　2．利用单调性求最值 例 2：函数 的最小值为________． 【答案】1 【解析】易知函数 在 上为增函数，∴ 时， ．

　3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例 3：（1）已知函数 的图象向左平移 1 个单位后关于 轴对称，当 时， 212log ( 4) f x x  (0, )  ( 0) ,  (2, )  ( ) , 2  22 3 y x x    ( ] , 1     0,112log y t  0 t 24 t x   ( ) , 2  0 x2 22 3 1 4 ( ) y x x x         0 x2 22 3 1 4 ( ) y x x x        22 3 y x x     ( ] , 1     0,11 y x x   1 y x x    [1, )  1 x min1 y   f x y2 11 x x  

　恒成立，设 ， ， ，则 ， ，的大小关系为 （

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　 （2）定义在 R 上的奇函数 在 上递增，且 ，则满足的 的集合为________________． 【答案】（1）D；（2）

　【解析】（1）根据已知可得函数 的图象关于直线 对称，且在 上是减函数， 因为 ，且 ，所以 ． （2）由题意知 ， ，由 得 或

　解得 或 ．

　４．奇偶性 例４：已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】因为 是偶函数，所以其图象关于 轴对称，又 在 上单调递增， ，所以 ，所以 ．    2 1 2 1( ) 0 f x f x x x      12a f      2 b f    3 c f  a b cc a b   c b a   a c b   b a c    y f x  (0, ) 102f   19log 0 f x   x1|0 1 33x x x      或  f x =1 x (1, ) 1 52 2a f f           52< <32b a c  102f   102f   19log 0 f x   191log2x 191log 02x   103x   1 3 x    f x [0, ) 1(2 1)3f x f    x1 2,3 3   1 2,3 3  1 2,2 3   1 2,2 3    f x y   f x [0, ) 1(2 1)3f x f    1|2 1|3x 1 23 3x  

　 ５．轴对称 例５：已知定义域为 的函数 在 上只有 1 和 3 两个零点，且 与都是偶函数，则函数 在 上的零点个数为（

　）

　A．404 B．804 C．806 D．402 【答案】C 【解析】

　， 为偶函数 ， ，关于 ， 轴对称， 为周期函数，且 ，

　将 划分为

　关于 ， 轴对称 ，

　， ，

　在 中只含有四个零点，而 共 201 组 所以 ；在 中，含有零点 ，共两个， 所以一共有 806 个零点

　６．中心对称 例６：函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（

　）

　A． 是偶函数

　B． 是奇函数 C．

　 D． 是奇函数 【答案】D 【解析】从已知条件入手可先看 的性质，由 ， 为奇函数分别可得到：

　， ，所以 关于 ， 中心对R   y f x    0,7   2 y f x    7 y f x     y f x    0,2013  2 f x   7 f x      2 2 f x f x          7 7 f x f x      f x 2 x 7 x   f x    2 7 2 10 T       0,2013         0,10 10,20 2000,2010 2010,2013  f x 2 x 7 x     4 f x f x        14 f x f x      1 6 0 f f         8 14 8 6 0 f f f           3 4 3 1 0 f f f       0,10       0,10 10,20 2000,2010201 4 804 N      2010,2013     2011 1 0 f f      2013 3 0 f f    f x R   1 f x    1 f x   f x   f x    2 f x f x     3 f x   f x   1 f x    1 f x     1 1 f x f x          1 1 f x f x        f x   1,0   1,0 

　称，双对称出周期可求得 ，所以 C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合 A，B． 对于 D 选项，因为 ，所以 ，进而可推出 关于中心对称， 所以 为 图像向左平移 3 个单位，即关于 对称，所以 为奇函数，D 正确．

　７．周期性的应用 例７：已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且， 则 的值为（

　）

　A．

　B．1 C．0 D．无法计算 【答案】C 【解析】由题意，得 ，∵ 是定义在 上的偶函数， 是定义在上的奇函数，

　∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的周期为 4， ∴ ， ， 又∵ ，∴ ．

　 一、选择题 1．若函数 的单调递增区间是 ，则 的值为（

　）

　  2 1 1 4 T        4 T        5 1 1 f x f x f x          f x  3,0  3 f x    f x   0,0   3 f x   f x R   g x R  ( ) 1 g x f x      2017 2019 f f 1 ( ( ) 1 ) g x f x       f x R   g x R  ( ) g x g x      ( ) f x f x   ( ) ( ) 1 1 f x f x     ( 2) f x f x      ( ) 4 f x f x     f x  2017 1 f f  （）

　    2019 3 ( 1) f f f     1 1 0 0 ( ) f f g     （）

　    2017 2019 0 f f    2 | | f x x a   [3, )  a对点增分集训

　A．

　B．2 C．

　D．6 【答案】C 【解析】由图象易知函数 的单调增区间是 ，令 ，∴ ． 2．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】C 【解析】要使 在 上是增函数，则 且 ，即 ． 3．设函数 ，则 是（

