高一数学必修4知识框架_新人教版高一数学必修一第一章知识点：集合

【导语】进入到高一阶段，大家的学习压力都是呈直线上升的，因此平时的积累也显得尤为重要，大范文网高一频道为大家整理了《新人教版高一数学必修一第一章知识点：集合》希望大家能谨记呦！！

　　一.知识归纳：

　　1.集合的有关概念。

　　1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4)常用数集：N，Z，Q，R，N*

　　2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);

　　2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)

　　3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

　　4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

　　5)补集：CUA={x|xA但x∈U}

　　注意：①?A，若A≠?，则?A;

　　②若，，则;

　　③若且，则A=B(等集)

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

　　④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

　　5.交、并集运算的性质

　　①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

　　③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

　　6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

　　二.例题讲解：

　　【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

　　A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合M：{x|x=,m∈Z};对于集合N：{x|x=,n∈Z}

　　对于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

　　=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合，，则(B)

　　A.M=NB.MNC.NMD.

　　解：

　　当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

　　【例2】定义集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

　　A)1B)2C)3D)4

　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

　　变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

　　A)5个B)6个C)7个D)8个

　　变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

　　∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴∴

　　变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

　　又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。

　　综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

　　①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

　　综①②得：所求集合为{-1，0，}

　　【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

　　解答：(1)若，在内有有解

　　令当时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　【同步练习题】

　　一、选择题(每题4分，共40分)

　　1、下列四组对象，能构成集合的是()

　　A某班所有高个子的学生B的艺术家

　　C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

　　2、集合{a，b，c}的真子集共有个()

　　A7B8C9D10

　　3、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是()

　　A.6B.7C.8D.9

　　4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU(M∪N)=()

　　A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4}

　　5、方程组的解集是()

　　A.{x=0,y=1}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1}

　　6、以下六个关系式：，，,,，是空集中，错误的个数是()

　　A4B3C2D1

　　7、点的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指()

　　A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集

　　C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集

　　8、设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是()

　　ABCD

　　9、满足条件M=的集合M的个数是()

　　A1B2C3D4

　　10、集合，，，且，则有()

　　AB

　　CD不属于P、Q、R中的任意一个

　　二、填空题(每题3分，共18分)

　　11、若，，用列举法表示B

　　12、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若BA，则a=__________

　　13、设全集U=，A=，CA=，则=，=。

　　14、集合，，____________.

　　15、已知集合A={x|},若A∩R=，则实数m的取值范围是

　　16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

　　三、解答题(每题10分，共40分)

　　17、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

　　18、已知二次函数()=,A=,试求的解析式

　　19、已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。

　　20、设，集合，，且A=B，求实数x，y的值