高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册第四章4.2.2第1课时等差数列前n项和公式推导及简单应用同步练习

来源:空姐招聘 发布时间:2021-05-01 点击:

2021年高中数学人教A版(新教材)选择性必修第二册4.2.2 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用 一、选择题 1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=(  ) A.138  B.135    C.95    D.23 2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a12=a7+6,则S11=(  ) A.99 B.33 C.198 D.66 3.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为(  ) A.765 B.665 C.763 D.663 4.现有200根相同的钢管,把它们堆成三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为(  ) A.9 B.10 C.19 D.29 5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布.现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为(  ) A.55 B.52 C.39 D.26 6.(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中正确的是(  ) A.若d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0 D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 7.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2 019>0,S2 020<0,对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则下列判断正确的是(  ) A.a1 010>0 B.a1 011>0 C.|a1 010|>|a1 011| D.k的值为1 010 二、填空题 8.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________. 9.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=________. 10.已知等差数列{an}满足a1=32,a2+a3=40,则{|an|}前12项之和为________. 11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则d=________,a5=________. 12.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米. 三、解答题 13.等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式;

(2)若Sn=242,求n. 14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=1,S16=0,当Sn取最大值时求n的值. 15.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2. (1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;

(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围,并求{Sn}的最大(或最小)的项;

(3){Sn}有多少项大于零? 参考答案 一、选择题 1.答案:C  解析:∵∴∴ ∴S10=10a1+×d=-40+135=95. 2. 答案:D 解析:因为a1+a12=a7+6,所以a6=6,则 S11==11a6=11×6=66,故选D. 3. 答案:B 解析:由题意得,所有被7除余2的数构成以2为首项,公差为7的等差数列, ∴2+(n-1)×7<100,∴n<15,∴n=14,S14=14×2+×14×13×7=665. 4. 答案:B  解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.∴钢管总数为:1+2+3+…+n=.当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200.∴n=19时,剩余钢管根数最少, 为10根.] 5. 答案:B  解析:由题意可得{an}为等差数列,a1=5,∴S30=30×5+d=390,解得d=, ∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d =4a1+58d=4×5+58×=52. 6. 答案:ABD  解析:显然Sn对应的二次函数有最大值时d<0,且若d<0,则Sn有最大值,故A,B正确.又若对任意n∈N*,Sn>0,则a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,故D正确. 而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但S1=-1<0,故C不正确. 7. 答案:AD  解析:由等差数列{an},可得S2 019=>0,S2 020=<0, 即:a1+a2 019>0,a1+a2 020<0,可得:2a1 010>0,a1 010+a1 011<0, ∴a1 010>0,a1 011<0,∴A正确B错误.又等差数列{an}为递减数列, 且a1 010+a1 011<0,∴|a1 010|<|a1 011|,∴C错误. 而对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则k的值为1 010.故D正确.故选AD. 二、填空题 8.答案:27  解析:由a1=1,an=an-1+(n≥2),可知数列{an}是首项为1,公差为的等差数列, 故S9=9a1+×=9+18=27. 9.答案:-10  解析:设该等差数列的公差为d,根据题中的条件可得3=2×2+d+4×2+·d,整理解得d=-3,所以a5=a1+4d=2-12=-10. 10. 答案:304  解析:因为a2+a3=2a1+3d=64+3d=40⇒d=-8,所以an=40-8n. 所以|an|=|40-8n|= 所以前12项之和为+=80+224=304. 11. 答案:-2 -1  解析:由题意知 解得 所以a5=a4+d=1+(-2)=-1. 12. 答案:2 000  解析:假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为 S=9×20+×20+10×20+×20=2 000(米). 三、解答题 13.解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d. 则解得 ∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n. (2)由Sn=na1+d以及a1=12,d=2,Sn=242, 得方程242=12n+×2,即n2+11n-242=0, 解得n=11或n=-22(舍去).故n=11. 14.解:法一:由解得 则Sn=-n2+16n=-(n-8)2+64,则当n=8时,Sn取得最大值. 法二:因为{an}是等差数列,所以S16=8(a1+a16)=8(a8+a9)=0, 则a9=-a8=-1,即数列{an}的前8项是正数,从第9项开始是负数, 所以当n=8时,Sn取得最大值. 15.解:(1)Sn=na1+d=12n+×(-2)=-n2+13n. 图象如图. (2)Sn=-n2+13n=-+,n∈N*, ∴当n=6或7时,Sn最大;
当1≤n≤6时,{Sn}单调递增;

当n≥7时,{Sn}单调递减. {Sn}有最大值,最大项是S6,S7,S6=S7=42. (3)由图象得{Sn}中有12项大于零.

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