　）

　A．奇函数，且在 内是增函数 B．奇函数，且在 内是减函数 C．偶函数，且在 内是增函数 D．偶函数，且在 内是减函数 【答案】A 【解析】易知 的定义域为 ，且 ，则为奇函数， 又 在 上是增函数，所以 在 上是增函数． 4．已知函数 的图象关于 对称，且在 上单调递增，设 ，， ，则 ， ， 的大小关系为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　 【答案】B 【解析】∵函数图象关于 对称，∴ ，又 在 上单调递2  6   2 | | f x x a   ,2a     =32a 6 a2 (og 1) l y ax     1,2 a  0,1   1,2 [1, )  [2, ) 2 (og 1) l y ax     1,2 0 a 1 0 a  1 a  ( ) ( ) ln 1 ln 1 f x x x       f x(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)  f x ( ) 1,1    ( ) ( ) ln 1 l ( n 1 ) f x x x f x       -   y f x ln 1 ln 1 ( ) ( ) y x y x      与 (0,1)   ( ) ( ) ln 1 ln 1 f x x x     (0,1)  y f x  1 x  (1, ) 12a f      2 b f   3 c f  a b cc b a   b a c   b c a   a b c  1 x 1 52 2a f f             y f x  (1, ) 

　增， ∴ ，即 ，故选 B． 5．已知 是奇函数， 是偶函数，且 ， ，则等于（

　）

　A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由已知得 ， ，则有 解得 ，故选 B． 6．函数 的图象可能为（

　）

　【答案】D 【解析】因为 ， 且 ，所以函数 为奇函数，排除 A，B．当 时， ，排除 C，故选D． 7．奇函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ，则 的值为（

　）

　A．2 B．1 C．

　D．

　【答案】A 5(2) (3)2f f f    b a c    f x   g x   2 ( 1 1 ) f g      ) 1 1 4 ( f g      1 g  ( ) 1 1 f f      ( ) 1 1 g g        1 1 21 1 4f gf g        1 3 g 1( ) cos ( 0) f x x x x xx        且1 1( ) cos( ) cos ( ) f x x x x x f xx x                  x   0 x  f x x  1( ) cos 0 f x       f x R ( ) 1 f x   1 2 f      4 5 f f 1  2 

　【解析】∵ 为偶函数，∴ ，则 ， 又 为奇函数，则 ，且 ． 从而 ， 的周期为 4． ∴ ，故选 A．

　8．函数 的图象向右平移 1 个单位，所得图象与曲线 关于 轴对称，则 的解析式为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】D 【解析】与 的图象关于 轴对称的函数为 ．依题意， 的图象向右平移一个单位， 得 的图象．∴ 的图象由 的图象向左平移一个单位得到．∴． 9．使 成立的 的取值范围是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】在同一坐标系内作出 ， 的图象，知满足条件的 ，故选 A．

　10．已知偶函数 对于任意 都有 ，且 在区间 上是单调递增的， 则 ， ， 的大小关系是（

　）

　A．

　B．

　( ) 1 f x 1 ( ) ( ) 1 f x f x     ( ( ) 2 ) f x f x    y f x    2 ( ) ( ) f x f x f x        0 0 f   2 ( ( ) 4) f x f x f x        y f x         4 5 0 1 0 2 2 f f f f        f x exy  y   f x 1e x f x  1e x f x  1exf x   1exf x e x y  y exy   f xexy   f x exy 1) 1 (e ex xf x    2) og ( l 1 x x    x( ) 1,0  [ ) 1,0  ( ) 2,0  [ ) 2,0 2 (log ) y x   1 y x   ,0 ( ) 1 x   f x R x   ( ) 1 f x f x      f x   0,1( ) 65 f  ． 1 ( ) f    0 f  0 6.5 ( ) ( ) 1 f f f       6.5 ( ) ( ) 0 1 f f f    

　C．

　D．

　【答案】A 【解析】由 ，得 ，∴函数 的周期是 2． ∵函数 为偶函数，∴ ， ． ∵ 在区间 上是单调递增的，∴ ，即 ． 11．对任意的实数 都有 ，若 的图象关于 对称，且 ， 则 （

