高考卷,普通高等学校招生考试江西,理科数学全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学全解全析 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分． 第I卷 考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简的结果是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：=，选C 2．（　　）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在 解析：=，选B 3．若，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：由得，所以= ，选A 4．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6，选C 5．若，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：用特殊值法，取ｘ＝可排除B、C，取x=可排除A，选D 6．若集合，，则中元素的个数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，选C 7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（　　）
Ａ．点是的垂心 Ｂ．垂直平面 Ｃ．的延长线经过点 Ｄ．直线和所成角为 解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；
面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；
根据对称性知C正确。选D 8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，选A 9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）
Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上 Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能 解析：由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内，选A 10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；
（2）公差为1或-1的有8个；
（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B 11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：因为是可导偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以在x=0处取得极值，即，又的周期为5，所以，即曲线在处的切线的斜率0，选B 12．设在内单调递增，，则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 解析：P中f（x）单调递增，只需，即m≥0，故P是q的必要不充分条件，选B 2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学 第II卷 注意事项：
第II卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数，则其反函数的定义域为 ． 解析：反函数的定义即为原函数的值域，由x≥3得x-1≥2，所以，所以y≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）
14．已知数列对于任意，有，若，则 ． 解析：由题意得 ，填4 15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ． 解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2 16．设有一组圆．下列四个命题：
Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 Ｄ．所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
解析：圆心为（k-1，3k）半径为，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；
由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；
若存在圆过原点（0，0），则有（因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点。填B、D 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知函数在区间内连续，且． （1）求实数和的值；

（2）解不等式． 解：（1）因为，所以， 由，即，． 又因为在处连续， 所以，即． （2）由（1）得：
由得，当时，解得． 当时，解得， 所以的解集为． 18．（本小题满分12分）
如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为． （1）求和的值；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值． 解：（1）将，代入函数得， 因为，所以． 又因为，，，所以， 因此． （2）因为点，是的中点，， 所以点的坐标为． 又因为点在的图象上，所以． 因为，所以， 从而得或． 即或． 19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望． 解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， （1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 ． （2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以， 故． 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则 ， 所以， ， ， ． 于是，． 20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，． （1）设点是的中点，证明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此几何体的体积． 解：解法一：
（1）证明：作交于，连． 则． 因为是的中点， 所以． 则是平行四边形，因此有． 平面且平面， 则面． （2）如图，过作截面面，分别交，于，． 作于，连． 因为面，所以，则平面． 又因为，，． 所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 因为，所以，故， 即：所求二面角的大小为． （3）因为，所以 ． ． 所求几何体体积为 ． 解法二：
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，因为是的中点，所以， ． 易知，是平面的一个法向量． 因为，平面，所以平面． （2），， 设是平面的一个法向量，则 则，得：
取，． 显然，为平面的一个法向量． 则，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角的大小是． （3）同解法一． 21．（本小题满分12分）
设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得． （1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点． 解：解法一：（1）在中，，即， ，即（常数）， 点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线． 方程为：． （2）设， ①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上． 即，因为，所以． ②当不垂直于轴时，设的方程为． 由得：， 由题意知：， 所以，． 于是：． 因为，且在双曲线右支上，所以 ． 由①②知，． 解法二：（1）同解法一 （2）设，，的中点为． ①当时，， 因为，所以；

②当时，． 又．所以；

由得，由第二定义得 ． 所以． 于是由得 因为，所以，又， 解得：．由①②知． 22．（本小题满分14分）
设正整数数列满足：，且对于任何，有． （1）求，；

（3）求数列的通项． 解：（1）据条件得 ① 当时，由，即有， 解得．因为为正整数，故． 当时，由， 解得，所以． （2）方法一：由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明． 1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以． ，所以． 又，所以． 故，即时，成立． 由1，2知，对任意，． （2）方法二：
由，，，猜想：． 下面用数学归纳法证明． 1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时 由①得 即　　　　　　② 由②左式，得，即，因为两端为整数， 则．于是　　　　③ 又由②右式，． 则． 因为两端为正整数，则， 所以． 又因时，为正整数，则　　　　④ 据③④，即时，成立． 由1，2知，对任意，．