　）

　A．0 B．2 C．3

　D．4 【答案】B 【解析】

　的图象关于 对称，则函数 的图象关于 对称， 即函数 是偶函数，令 ，则 ， ∴ ，即 ，则 ，

　即 ，则函数的周期是 2，又 ， 则 ． 12．已知函数 ， ，若存在 ，则实数 的取值范围为（

　）

　A．

　 B．

　C．

　 D．

　【答案】D 【解析】由题可知 ， ， 若 ，则 ，即 ，即 ， 解得 ．所以实数 的取值范围为 ，故选 D．

　  ( ) ( 6 0 ) 1 .5 f f f       1 0 ( ) ( 6.5) f f f      ( ) 1 f x f x      1 ( ( ) 2) f x f x f x        f x  f x 6.5 0.5 ( ) ( ) (0. ) 5 f f f       ( ) 1 1 f f    f x   0,1     0 0.5 ( 1 ) f f f     0 6.5 ( ) ( ) 1 f f f    x     ( ) 2 2 1 f x f x f    ( 1) y f x   1 x   0 2 f     2015 2016 f f  ( 1) y f x   1 x    y f x  0 x  f x 1 x   1 2 1 ( 1 2 ) ( ) f f f           1 1 2 1 0 f f f      1 0 f ＝     2 ( 2 1 0 ) f x f x f      2 ( ) f x f x     0 2 f         2015 2016 1 0 0 2 2 f f f f        e 1xf x    24 3 g x x x         f a g b  b[0,3] (1,3)2 2,2 2    2 2,2 2    e 1 1xf x      2 24 3 2 1 1 ( ) g x x x x             f a g b    ,1 ( ] 1 g b  24 3 1 b b     24 2 0 b b  2 2 2 2 b     b (2 2,2 2)  

　二、填空题 13．设函数 ， ，则函数 的递减区间是_______． 【答案】

　【解析】由题意知 ，函数的图象如图所示的实线部分， 根据图象，

　的减区间是 ． 14．若函数 是周期为 4 的奇函数，且在 上的解析式为， 则 ________． 【答案】

　【解析】由于函数 是周期为 4 的奇函数，所以． 15．设函数 ， ，对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取 值范围是________． 【答案】

　【解析】如图作出函数 与 的图象，观察图象可知：当且仅当 1 00 01 0xxxf x    21 ( ) g x x f x     g x[0,1) 2210 11g xx xxx x     g x [0,1)  R ( ) f x x [0,2]   1 0 1sin 1 2x x xx xf x       29 414 6f f          516  f x29 41 3 7 3 7 3 72 4 2 44 6 4 6 43 5si6 4n16 1 6 6 6f f f f f f f f                                                            | | f x x a     1 g x x   R x     f x g x a[ ) 1,    | | f x x a     1 g x x  

　，即 时，不等式 恒成立，因此 的取值范围是 ．

　16．设定义在 上的函数 同时满足以下条件：① ；②；③当 时， ，则________． 【答案】

　【解析】依题意知：函数 f ( x )为奇函数且周期为 2， ∴

　．

　三、解答题 17．已知函数 ，其中 是大于 0 的常数． （1）求函数 的定义域； （2）当 时，求函数 在 上的最小值； （3）若对任意 恒有 ，试确定 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）

　；（3）

　．

　 1 a   1 a     f x g x  a [ ) 1,  R   f x   0 ( ) f x f x     ( ) 2 f x f x   0 1 x    2 1xf x    1 3 51 (2)2 2 2f f f f f                   2 1 3 51 (2)2 2 2f f f f f                   1 1 11 (0)2 2 2f f f f f                     1 1 11 (0)2 2 2f f f f f                      11 0211 0 2 1 2 1 2 1 22f f f           ( ) ln( 2)af x xx   a  f x4 ( ) 1, a   f x [2, ) , [ ) 2 x    0 f x  aln2a(2, ) 

　【解析】（1）由 ，得 ， 当 时， 恒成立，定义域为 ， 当 时，定义域为 ， 当 时，定义域为 ． （2）设 ，当 ， 时，∴ ． 因此 在 上是增函数，∴ 在 上是增函数．则 ． （3）对任意 ，恒有 ．即 对 恒成立． ∴ ．令 ， ． 由于 在 上是减函数，∴ ． 故 时，恒有 ．因此实数 的取值范围为 ． 18．设 是定义域为 的周期函数，最小正周期为 2，且 ，当时， ． （1）判定 的奇偶性； （2）试求出函数 在区间 上的表达式． 【答案】（1）

　是偶函数；（2）

　． 【解析】（1）∵ ，∴ ． 又 ，∴ ．又 的定义域为 ，∴ 是偶函数． （2）当 时， ，则 ； 进而当 时， ， ． 故 ． 2 0axx  220x x ax 1 a 22 0 x x a    (0, ) 1 a  0 { | } 1 x x x   且0 1 a   { |0 1 1 1 1 } x x a x a        或( ) 2ag x xx   4 ( ) 1, a , [ ) 2 x 22 2( ) 1 0a x ag xx x      g x [2, )    f x [2, ) min( ) (2) ln2af x f  , [ ) 2 x    0 f x  2 1axx   , [ ) 2 x 23 a x x    23 h x x x   , [ ) 2 x 23 9( )2 4h x x      [2, )     max2 2 h x h  2 a   0 f x  a (2, )   f x R ( ) 1 ( ) 1 f x f x   1 0 x      f x x    f x  f x [ ] 1,2   f x     1,00,12 1,2x xx xx xf x     ( ) 1 ( ) 1 f x f x    ( ( ) 2 ) f x f x     2 ( ) f x f x     ( ) f x f x     f x R   f x1 [ ] 0, x 1, [ ] 0 x      ( ) f x f x x   1 2 x   1 2 0 x       2 ( ) 2 ( ) 2 f x f x x x            1,00,12 1,2x xx xx xf x     

　...